广东省江门市高三数学第一次模拟试题 理（含解析）新人教A版.doc

2013年广东省江门市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，满分32分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）（2013江门一模）已知函数定义域为m，g（x）=lnx定义域为n，则mn=（）ax|x1bx|0x1cx|0x1dx|0x1考点：交集及其运算 专题：计算题分析：先分别求出函数的定义域，再进行交集运算即可解答：解：1x0x1，m=（，1，n=（0，+），mn=（0，1，故选b点评：本题考查交集及其运算2（4分）（2013江门一模）在复平面内，o是原点，向量对应的复数是2i（其中，i是虚数单位），如果点a关于实轴的对称点为点b，则向量对应的复数是（）a2ib2+ic2+id12i考点：复数的代数表示法及其几何意义 专题：计算题分析：先求出点a的坐标，再求出点a关于实轴的对称点为点b的坐标，可得向量对应的复数解答：解：由题意可得点a的坐标为（2，1），点a关于实轴的对称点为点b（2，1），则向量对应的复数是 2+i，故选c点评：本题主要考查复数的代数表示及其几何意义，属于基础题3（4分）（2013江门一模）采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的50人中，编号落入区间1，400的人做问卷a，编号落入区间401，750的人做问卷b，其余的人做问卷c则抽到的人中，做问卷c的人数为（）a12b13c14d15考点：系统抽样方法 专题：概率与统计分析：由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an，由751an1000 求得正整数n的个数，即为所求解答：解：由100050=20，故由题意可得抽到的号码构成以8为首项、以20为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=8+（n1）20=20n12由 75120n121000 解得 38.2n50.6再由n为正整数可得 39n50，且 nz，故做问卷c的人数为12，故选a点评：本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，属于基础题4（4分）（2013江门一模）如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）a72b36c24d12考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：通过三视图，判断几何体的形状，利用三视图的数据，求解几何体的体积即可解答：解：由题意可知，几何体是三棱锥，底面三角形的一边长为6，底面三角形的高为：4，棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点，棱锥的高为：3所以几何体的体积：=12故选d点评：本题考查三视图视图能力与几何体的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力5（4分）（2013江门一模）在abc中，若，则ac=（）abcd考点：正弦定理 专题：解三角形分析：由已知可先求出c，然后由正弦定理得，代入即可求解解答：解：，c=则由正弦定理可得，ac=4故选d点评：本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用，属于基础试题6（4分）（2013江门一模）若x0、y0，则x+y1是x2+y21的（）a充分非必要条件b必要非充分条件c充要条件d非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立由此即可得到本题的答案解答：解：先看充分性可取x=y=，使x+y1成立，而x2+y21不能成立，故充分性不能成立；若x2+y21，因为x0、y0，所以（x+y）2=x2+y2+2xyx2+y21x+y1成立，故必要性成立综上所述，x+y1是x2+y21的必要非充分条件故选：b点评：本题给出两个关于x、y的不等式，求它们之间的充分必要关系，着重考查了不等式的基本性质和充分必要条件的证明等知识，属于基础题7（4分）（2013江门一模）已知x、y满足x2+y2=4，则z=3x4y+5的取值范围是（）a5，15b10，10c2，2d0，3考点：二次函数的性质；函数的值域；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域 专题：函数的性质及应用分析：把z=3x4y+5变为直线 3x4y+5z=0，本题要求直线和圆 x2+y2=4有交点，根据圆心到直线的距离小于或等于半径，求得z的范围解答：解：z=3x4y+5 即直线 3x4y+5z=0，由题意可得直线和圆 x2+y2=4有交点，故有 2，化简可得10z510，解得5z15，故选a点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，待定系数法求直线的解析式，利用了数形结合及转化的思想，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键，属于基础题8（4分）（2013江门一模）设f（x）是定义在r上的周期为2的偶函数，当x0，1时，f（x）=x2x2，则f（x）在区间0，2013内零点的个数为（）a2013b2014c3020d3024考点：根的存在性及根的个数判断；奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数解答：解：f（x）是定义在r上的周期为2的偶函数，又x0，1时，f（x）=x2x2，要研究函数y=f（x）在区间0，2013零点个数，可将问题转化为y=f（x）与x轴在区间0，2013有几个交点，如图由图知，f（x）在区间0，2013内零点分别是：，共有2013个零点故选a点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）在区间0，2013的零点个数的问题转化为交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分35分9（5分）（2013江门一模）已知数列an的首项a1=1，若nn*，anan+1=2，则an=考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：由给出的递推式，取n=n+1得另一个式子，两式作比后可得： （nn*），由此可得数列的所有奇数项构成常数列，所有偶数项构成常数列，则数列的通项公式可求解答：解：数列an中，由anan+1=2，得：an+1an+2=2，得： （nn*），数列an的奇数项和偶数项分别构成以1为公比的等比数列，由a1=1，且anan+1=2，得：数列an的通项公式为故答案为点评：本题考查了数列的递推式，考查了由递推式求数列的通项公式，由数列的递推式求通项公式时，替换n的取值，由已知递推式得另一递推式，然后两式联立是求解该类问题常用的方法，此题是中档题10（5分）（2013江门一模）执行程序框图，如果输入a=4，那么输出n=4考点：程序框图 专题：图表型分析：通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果解答：解：如果输入的a是4，那么：经过第一次循环得到p=14，q=4，n=2，经过第二次循环得到p=18，q=16，n=3，经过第三次循环得到p=22，q=64，n=4，此时不满足pq，执行输出n=4，故答案为：4点评：本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律11（5分）（2013江门一模）如图，在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1内（含正方体表面）任取一点m，则的概率p=考点：几何概型 专题：概率与统计分析：本题是几何概型问题，欲求点m满足的概率，先以a为原点建立空间直角坐标系，由数量积公式得出点m到平面abcd的距离大于等于，点m的轨迹是正方体的，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即可解答：解：本题是几何概型问题，正方体的体积为v=8，以a为原点建立空间直角坐标系，ab为x轴，ad为y轴，aa1为z轴那么a（0，0，0），c1（0，0，2）设m（x，y，z），那么x，y，z0，2=（x，y，z），=（0，0，2）则，即2z1，z即点m与平面abcd的距离大于等于，点m的轨迹是正方体的，其体积为：v1=，则的概率p为：，故答案为：点评：本小题主要考查几何概型、几何概型的应用、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、化归与转化思想属于基础题12（5分）（2013江门一模）在平面直角坐标系oxy中，若双曲线的焦距为8，则m=3考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过双曲线的方程，判断实轴所在轴，求出c，利用焦距求出m的值即可解答：解：因为在平面直角坐标系oxy中，双曲线的焦距为8，所以m0，焦点在x轴，所以a2=m，b2=m2+4，所以c2=m2+m+4，又双曲线的焦距为8，所以：m2+m+4=16，即m2+m12=0，解得m=3或m=4（舍）故答案为：3点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，判断双曲线的焦点所在的轴是解题的关键，法则容易出错13（5分）（2013江门一模）在平面直角坐标系oxy中，直线y=a（a0）与抛物线y=x2所围成的封闭图形的面积为，则a=2考点：定积分 专题：计算题分析：联立方程，先求出其交点坐标，再利用微积分基本定理定理即可得出解答：解：由可得可得a（，a）b（，a）s=（ax）=解得a=2故答案为：2点评：此题考查了定积分的运算，考查了数形结合的思想，利用定积分表示封闭图形的面积是解本题的关键14（5分）（2013江门一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）（02）中，曲线sin=2与cos=2的交点的极坐标为考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：计算题分析：将=代入cos=2消去，可得tan=1，通过讨论进一步缩小的范围，即可求出的值，再代入任意一个方程即可求出的值解答：解：sin=2即=，将=代入cos=2，得tan=102，=将=代入=，得=2故曲线sin=2与cos=2的交点的极坐标为 故答案为：点评：本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标，可直接代入计算出，亦可先化为普通方程求出其交点坐标，然后再化为极坐标15（5分）（2013江门一模）（几何证明选讲选做题）如图，圆o内的两条弦ab、cd相交于p，pa=pb=4，pd=4pc若o到ab的距离为4，则o到cd的距离为考点：圆內接多边形的性质与判定 专题：计算题；解三角形分析：取ad中点m，连接od、om、op、oa，可得omcd且opabrtopa中运用勾股定理算出oa=4，根据相交弦定理和题中数据算出弦cd=10，从而在rtomd中用勾股定理算出om=，即得圆心o到cd的距离解答：解：取ad中点m，连接od、om、op、oa，根据圆的性质，omcd，om即为o到cd的距离pa=pb=4，即p为ab中点，opab，可得op=4rtopa中，oa=4pa=pb=4，pd=4pc，由papb=pcpd，即42=4pc2，可得pc=2因此，pd=4pc=8，得cd=10rtomd中，dm=cd=5，od=oa=4可得om=故答案为：点评：本题给出圆的相交弦，在已知交点分弦的比值情况下求弦到圆心的距离，着重考查了相交弦定理、垂径定理等圆的常用性质的知识，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，满分83分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（13分）（2013江门一模）已知函数（a0，xr）的最小值为2（1）求f（0）；（2）若函数f（x）的图象向左平移（0）个单位长度，得到的曲线关于y轴对称，求的最小值考点：函数y=asin（x+）的图象变换；函数的值；y=asin（x+）中参数的物理意义 专题：三角函数的图像与性质分析：（1）由函数的最值求出a，从而求得函数的解析式，进而求得f（0）的值（2）函数f（x）的图象变换后得到的图象对应的函数解析式为，根据此曲线关于y轴对称，可得，由此求得的最小值解答：解：（1）因为函数（a0，xr）的最小值为2，所以a=2，（2分），（4分）（2）函数f（x）的图象向左平移（0）个单位长度，可得（6分）因为的图象关于y轴对称，所以（8分）解得，（10分）因为0，所以的最小值为（12分）点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求解析式，函数y=asin（x+）的图象变换规律以及对称性，属于中档题17（14分）（2013江门一模）春节期间，某商场决定从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品进行促销活动（1）试求选出的3种商品中至少有一种是家电的概率；（2）商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销，即在该商品现价的基础上将价格提高100元，规定购买该商品的顾客有3次抽奖的机会：若中一次奖，则获得数额为m元的奖金；若中两次奖，则共获得数额为3m元的奖金；若中3次奖，则共获得数额为6m元的奖金假设顾客每次抽奖中获的概率都是，请问：商场将奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；相互独立事件 专题：概率与统计分析：（1）求互斥事件的概率一般有两种方法，直接法和间接法，本小题用用间接法比较简便事件“至少有一种是家电”的对立事件是“商品中没有家电”，用公式p（a）=1p（），即运用逆向思维计算（2）欲求m的值，需要先求奖金总额的期望值，要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可解答：解：（1）设选出的3种商品中至少有一种是家电为事件a，从3种服装、2种家电、3种日用品中，选出3种商品，一共有种不同的选法（1分），选出的3种商品中，没有家电的选法有种（2分）所以，选出的3种商品中至少有一种是家电的概率为（4分）（2）设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能的取值为0，m，3m，6m（单元：元）（5分）=0表示顾客在三次抽奖都没有获奖，所以（6分）同理，（7分）（8分）（9分）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是（12分）（列式（2分），计算1分）由，解得m75（13分）所以故m最高定为75元，才能使促销方案对商场有利（14分）点评：本题考查古典概型、离散型随机变量的期望，以及运用互斥事件求概率的方法，同时考查期望的求法属于中档题18（14分）（2013江门一模）如图，直角梯形abcd中，abcd，abbc，ab=1，bc=2，过a作aecd，垂足为ef、g分别是ce、ad的中点现将ade沿ae折起，使二面角daec的平面角为135（1）求证：平面dce平面abce；（2）求直线fg与面dce所成角的正弦值考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（1）先证线线垂直，由线线垂直线面垂直面面垂直（2）作平面的垂线，得直线在平面内的射影，再在三角形中求解即可；或利用向量的数量积公式，求直线向量与平面法向量夹角的余弦即为线面角的正弦解答：解：（1）证明：deae，ceae，dece=e，de，ce平面cde，ae平面cde，ae平面abce，平面dce平面abce （2）（方法一）以e为原点，ea、ec分别为x，y轴，建立空间直角坐标系 deae，ceae，dec是二面角daec的平面角，即dec=135，ab=1，bc=2，a（2，0，0），b（2，1，0），c（0，1，0），e（0，0，0），d（0，1，1）f、g分别是ce、ad的中点，f，g，=，=（2，0，0），（11分）由（1）知是平面dce的法向量，设直线fg与面dce所成角，则，故求直线fg与面dce所成角的正弦值为 （方法二）作ghae，与de相交于h，连接fh，由（1）知ae平面cde，所以gh平面cde，gfh是直线fg与平面dce所成角g是ad的中点，gh是ade的中位线，gh=1，deae，ceae，dec是二面角daec的平面角，即dec=135，在efh中，由余弦定理得，fh2=ef2+eh22efehcosfeh，gh平面cde，所以ghfh，在rtgfh中，直线fg与面dce所成角的正弦值为点评：本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角求直线与平面所成的角有两种思路：一是，通过作角证角求角；二是，利用向量数量积公式求解，直线向量与平面法向量夹角的余弦即为直线与平面所成角的正弦19（14分）（2013江门一模）已知椭圆c的中心在原点o，离心率，右焦点为（1）求椭圆c的方程；（2）设椭圆的上顶点为a，在椭圆c上是否存在点p，使得向量与共线？若存在，求直线ap的方程；若不存在，简要说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：探究型；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设椭圆c的方程为，由离心率焦点坐标可得及，再根据a2=b2+c2，联立方程组解出即可；（2）假设椭圆c上是存在点p（x0，y0），使得向量与共线，由向量共线及点p在椭圆上得方程组，解出可得点p坐标，进而可求得直线ap方程；解答：解：（1）设椭圆c的方程为，椭圆c的离心率，右焦点为，a2=b2+c2，故椭圆c的方程为 （2）假设椭圆c上是存在点p（x0，y0），使得向量与共线，即，（1）又点p（x0，y0）在椭圆上，（2），由（1）、（2）组成方程组解得，或，p（0，1），或，当点p的坐标为（0，1）时，直线ap的方程为y=0，当点p的坐标为时，直线ap的方程为，故椭圆上存在满足条件的点p，直线ap的方程为y=0或点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及向量共线问题，考查学生分析问题解决问题的能力20（14分）（2013江门一模）已知数列an的前n项和为sn，a1=2，n2，3sn4、2an、2sn1总成等差数列（1）求sn；（2）对任意kn*，将数列an的项落入区间（3k，32k）内的个数记为bk，求bk考点：数列的求和；数列的函数特性；等差关系的确定 专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）由已知可得4an=（3sn4）+（2sn1），结合an=snsn1（n2），可sn与sn1的递推关系，构造等比数列sn1可求（2）由（1）及an=snsn1（n2），可求an，然后由，代入通项可得，k+2log32n2k+2log32，从而可求n的取值，进而可求bk，解答：解：（1）n2，3sn4、2an、2sn1总成等差数列，所以，22an=（3sn4）+（2sn1）（1分）因为an=snsn1（n2），所以4（snsn1）=（3sn4）+（2sn1），即sn=3sn12（3分）又因为a1=2，sn110，s11=1，所以数列sn1是首项等于1，公比q=3的等比