应用题的列与解.doc

应用题的“列与解” 应用题的“列”是非常重要的，然而有很多耐人寻味、启发思维、形式简单的方程却蕴涵在“解”的过程中，只有列出解法简捷的方程，才是最佳列法，反之，也只有列出的方程形式最简，其解法才最优。下面以初中代数课本中的习题为例，对“列”与“解”的辨证关系作一粗浅分析，供大家参考。 一、 列中隐含有解，在解中发掘隐含的等量关系 对于应用题，不能认为只要“列”出方程（组）来就行了，而忽视对它的“解”。事实上，“列”固然重要，但“解”亦不可小视。有些隐含的等量关系就是在“解”中启示我们而获得的。 例：从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后，快车在慢车前12千米处；快车到达乙站比慢车造5分钟。快车和慢车每小时各行多少千米？解析：设慢车每小时走x千米，则快车每小时走（x12）千米，依题意易得150/x150/x1225/60 (1) 解方程（1），得15012/x(x12)5/12，即150/(x 12)12(5/12)x (2)方程（2）表示的意义是，快车从甲站到达乙站时比慢车多了 （150/x12）12千米，而这段距离与慢车25分钟所走的距离 (5/12)x千米相等。 方程（2）显然比方程（1）要简洁，我们在求解方程(1）的过程中受到启示而发掘出来的等量关系，可见“列”中隐含有“解”，而“解”又启发着我们的“列”。二、 解中孕育着列，在列中寻求最简单方程解体就是解决矛盾.矛盾的转化是现实世界的普遍规律。通过“解”与“列”的转化，使问题获得最佳解法，是求解应用题中常用的数学思想方法。 例：一个水池有甲、乙两个进水管，甲管注满水池比乙管快15小时，如果单独开放甲管10小时，再单独开放乙管15小时，就可注满水池的2/3，求单独开放一个水管，把水池注满各需多少时间。解析：设单独开放甲管注满水池需(x15)小时，由题意有方程 10/(x15) + 15/x2/3 (1) 两边同除以2/3，得15/（x+15）22.5/x1 (2) 方程（2）告诉我们，当甲管先放15小时，再单独开放乙管22.5小时可注满水池。显然方程(2）比方程（1）要简便。对方程（2）继续简化，可得 22.5/(x15)(x15)/x (3) 方程（3）表示的意义是，乙管工作22.5小时的工作量恰好等于甲管工作(x15)小时的工作量，这正是题中的隐含条件。可见，依据此隐含条件列出的方程（3）最为简洁。 解方程（3）得x130,x215/2（舍去）。 x1545 答略。 三、 设而不求，巧列中总蕴涵着巧解 任何一道应用剃总包含着一定的数学条件和关系，要解决它就必须对题目本身进行具体、深入、透彻的分析，透过现象看本质，合理地选择未知数。同时，要善于在“列”中发挥“过度未知数”（设而不求）的作用，从而使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，使问题获得巧解。 例：有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5吨大车与6辆小车一次可以运货35吨，求3辆大车与5辆小车一次可以运货多少吨？解析：若直接设3辆大车与5辆小车一次可以运货x吨，则列方程较为繁难，而若设一辆大车一次可以运货x吨，一辆小车一次可以运货y吨，则由题意易得方程组2x3y15.5 (1) 5x6y35 (2) 由于本题要求出的结果是(3x5y)的值，因此我们可以不去分别求x、y各自具体的值（设而不求），而巧妙地采用从整体着眼的思想，直接求出其结果。这样，就有下面的巧解： (1)7(2),得9x15y73.5 即 3x5y22.4 所以3辆大车与5辆小车一次可以运24.5吨。 上述解法显然比常规解法要显得优越，它给人以简洁明快之感。可见，巧列中蕴涵着巧解。 综上可见， 在应用题的教学中，“列”与“解”两者是互