广东省北师大东莞石竹附中高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年广东省北师大东莞石竹附中高二（上）期中数学试卷一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列an中，an=4n3，则首项a1和公差d的值分别为（）a1，3b3，4c1，4d1，22在abc中，已知，则c=（）a30b150c45d1353设x，yr，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（）a9b25c162d504在等比数列an中，已知a1=9，q=，an=，则n=（）a4b5c6d75不等式的解集是（）ax|x2bx|x2cx|x2或xdx|x6在abc中，已知a=30，c=45，a=2，则abc的面积等于（）abcd7不等式恒成立的条件是（）am2bm2cm0或m2d0m28在abc中，若a=2bcosc，则abc一定是（）a直角三角形b等腰三角形c等腰直角三角形d等边三角形9若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则=（）a4b3c2d110关于x的方程ax2+2x1=0至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）aa0b1a0ca0或1a0da111设关于x的不等式：x2ax20解集为m，若2m， m，则实数a的取值范围是（）a（，）（1，+）b（，）c，1）d（，1）12一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100米到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是（）a50米b60米c80米d100米二填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13在等差数列an中，a1，a2，a4这三项构成等比数列，则公比q=14在abc中，a=60，|ab|=2，且abc的面积为，则|ac|=15已知实数ab，当a、b满足条件时，不等式成立16下列函数中，；y=；y=log2x+logx2（x0且x1）；y=3x+3x；y=log2x2+2最小值为2的函数是（只填序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在等比数列an中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和s618在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值19关于x的不等式a2x+b2（1x）ax+b（1x）2（1）当a=1，b=0时解不等式；（2）a，br，ab解不等式20已知等差数列an的首项为a，公差为b，且不等式log2（ax23x+6）2的解集为x|x1或xb（）求数列an的通项公式及前n项和sn公式；（）求数列的前n项和tn21有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，第一种方式可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；第二种方式可截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根问：如何切割可使钢条用量最省？22（1）设不等式2x1m（x21）对满足2m2的一切实数m的取值都成立，求x的取值范围；（2）是否存在m使得不等式2x1m（x21）对满足2x2的实数x的取值都成立2015-2016学年广东省北师大东莞石竹附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知等差数列an中，an=4n3，则首项a1和公差d的值分别为（）a1，3b3，4c1，4d1，2【考点】等差数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的意义即可得出【解答】解：等差数列an中，an=4n3，a1=413=1，a2=423=5公差d=a2a1=51=4首项a1和公差d的值分别为1，4故选：c【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题2在abc中，已知，则c=（）a30b150c45d135【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用余弦定理表示出cosc，将已知等式变形后代入求出cosc的值，即可确定出c的度数【解答】解：a2+b2=c2+ba，即a2+b2c2=ab，由余弦定理得：cosc=，c=45故选：c【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键3设x，yr，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（）a9b25c162d50【考点】基本不等式【专题】计算题【分析】根据题意可得5x0，5y0，利用基本不等式5x+5y2即可【解答】解：5x0，5y0，又x+y=4，5x+5y2=2=2=50故选d【点评】本题考查基本不等式，关键在于在应用基本不等式时灵活应用指数运算的性质，属于基础题4在等比数列an中，已知a1=9，q=，an=，则n=（）a4b5c6d7【考点】等比数列的通项公式【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由等比数列的性质可知，代入可求n【解答】解：由等比数列的性质可知，n=5故选b【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础试题5不等式的解集是（）ax|x2bx|x2cx|x2或xdx|x【考点】一元二次不等式的应用【专题】计算题【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集【解答】解：不等式，移项得：，即0，可化为：或 解得：x2，则原不等式的解集为：x2故选b【点评】此题考查了其他不等式的解法，考查了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型学生进行不等式变形，在不等式两边同时除以1时，注意不等号方向要改变6在abc中，已知a=30，c=45，a=2，则abc的面积等于（）abcd【考点】解三角形【专题】计算题【分析】利用三角形内角和求出b，利用正弦定理求出c，然后利用三角形的面积公式求解即可【解答】解：因为abc中，已知a=30，c=45，所以b=1803045=105因为a=2，也由正弦定理，c=2所以abc的面积，s=2=2（）=1+故选：b【点评】本题考查三角形中正弦定理的应用，三角形的面积的求法，两角和正弦函数的应用，考查计算能力7不等式恒成立的条件是（）am2bm2cm0或m2d0m2【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题【专题】函数思想；构造法；函数的性质及应用【分析】令左边的函数最小值大于0即可【解答】解：令f（x）=x2+mx+=（x+）2+则fmin（x）=+恒成立，+0解得0m2故选d【点评】本题考查了函数恒成立问题，是基础题8在abc中，若a=2bcosc，则abc一定是（）a直角三角形b等腰三角形c等腰直角三角形d等边三角形【考点】三角形的形状判断【专题】计算题【分析】根据余弦定理表示出cosc，代入已知的等式中，化简后即可得到b=c，进而得到此三角形为等腰三角形【解答】解：由余弦定理得cosc=，把cosc代入a=2bcosc得：，a2=a2+b2c2，c2=b2又b和c都大于0，则b=c，即三角形为等腰三角形故选b【点评】此题考查了余弦定理，以及三角形的形状判定，利用余弦定理表示出cosc是本题的突破点9若a，b，c成等比数列，m是a，b的等差中项，n是b，c的等差中项，则=（）a4b3c2d1【考点】数列的应用【专题】计算题【分析】由题意可知，所以=【解答】解：由题意可知，=故选c【点评】本题考查数列的性质应用，难度不大，解题时要多一份细心10关于x的方程ax2+2x1=0至少有一个正的实根，则a的取值范围是（）aa0b1a0ca0或1a0da1【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题【分析】关于x的方程ax2+2x1=0至少有一个正实根，考虑一元二次方程和直线两种情况，分别讨论可得答案【解答】解：（1）当a=0时，方程是2x1=0，可知有一个正实根（2）当a0，当关于x的方程ax2+2x1=0有实根，0，解可得a1；当关于x的方程ax2+2x1=0有一个正实根，有0，解可得a0；当关于x的方程ax2+2x1=0有二个正实根，有，解可得a0；，综上可得，a1；故选d【点评】本题主要考查一个一元二次根的分布问题，属于中档题在二次项系数不确定的情况下，注意一定要分二次项系数分为0和不为0两种情况讨论11设关于x的不等式：x2ax20解集为m，若2m， m，则实数a的取值范围是（）a（，）（1，+）b（，）c，1）d（，1）【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】由2m，将x=2代入不等式得到关于a的不等式，由m，将x=代入不等式得到关于a的多项式小于等于0，列出关于a的另一个不等式，联立两不等式组成不等式组，求出不等式组的解集，即可得到a的范围【解答】解：由题意得：，解得：a1，则实数a的取值范围为，1）故选c【点评】此题考查了一元二次不等式的解法，以及不等式组的解法，根据题意列出关于a的不等式组是解本题的关键12一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点a测得水柱顶端的仰角为45，沿点a向北偏东30前进100米到达点b，在b点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是（）a50米b60米c80米d100米【考点】解三角形的实际应用【专题】应用题；方程思想；综合法；解三角形【分析】如图所示，设水柱cd的高度为h在rtacd中，由dac=45，可得ac=h由bae=30，可得cab=60在rtbcd中，cbd=30，可得bc=在abc中，由余弦定理可得：bc2=ac2+ab22acabcos60代入即可得出【解答】解：如图所示，设水柱cd的高度为h在rtacd中，dac=45，ac=hbae=30，cab=60在rtbcd中，cbd=30，bc=在abc中，由余弦定理可得：bc2=ac2+ab22acabcos60（）2=h2+1002，化为h2+50h5000=0，解得h=50故选：a【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题二填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13在等差数列an中，a1，a2，a4这三项构成等比数列，则公比q=2或1【考点】等比数列的性质【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】设等差数列an的公差为d，由题意可得d的方程，进而可得a1=d或d=0，即可求出公比【解答】解：设等差数列an的公差为d，则可得（a1+d）2=a1（a1+3d）解得a1=d或d=0公比q=2或1故答案为：2或1【点评】本题考查等比数列和等差数列的性质，属基础题14在abc中，a=60，|ab|=2，且abc的面积为，则|ac|=1【考点】三角形中的几何计算；三角形的面积公式【专题】解三角形【分析】直接利用三角形的面积公式求解即可【解答】解：在abc中，a=60，|ab|=2，且abc的面积为，所以，则|ac|=1故答案为：1【点评】本题考查三角形的面积公式的应用，基本知识的考查15已知实数ab，当a、b满足ab0条件时，不等式成立【考点】不等关系与不等式【专题】不等式的解法及应用【分析】分ab0，和ab0，讨论并根据不等式的性质化简即可【解答】解，当ab0时，ab，即，当ab0时，ab，即，综上所述，当a、b满足ab0时，不等式成立故答案为：ab0，【点评】本题考查二类不等式饿性质，属于基础题16下列函数中，；y=；y=log2x+logx2（x0且x1）；y=3x+3x；y=log2x2+2最小值为2的函数是（只填序号）【考点】函数的最值及其几何意义【专题】函数的性质及应用【分析】=|x|+|，由基本不等式可判断真假；y=+，由基本不等式可判断真假；当log2x0时，y=log2x+logx22可判断真假；y=3x+3x，由基本不等式可判断真假；当x0时，6可判断真假；，由基本不等式可判断真假；求出函数y=log2x2+2值域，可判断真假【解答】解：x与同号，故=|x|+|，由|x|0，|0=|x|+|2=2，故正确；y=+，由0，0，y=+2=2，故正确；当x1时，log2x0时，y=log2x+logx22，故错误；由3x0，3x0，y=3x+3x2=2，故正确；当x0时，6，故错误；0，0，则=2，故正确；x20，故y=log2x2（，+），故y=log2x2+2（，+），故错误；故答案为：【点评】本题主要考查了基本不等式在求解函数的最值中的应用，解题的关键是基本不等式的应用条件的判断三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在等比数列an中，a1a2a3=27，a2+a4=30试求：（1）a1和公比q；（2）前6项的和s6【考点】等比数列的性质；等比数列的前n项和【专题】计算题【分析】（1）由已知可得：解方程可求（2）由（1）可知q1，利用等比数列的求和公式可分别求解【解答】解：（1）在等比数列an中，由已知可得：（3分）解得：或（6分）（2）当时，（10分）当时，（14分）【点评】本题主要考查了利用等比数列的通项公式求解等比数列的基本量，及等比数列的求和公式的应用，解题的关键是熟练应用公式18在锐角abc中，a、b、c分别为角a、b、c所对的边，且=2csina（1）确定角c的大小；（2）若c=，且abc的面积为，求a+b的值【考点】解三角形【专题】解三角形【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinc，进而求得c（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值【解答】解：（1）=2csina正弦定理得，a锐角，sina0，又c锐角，（2）三角形abc中，由余弦定理得c2=a2+b22abcosc即7=a2+b2ab，又由abc的面积得即ab=6，（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用考查了学生对三角函数基础知识的综合运用19关于x的不等式a2x+b2（1x）ax+b（1x）2（1）当a=1，b=0时解不等式；（2）a，br，ab解不等式【考点】一元二次不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】（1）当a=1、b=0时，原不等式化为xx2，求出解集即可；（2）化简不等式a2x+b2（1x）ax+b（1x）2，由ab，得出xx2；求出解集即可【解答】解：（1）当a=1、b=0时，原不等式化为xx2，（2分）即x（x1）0；（4分）解得0x1，原不等式的解集为x|0x1；（6分）（2）a2x+b2（1x）ax+b（1x）2，（ab）2x（ab）2x2，（10分）又ab，（ab）20，xx2；即x（x1）0，（12分）解得0x1；不等式的解集为x|0x1（14分）【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，解题时应对不等式进行化简，再解不等式，是基础题20已知等差数列an的首项为a，公差为b，且不等式log2（ax23x+6）2的解集为x|x1或xb（）求数列an的通项公式及前n项和sn公式；（）求数列的前n项和tn【考点】数列与函数的综合；数列的求和【分析】（）先将不等式log2（ax23x+6）2转化为ax23x+20，所给条件表明：ax23x+20的解集为x|x1orxb，根据不等式解集的意义及方程ax23x+2=0的两根为x1=1、x2=b结合利用韦达定理不难得出a，b从而得出数列an的通项公式及前n项和sn公式（）令利用拆项相消法即可求得数列的前n项和tn【解答】解：（）不等式log2（ax23x+6）2可转化为ax23x+20，所给条件表明：ax23x+20的解集为x|x1orxb，根据不等式解集的意义可知：方程ax23x+2=0的两根为x1=1、x2=b利用韦达定理不难得出a=1，b=2由此知an=1+2（n1）=2n1，sn=n2（6分）（）令则=（12分）【点评】本小题主要考查数列的求和、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化思想属于基础题21有一批同规格的钢条，每根钢条有两种切割方式，第一种方式可截成长度为a的钢条2根，长度为b的钢条1根；第二种方式可截成长度为a的钢条1根，长度为b的钢条3根现长度为a的钢条至少需要15根，长度为b的钢条至少需要27根问：如何切割可使钢条用量最省？【考点】简单线性规划【专题】应用题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用【分析】设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，由题意得到关于x，y的不等式组，即约束条件，由约束条件作出可行域，得到最优整解，代入目标函数得答案【解答】解：设按第一种切割方式需钢条x根，按第二种切割方式需钢条y根，根据题意得约束条件是，目