必修2第一、二章综合习题讲解.doc

必修2第二章综合习题讲解（空间中的点、线、面及其位置关系）1.（2014福建理17改编）在平行四边形ABCD中，AB=BD=CD=1,ABBD，CDBD.将ABD沿BD折起，使得平面ABD平面BCD，如图.（1）求证：ABCD；（2）过AD中点M点作一平面使得该平面垂直BC,并求三角形BCM的面积；（3）求点D到平面BCM的距离；（4）求直线AD与平面MBC所成角的正弦值.解：（1）平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCD=CD,AB平面ABD， ABBDAB平面BCD 又CD平面BCD ABCD图（2）图（1）（2）如图（2）,取BD,BC中点分别为F,G,再取BG中点H,连BG,MF,FH,MH,可知：MF/AB 且MF=12AB=12, 因为AB平面BCD ,所以MF平面BCD又BG平面BCD BGMF又BDC为等腰三角形，BD=DC 且G为BC中点，所以BCDGHF/DG 且HF=12DG=1222=24所以BCHF又MFHF=F所以BC平面MFH 又因为 HM平面MFH 所以BCHM，HM为三角形BCM底边BC上的高，在RtMFH中，又勾股定理得MH=MF2+HF2=122+242=322故BCM的面积SBCM=122322=34（3）（等体积法求点到面的距离）设D点到平面的距离为d由于VD-BCM=VM-BCD 即13SBCMd=13SBCDMFd=SBCDSBCMMF=12113412=33则D点到平面BCM的距离为233（4）设AD与平面BCD所成角为则sin=dMD=3322=2332=63则直线AD与平面BCM所成角的正弦值为63。2.（2014高考全国大纲编第19题）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1-AB-C的正切值.证明：A1D 平面ABC, A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C平面ABC又BCAC 所以BC平面AA1C1C连结A1C 因为侧面AA1C1C是菱形，所以，AC1A1CAD平面ABC, 所以ADBC 又BCAC, 且ACA1D=D 所以BC平面AA1C1C，又A1C 平面AA1C1CAC1BC（2）BC平面AA1C1C，BC 平面BCC1B1 ，故平面平面AA1C1C平面BCC1B1作A1EC1C ，E为垂足，则A1E平面BCC1B1又直线AA1/平面BCC1B1,因此A1E为直线AA1与平面BCC1B1间的距离A1E=3，因为A1C为ACC1的平分线，故A1D=A1E=3作DFAB，F为垂足，连结A1F, 因为A1D平面ABC,AB平面ABC A1DAB又DFAB=F AB平面A1DF， 又 A1F平面A1DFA1FAB故A1FD为二面角A1-AB-C的平面角在RtA1DA中，由勾股定理得AD=AA12-A1D2=1,可知D为AC中点，AD=1由于RtADFRtACB 那么 DFBC=ADAB 则DF=AD BCAB=115=55 在RtA1FD 中得 tanA1FD=A1DDF=15所以二面角A1-AB-C的正切值为15。3（2014全过新课标理18题）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.证明：（1）连结BD交AC于点O，连结EO，因为ABCD为矩形，所以O为BD中点，又E为PD中点，所以EO/PBEO 平面AEC，PB平面AEC，所以 PB/平面AEC（2）在RtPAD中可知PD=AP2+AD2=2,过D作DFAE交AE延长线于F点，连CF，取AD中点G，连EG,则EG/PA且EG=12PA= 12因为PA平面ABCD，CD平面ABCD 平面ABCD平面PAD又平面ABCD平面PCD=AD 且CDAD 所以，CD平面PAD AF平面PCD CDAF那么CFD就是二面角D-AE-C的平面角，所以CFD=60在RtAGE中，由勾股定理得AE=AG2+GE2=1由于RtAFDRtAGE 所以DFGE=ADAE 则DF=GEADAE=1231=32在RtCDF中 因为tanCFD=CDDF 所以CD =DFtanCFD=DFtan60o=323