最小二乘法的应用.doc

晋中学院本科生毕业设论文用最小二乘法求无限深势阱基态能量和波函数学生: 陈晓娜 指导教师: 王丽摘 要: 用最小二乘法求出了粒子在无限深势阱中运动时的基态能量和波函数, 并与精确解进行比较, 结果表明二者相差很小.关键词: 最小二乘法; 波函数; 能级; 无限深势阱Method of least squares to the bround state energy andwave function of infinite deep potential eellAuthors Name: Xiaona Chen Tutor: Wang LiABSTRACT: Method of least squares is presented to calculate the ground state energy and wave function.When a particle moves in the infinite deep potential well. The exact solution is compared with the excellent approximate solution obtained by method of least squares, and the difference are small.KEYWORDS：method of least squares; wave function; energy; infinite deep potential well目 录引 言11理论模型和具体应用21.1最小二乘法原理21.2最小二乘法的具体应用31.3 精确的基态能量和波函数41.4无限深势阱中的基态能量和波函数52与精确值的比较82.1 与精确值的比较8总 结10致 谢10参考文献10 7引 言在应用薛定谔方程求解量子力学系统的能量本征值与本征函数时, 只有少部分简单的系统具有严格解. 在许多具体物理问题中, 由于体系的哈密顿算符比较复杂往往不能求解精确解, 而只能求近似解. 因此对于这些方程除了采用适当的近似模型简化问题外, 还必须找别的近似解法, 有时还借助计算机进行数据处理.近似计算的方法很多, 如微扰法、变分法、半经典近似法等. 本文试用最小二乘法来进行近似计算, 求出了粒子在无限深势阱()运动时的基态能量和波函数. 对无限深势阱基态能量和波函数, 将薛定谔方程变为常系数微分方程, 求出它的精确波函数和能级. 用半经典近似法求出的能级和精确解相差很远, 但它的能级近似解前一能级恰好等于后一能级的能量. 运用变分法求解得到的基态能级出现增根, 且求激发态时的能级近似性随能级增加而变差. 本文求得的近似解和精确解相差很小, 方法简单, 最成功之处它能算任何激发态的能级和波函数.1理论模型和具体应用1.1 最小二乘法原理最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术. 它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配. 利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据, 并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小.用各个离差的平方和= 最小来保证每个离差的绝对值都很小.解方程组=0, =0. 整理得; 解出.在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时, 通常可以得到一系列成对的数据(、,、); 将这些数据描绘在直角坐标系中, 若发现这些点在一条直线附近, 可以令这条直线方程如+. 其中、是任意实数.为建立这直线方程就要确定和, 应用最小二乘法原理, 将实测值和计算值的离差的平方和最小为“优化数据”.令: , 把代入上式得 , 当最小时, 可用函数对、求偏导数, 令这两个偏导数等于零.亦即:+=+=得到的两个关于、为未知数的两个方程组, 解这两个方程组得出:=这时把、代入方程+中, 此时的方程就是我们回归的元线性方程, 即：数学模型.在回归过程中, 回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(、, 、), 为了判断关联式的好坏, 可借助相关系数“”, 统计量“”, 剩余标准偏差“”进行判断; “”越趋近于1越好; “”的绝对值越大越好; “”越趋近于0越好.上式中为样本容量, 即实验次数; 、分别为任意一组实验、数值.1.2最小二乘法的具体应用为奇函数, 为偶函数. 它们的多项式近似可分别取为= +, ;=+, ;, ,为待定的系数.以为例, 类同. 取多项式前二项, 有=+, 问题转化为求常数、, 使得在两曲线尽量接近, 即用代替后的误差尽量小. 只要选取、, 使=+, 在、处的函数值, 取0, , , , , , 等特殊值时算得的相差都很少, 要使偏差, 都很小.引入=. 若使最小, 应保证每个偏差的绝对值都很小, 为了确定这两个待定的常数、, 可以利用最小二乘法, 得的近似公式: =+1.3 精确的基态能量和波函数 一空间中运动的粒子, 它的势能在一定区域内为零, 而在此区域外势能为无限大, 即: , . (1)在阱内(|x| a), 体系所满足的定态薛定谔方程是:=, (2)在阱外(|x| a), 定态薛定谔方程是:+=, (3)(3)式中，. 根据波函数应满足的连续性和有限性条件, 只有当=0时, (3)式才能成立， 所以有=0 (4)为方便起见，引入符号= (5)则(2)式可简写为 +=0， 它的解是 (6)根据的连续性，由(4)式， 代入(6)式， 有=0由此得到 =0=0 (7)A和B不能同时为零, 否则到处为零, 这在物理上是没有意义的. 因此, 我们得到方程组解为: (8) (9) 由此可求得: =, (10)对于第一组解, 为奇数; 对于第二组解, 为偶数. 对应于恒为零的解. 等于负整数时, 解与等于相应正整数解线性相关, 都不取.由(5)和(10)式, 得到体系的能量为: , 正整数所以, 无限深势阱中的基态能量为, 基态波函数为=1.4无限深势阱中的基态能量和波函数精确的基态波函数为= , =, 基态波函数为偶宇称, 将=, . 用近似多项式表示为:+, 取前两项, 则有 , . 于是有=把看成自变量、的一个二元函数, 可以通过求方程组的解来解决. 令, 即 , .把未知待定的常数和分离出来, 便得:, .具体计算过程见表1表1 具体计算过程 1 0 0 1 0 02 3 4 5 1 0 0 16 7 8 9 1 0 0 1 3.6111 5.1463 0.9904 2.5448 将表1中的对应数据代入上述方程组得到:，解得: ，因此得到试探波函数 =0.96520.9804能量的平均值为 2与精确值的比较2.1 与精确值的比较精确的基态波函数和能级为=, . =1.2337能量平均值和精确基态能级的比值为=1.0147试探波函数和基态波函数的偏离度为=0.9925,=1=0.0150试探波函数和基态波函数算得各分离值比较见表2 0 1 0.9652 0.0348 0.001211 0.8660 0.8563 0.0097 0.000094 0.7071 0.7201 0.0130 0.000169 0.5000 0.5295 0.0295 0.000870 0 0.0152 0.0152 0.000231 0.8660 0.8563 0.0097 0.000094 0.7071 0.7201 0.0130 0.000169 0.5000 0.5295 0.0295 0.000870 0 0.0152 0.0152 0.000231 偏差的平方和0.005150, 它的均方误差, 很小, 说明试探波函数表示原基态波函数的近似程度很好. 利用Matlab数学软件作出的两个波函数图形如图所示clear波函数图形上:基态波函数; 下:试探波函数a=3x1=-4:0.01:4y1=(0.9625-0.9804.*x1.2)x2=-pi/2:0.01:pi/2y2=cos(pi.*x2./2)plot(x1,y1,x2,y2,-k, LineWidth,2)grid on%end由图可见两曲线很接近, 用试探波函数代替基态波函数效果较好. 试探波函数和基态波函数极值位置完全一致. , 极值位置.总 结用最小二乘法求得的粒子在无限深势阱中运动时的基态能级近似值和试探波函数与精确解偏离程度很小, 说明该近似解法有效. 该方法还具有以下特点: 方法不仅能很有效求基态的波函数和能级近似值, 对于激发态效果也很不错, 且随取的多项式的项数增多越接近精确值; 方法实用性广, 不像变分法和经典半近似法只运用哈密顿算符不是时间的显函数的情况; 对于像、类的波函数可以将用展开, 取前几项用最小二乘法求得它的试探波函数, 在后面的积分计算可以简化很多积分过程, 但是该方法要求变量积分区间是有界的. .致 谢: 四年的学习生涯马上就要画上句号了, 毕业前所有的努力与付出都凝聚在这篇论文里面. 相信它虽然算不上上乘之作, 但的确是我用心血浇灌的答卷. 这里面更有我的论文指导老师-王丽老师的耐心点拨和诚恳建议, 正是在她不遗余力的帮助下, 论文的思路从混乱到清晰, 材料从芜杂到精到, 语言从琐碎到凝练, 一步步接近成熟. 感谢王丽老师.老师的谆谆教导和殷殷鼓励同样给了我莫大的支持, 她严谨的治学态度使我深受启发; 感谢以及各位任课老师, 他们丰厚的知识积累和敬业精神, 给予了我很多的教益.同时也感谢我的同学们, 正是和他们四年的朝夕相处, 一起上课一起讨论问题, 让我逐渐有了对问题的思考意识, 从而更好地规划自己的学业.四年的求学时光给我留下了美好的回忆, 它将成为我今后人生旅途中新的起点.参考文献: Y皮莱格，等.量子力学M.刑泽仁, 宇铂, 译. 北京: 科学出版社, 2002.165-197 同济大学 教学教研室. 高等数学M. 北京: 高等教育出版社, 1996.78-84 周世勋, 量子力学教程M.北京: 高等