数值计算方法A卷标准答案.doc

一. 填空题（每空2分，共34分）1. 设 是真值 的近似值，则 有3 位有效数字。2.求方程根的牛顿迭代格式是。3 迭代法收敛于，此迭代格式是阶收敛的。5. 形如 的插值型求积公式, 其代数精度至少可达次，至多可达次。6. 向量 ，, 矩阵 ，则 _36_，Cond。7对矩阵A作如下的LU分解： ，则 ，8. 设 ，要使，与应满足。10. 设为互异节点，为对应的5次Lagrange插值基函数，则=二. (12分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并写出其余项 的表达式0121294解： （5分） （8分） （10分）令，作辅助函数则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：反复利用罗尔定理可得：，所以 (12分)三（12分） 求积公式 又知其误差余项为 试确定系数，使该求积公式有尽可能高的代数精度，指出其代数精确度的次数并确定误差式中的 值。解：将分别代入公式得： （6分）当时，左边等于，右边等于，所以求积公式最高代数精度为2。 （9分）将代入有误差项中的积分式中 （12分）四(12分)分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法求解方程组 写出迭代格式，并判断收敛性。若将原方程组变为 再用上述两种迭代法求解是否收敛？说明原因。解: 雅可比迭代格式为 发散 （4分） 高斯-赛德尔迭代格式为 发散 (8分)方程组变为形式后 方程均严格对角占优，则收敛。 （12分）五. （16分）1.（8分） 用Gauss列主元消去法解方程组：解： （3分） (6分) (8分)六.（下列2题任选一题，8分） 1设，试建立计算 的牛顿迭代公式，并分析其收敛性。解：1. 1. 解：问题转换为求解的正根。牛顿迭代公式为 （2分）下面证明对任何初值迭代过程收敛。 根据定理2.8, 对于任何，迭代公式收敛。（5分）当时，由f的单调性知 对任何初值迭代过程收敛。 （8分）七.（6分） 设在上具有二阶连续导数，且证明 证明： （3分）则 （6分） *一. 填空题（每空2分，共40分）1. 设 是真值 的近似值，则 有2 位有效数字。5. 向量 ，, 矩阵 ，则 _3_，Cond。7. 设 ，则。9. 设 是次Lagrange插值基函数， 则 。11. 写出求解方程组 的Gauss-Seidel迭代公式为，迭代矩阵为 。此迭代法是否收敛 收敛 。四. （16分）1.（8分） 用Gauss列主元消去法解方程组：解： （3分） (6分)*一. 填空题（每空2分，共40分7. 设 ，则。9. 设 是次Lagrange插值基函数， 则 。二.（12分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1），故收敛； （3分）（2） ，故收敛； （6分）（3），故发散。 （9分） 选择（1）：， ， （12分）三. (12分)四. （16分）1.（8分） 用Gauss列主元消去法解方程组： 解： （8分）五（12分） 数值积分公式形如 （1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。解： 将分布代入公式得： （8分）构造Hermite插值多项式满足其中则有：， （10分） （12分） *一. 填空题（每空2分，共40分）1. 改变函数 ()的形式，使计算结果较精确 。5. 设,则 9 ， 91 。7. 设，则（谱半径）_=_。（此处填小于、大于、等于）9. 是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 1 ， 。11. 写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式 迭代矩阵为 ，此迭代法是否收敛 是收敛 。二.（12分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。解：（1），故收敛； （3分）（2） ，故收敛； （6分）（3），故发散。 （9分） 选择（1）：， ， （12分）三. (12分)设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并写出其余项 的表达式012012-1133解：设 （4分） （6分）由得：所以