高考数学一轮复习 14.2 参数方程考点及自测 理 新人教A版.doc

第2讲参数方程 考点梳理1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程2参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致3直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线yy0k(xx0)(t为参数)圆(xx0)2(yy0)2r2(为参数且02)椭圆1(ab0)(t为参数且0t2)抛物线y22px(p0)(t为参数)双曲线1(a0，b0)(为参数)考点自测1极坐标方程cos 和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是()a直线、直线 b直线、圆c圆、圆 d圆、直线解析cos x，cos 代入到cos ，得，2x，x2y2x表示圆又相加得xy1，表示直线答案d2若直线(t为实数)与直线4xky1垂直，则常数k_.解析参数方程所表示的直线方程为3x2y7，由此直线与直线4xky1垂直可得1，解得k6.答案63二次曲线(是参数)的左焦点的坐标是_解析题中二次曲线的普通方程为1左焦点为(4,0)答案(4,0)4(2012湖南)在直角坐标系xoy中，已知曲线c1：(t为参数)与曲线c2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.解析曲线c1的普通方程为2xy3，曲线c2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a.答案5(2011广东)已知两曲线参数方程分别为(0)和(tr)，它们的交点坐标为_解析由(0)得，y21(0y1，x)，由(tr)得，xy2，5y416y2160.解得：y2或y24(舍去)则xy21又0，得交点坐标为.答案 考向一参数方程与普通方程的互化【例1】把下列参数方程化为普通方程：(1)(2)解(1)由已知由三角恒等式cos2 sin21, 可知(x3)2(y2)21.(2)由已知t2x2，代入y5t中，得y5(2x2)，即xy50. 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围【训练1】 (2010陕西)参数方程(为参数)化成普通方程为_解析由得22得：x2(y1)21.答案x2(y1)21 考向二直线与圆的参数方程的应用【例2】已知圆c：(为参数)和直线l：(其中t为参数，为直线l的倾斜角)(1)当时，求圆上的点到直线l距离的最小值；(2)当直线l与圆c有公共点时，求的取值范围解(1)当时，直线l的直角坐标方程为xy30，圆c的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为1.(2)圆c的直角坐标方程为(x1)2y21，将直线l的参数方程代入圆c的直角坐标方程，得t22(cos sin )t30，这个关于t的一元二次方程有解，故4(cos sin )2120，则sin2，即sin或sin .又0，故只能sin，即，即.故的范围是. 如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程【训练2】 已知直线l的参数方程为(参数tr)，圆c的参数方程为(参数0,2)，求直线l被圆c所截得的弦长 解由消参数后得普通方程为2xy60，由消参数后得普通方程为(x2)2y24，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2xy60的距离为d，所以所求弦长为2 . 考向三圆锥曲线的参数方程的应用【例3】求经过点(1,1)，倾斜角为135的直线截椭圆y21所得的弦长解由条件可知直线的参数方程是(t为参数)，代入椭圆方程可得21，即t23t10.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1t2| . 普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xf(t)(或y(t)，再代入普通方程f(x，y)0，求得另一关系y(t)(或xf(t)一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样【训练3】 (2013南京模拟)过点p(3,0)且倾斜角为30的直线和曲线(t为参数)相交于a、b两点，求线段ab的长解直线的参数方程为(s为参数)，又曲线(t为参数)可以化为x2y24，将直线的参数方程代入上式，得s26s100，设a、b对应的参数分别为s1，s2.s1s26，s1s210.|ab|s1s2|2. (时间：30分钟满分：60分) 一、填空题(每小题5分，共40分)1(2013深圳模拟)直线(t为参数)上与点a(2,3)的距离等于的点的坐标是_解析由题意知(t)2(t)2()2，所以t2，t，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(3,4)或(1,2)答案(3,4)或(1,2)2(2013东莞模拟)若直线l：ykx与曲线c：(参数r)有唯一的公共点，则实数k_.解析曲线c化为普通方程为(x2)2y21，圆心坐标为(2,0)，半径r1.由已知l与圆相切，则r1k.答案3直线3x4y70截曲线(为参数)的弦长为_解析曲线可化为x2(y1)21，圆心到直线的距离d，则弦长l2.答案4已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1l2，则k_；若l1l2，则k_.解析将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx2y4k0，l2：2xy10，由l1l2，得k4，由l1l2，得2k20k1.答案415(2013湛江调研)参数方程(为参数)表示的图形上的点到直线yx的最短距离为_解析参数方程化为普通方程为(x3)2(y3)29，圆心坐标为(3，3)，半径r3，则圆心到直线yx的距离d3，则圆上点到直线yx的最短距离为dr333(1)答案3(1)6(2011陕西)直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点a，b分别在曲线c1：(为参数)和曲线c2：1上，则|ab|的最小值为_解析消掉参数，得到关于x、y的一般方程c1：(x3)2y21，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；c2：x2y21，表示的是以原点为圆心的单位圆，|ab|的最小值为3111. 答案17已知在平面直角坐标系xoy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与曲线c：(是参数)有两个不同的交点p和q，则k的取值范围为_解析曲线c的参数方程：(是参数)化为普通方程：y21，故曲线c是一个椭圆由题意，利用点斜式可得直线l的方程为ykx，将其代入椭圆的方程得(kx)21，整理得x22kx10，因为直线l与椭圆有两个不同的交点p和q，所以8k244k220，解得k或k.即k的取值范围为 .答案8如果曲线c：(为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是_解析将曲线的参数方程转化为普通方程，即(xa)2(ya)24，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆c总相交，根据两圆相交的充要条件，得04，0a28，解得0a2或2a0.答案(2，0)(0,2)二、解答题(共20分)9(10分)(2012新课标全国)已知曲线c1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程是2，正方形abcd的顶点都在c2上，且a，b，c，d依逆时针次序排列，点a的极坐标为.(1)求点a，b，c，d的直角坐标；(2)设p为c1上任意一点，求|pa|2|pb|2|pc|2|pd|2的取值范围解(1)由已知可得a，b，c，d，即a(1，)，b(，1)，c(1，)，d(，1)(2)设p(2cos ，3sin )，令s|pa|2|pb|2|pc|2|pd|2，则s16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以s的取值范围是32,5210(10分)(2012福建)在平面直角坐标系中，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点m，n的极坐标分别为(2,0)，圆c的参数方程为(为参数)(1)设p为线段mn的中点，求直线op的平面直