高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列（一）课件 新人教A版必修5.ppt

第二章数列 2 2等差数列 一 1 理解等差数列的定义 掌握等差数列的通项公式 2 会推导等差数列的通项公式 能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题 3 掌握等差中项的概念 深化认识并能运用 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一等差数列的概念如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 那么这个数列就叫做数列 这个常数叫做等差数列的 公差通常用字母d表示 思考1等差数列 an 的概念可用符号表示为 思考2等差数列 an 的单调性与公差d的符号的关系 等差数列 an 中 若公差d 0 则数列 an 为数列 若公差d 0 则数列 an 为数列 若公差d 0 则数列 an 为常数列 答案 等差 公差 an 1 an d n n 递增 递减 答案 等差中项 a1 n 1 d 思考教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法 还有其它方法吗 如何操作 返回 答案 答案还可以用累加法 过程如下 a2 a1 d a3 a2 d a4 a3 d an an 1 d n 2 将上述 n 1 个式子相加得an a1 n 1 d n 2 an a1 n 1 d n 2 当n 1时 a1 a1 1 1 d 符合上式 an a1 n 1 d n n 题型探究重点突破 题型一等差数列的概念例1 1 下列数列中 递增的等差数列有 1 3 5 7 9 2 0 2 0 6 0 解析答案 解析等差数列有 其中递增的为 共3个 为常数列 c 解析答案 反思与感悟 a 1 判断一个数列是不是等差数列 只需看an 1 an n 1 是不是一个与n无关的常数 2 判断一个等差数列是不是递增数列 只需看数列 an 的公差d是否大于0 3 求两个数的等差中项 只需求这两个数的和的一半即可 反思与感悟 解析答案 b 2 已知m和2n的等差中项是8 2m和n的等差中项是10 则m和n的等差中项是 解析答案 即m n的等差中项为6 6 题型二等差数列的通项公式及应用例2 1 若 an 是等差数列 a15 8 a60 20 求a75 解析答案 解设 an 的公差为d 解析答案 2 已知递减等差数列 an 的前三项和为18 前三项的乘积为66 求数列的通项公式 并判断 34是否为该数列的项 反思与感悟 反思与感悟 d 0 故取a1 11 d 5 an 11 n 1 5 5n 16 即等差数列 an 的通项公式为an 5n 16 令an 34 即 5n 16 34 得n 10 34是数列 an 的第10项 在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 如果条件与结论间的联系不明显 则均可化成有关a1 d的关系列方程组求解 但是要注意公式的变形及整体计算 以减少计算量 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2已知 an 为等差数列 分别根据下列条件写出它的通项公式 1 a3 5 a7 13 解设首项为a1 公差为d 则 an a1 n 1 d 1 n 1 2 2n 1 解析答案 2 前三项为a 2a 1 3 a 题型三等差数列的判定与证明 解析答案 1 求证 数列 bn 为等差数列 解析答案 an 1 1 2an an 2an 1 1 数列 bn 是等差数列 且公差为4 首项为5 数列 bn 是等差数列 且公差为4 首项为5 解析答案 反思与感悟 2 试问a1a2是不是数列 an 中的项 如果是 是第几项 如果不是 请说明理由 解由 1 知bn b1 n 1 d 5 4 n 1 4n 1 即a1a2 a11 a1a2是数列 an 中的项 且是第11项 1 判定等差数列的方法 1 定义法 an 1 an d n n 或an an 1 d n 2 n n 数列 an 是等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 n n an 为等差数列 3 通项公式法 数列 an 的通项公式an pn q p q为常数 数列 an 为等差数列 反思与感悟 注意 通项公式法不能作为证明方法 若an 1 an为常数 则该常数为等差数列 an 的公差 若an 1 an an an 1 n 2 n n 成立 则无法确定等差数列 an 的公差 若数列的前有限项成等差数列 则该数列未必是等差数列 而要否定一个数列是等差数列 只要说明其中连续三项不成等差数列即可 2 已知数列的递推公式求数列的通项时 要对递推公式进行合理变形 构造出等差数列求通项 需掌握常见的几种变形形式 解析答案 跟踪训练3在数列 an 中 a1 2 an 1 an 2n 1 1 求证 数列 an 2n 为等差数列 2 设数列 bn 满足bn 2log2 an 1 n 求 bn 的通项公式 证明 an 1 2n 1 an 2n an 1 an 2n 1 与n无关 故数列 an 2n 为等差数列 且公差d 1 解由 1 可知 an 2n a1 2 n 1 d n 1 故an 2n n 1 所以bn 2log2 an 1 n 2n 解析答案 返回 对等差数列的定义理解不深刻 易错点 例4若数列 an 的通项公式为an 10 lg3n 求证 数列 an 为等差数列 误区警示 错解因为an 10 lg3n 10 nlg3 所以a1 10 lg3 a2 10 2lg3 a3 10 3lg3 所以a2 a1 lg3 a3 a2 lg3 则a2 a1 a3 a2 故数列 an 为等差数列 错因分析由数列的通项公式求出的a2 a1 a3 a2仅能确保数列的前三项成等差数列 不能保证数列是等差数列 正解因为an 10 lg3n 10 nlg3 所以an 1 10 n 1 lg3 所以an 1 an 10 n 1 lg3 10 nlg3 lg3 n n 所以数列 an 为等差数列 误区警示 误区警示 数列的前几项成等差数列与数列为等差数列不是等价的 若数列是等差数列 则数列的前三项成等差数列 而若数列的前三项成等差数列 则数列未必是等差数列 但若数列的前三项不是等差数列 则数列一定不是等差数列 因此利用非等价关系求出的结果未必满足题设条件 必须对求出的结果代入验证 以确保满足题设条件 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1 已知等差数列 1 3n 则公差d等于 a 1b 3c 3d n 解析 an 1 3n a1 2 a2 5 d a2 a1 3 c 解析答案 1 2 3 4 5 2 下列命题 数列6 4 2 0是公差为2的等差数列 数列a a 1 a 2 a 3是公差为 1的等差数列 等差数列的通项公式一定能写成an kn b的形式 k b为常数 数列 2n 1 是等差数列 其中正确命题的序号是 a b c d 解析 正确 中公差为 2 c 解析答案 解析公差d a2 a1 4 an a1 n 1 d 84 n 1 4 88 4n 1 2 3 4 5 3 在等差数列 an 中 若a1 84 a2 80 则使an 0 且an 1 0的n为 a 21b 22c 23d 24 b 解析答案 又 n n n 22 1 2 3 4 5 解析答案 4 若 an 是等差数列 下列数列中仍为等差数列的有 an an 1 an pan q p q为常数 2an n a 1个b 2个c 3个d 4个 解析设an kn b 则an 1 an k 故 为常数列 也是等差数列 pan q p kn b q pkn pb q 故 为等差数列 2an n 2 kn b n 2k 1 n 2b 故 为等差数列 未必 如an 2n 4 则 an 的前4项为2 0 2 4 显然 an 不是等差数列 c 1 2 3 4 5 解析答案 5 等差数列 an 中 a3 a4 4 a5 a7 6 1 求 an 的通项公式 2 设bn an 求数列 bn 的前10项和 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 2 6 2 1 2 3 4 5 解析答案 1 2 3 4 5 课堂小结 1 判断一个数列是不是等差数列的常用方法 1 an 1 an d d为常数 n n an 是等差数列 2 2an 1 a