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文档简介
第23课 三角函数的诱导公式(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修4p20练习2改编)计算:tan 2 010=.【答案】【解析】tan 2 010=tan 30=.2.(必修4p19例1改编)计算:cos=.【答案】-【解析】cos=cos =cos=-cos =-.3.(必修4p20练习3改编)化简:sin2(+)-cos(+)cos(-)+1=.【答案】2【解析】原式=(-sin )2-(-cos )cos +1=sin2+cos2+1=2.4.(必修4p21例4改编)若cos=-,则sin的值为.【答案】-【解析】sin=cos=cos=-.5.(必修4p23习题17改编)已知sin=a,那么sin-sin2+1=.【答案】a+a2【解析】sin-sin2+1=sin-sin2+1=sin-cos2+1=sin+sin2=a+a2.1.诱导公式-+2-+-+sin( )-sin sin -sin -sin cos cos -cos -cos cos( )cos -cos -cos cos sin -sin -sin sin tan( )-tan -tan tan -tan /诱导公式的规律可概括为十个字:奇变偶不变,符号看象限.2.运用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)把求任意角的三角函数值转化为求0360角的三角函数值;(2)把求0360角的三角函数值转化为求090角的三角函数值;(3)求090角的三角函数值.【要点导学】要点导学各个击破利用诱导公式进行化简求值例1(1)已知cos(+)=-,且2,求sin(2-)的值;(2)已知=2,求tan 的值.【思维引导】将已知条件转化为单角的三角函数,再利用诱导公式求解.【解答】(1)由已知得cos =.又因为2,所以sin 0,所以sin(2-)=-sin =-(-)=.(2)=2,所以-3sin +cos =-8sin +2cos ,所以5sin =cos ,所以tan =.【精要点评】使用诱导公式求解三角函数问题时,一要注意函数名是否改变,二要注意符号是否改变.例2已知f()=.(1)化简f();(2)若是第三象限的角,且cos=,求f()的值.【思维引导】解本题的关键是熟练地应用正、余弦的诱导公式和记住特殊角的三角函数值.特别注意符号以及名称的变化.【解答】(1)f()=-cos .(2)因为cos=-sin ,所以sin =-,又是第三象限角,所以cos =-=-=-,所以f()=.【精要点评】重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”.变角:对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形.变式(2014湖南联考)设是第三象限角,且tan =2,则=.【答案】-【解析】原式=cos ,又因为tan =2,是第三象限角,所以易得cos =-.含相同变量的复合角与诱导公式的运用例3已知cos(75+)=,且是第三象限角,求cos(15-)+sin(-15)的值.【思维引导】结合诱导公式把cos(15-)与sin(-15)用条件cos(75+)=分别求出.【解答】因为cos(15-)=cos90-(75+)=sin(75+),又是第三象限角,则sin(75+)0,所以sin(75+)=-=-.因为sin(-15)=sin-90+(75+)=-sin90-(75+)=-cos(75+)=-,所以cos(15-)+sin(-15)=-.【精要点评】利用诱导公式时,要注意已知角与未知角之间的联系.变式1已知sin=a,那么cos=.【答案】-a【解析】cos=cos=-sin=-a.变式2已知sin=,求sin+cos2的值.【解答】因为+=,+x=+.所以原式=sin+cos2=-sin+=-+=.例4已知sin(3-)=coscos(-)=-cos(+),0,0,求,的值.【思维引导】求角的大小必须先求出含这个角的某个三角函数的值,再求出这个角的大小.【解答】由已知等式可得sin =sin ,cos =cos .两式平方相加,得sin2+3cos2=2sin2+2cos2=2,即sin2+3(1-sin2)=2,则sin =.又因为0,所以sin =,=或.当=时,由可得sin =,cos =,又0,所以=;当=时,由可得sin =,cos =-,又0,所以=.故=,=或=,=.【精要点评】求角的大小时一定要注意角的范围,再结合三角函数值的大小完成.1.已知sin=,那么cos=.【答案】2.若sin=-,则cos=.【答案】-【解析】cos=cos=sin=-.3.(2015金陵中学)已知tan=,则tan=.【答案】-【解析】因为+=,所以tan=-tan=-tan=-.4.若cos =,则=.【答案】【解析】原式=cos =.5.在abc中,若sin(2+a)=sin(-b),cos a=-cos(-b),求abc的三个内角.【解答】由已知得所以sin2a+3cos2a=2,所以cos a=.当cos a=时,cos b=,又因为a,b是三角形的内角,所以a=,b=,c=;当cos a=-时,cos b=-,a,b均为钝角,不合题意.所以a=,b=,c=.趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第4546页.【检测与评估】第23课三角函数的诱导公式一、 填空题 1.计算:sin 210=. 2.计算:cos =. 3.计算:tan=. 4.若sin=,且,则tan=. 5.若cos(-80)=k,则tan 100=. 6.已知sin=,那么cos的值为. 7.已知a=+(kz),那么a的值构成的集合为. 8.若sin(-)-cos(-)=,则sin3(+)+cos3(2-)的值为.二、 解答题 9.化简:(kz).10.已知函数f()=.(1)求f的值;(2)若2f(+)=f,求+cos2的值.11.已知cos=,求cos-sin2(-)的值.三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果)12.已知函数f(cos x)=cos 5x,则f=;f=;f(sin x)=.【检测与评估答案】第23课三角函数的诱导公式1. -【解析】sin 210=-sin 30=-.2. -【解析】cos =cos =-cos =-.3. 【解析】tan=tan=tan =.4. -2【解析】因为sin=,所以cos=,sin=-,则tan=-2.5. -【解析】由题意知cos 80=k,所以sin 80=,tan 80=,所以tan 100=tan(180-80)=-tan 80=-.6. -【解析】cos=cos=-sin=-.7. 2,-2【解析】若k为偶数,则a=+=2;若k为奇数,则a=+=-2.8. -【解析】由题知sin -cos =,两边平方,得1-2sin cos =,所以sin cos =,所以sin3(+)+cos3(2-)=-sin3+cos3=-(sin -cos )(sin2+sin cos +cos2)=-=-.9. 当k为偶数时,原式=1;当k为奇数时,原式=1.故当kz时,原式=1.10. (1) f()=cos ,所以f=cos=cos=cos=.(2) 2f(+)=2cos(+)=-2cos ,f=cos=-sin ,所以-2cos =-sin ,所以tan =2.原式=+=+=+=.11. 因为cos =cos=-cos=-,sin2=sin2
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