中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.5 开放探究型（试卷部分）课件.ppt

8 5开放探究型 中考数学 湖南专用 1 2018湖南邵阳 26 10分 如图所示 将二次函数y x2 2x 1的图象沿x轴翻折 然后向右平移1个单位 再向上平移4个单位 得到二次函数y ax2 bx c的图象 函数y x2 2x 1的图象的顶点为点a 函数y ax2 bx c的图象的顶点为点b 和x轴的交点为点c d 点d位于点c的左侧 1 求函数y ax2 bx c的解析式 2 从a c d三个点中任取两个点和点b构造三角形 求构造的三角形是等腰三角形的概率 3 若点m是线段bc上的动点 点n是 abc三边上的动点 是否存在以am为斜边的rt amn 使 amn的面积为 abc面积的 若存在 求tan man的值 若不存在 请说明理由 好题精练 解析 1 y x2 2x 1 x 1 2的图象沿x轴翻折 得y x 1 2 把y x 1 2向右平移1个单位 再向上平移4个单位 得y x2 4 所求的函数y ax2 bx c的解析式为y x2 4 2 y x2 2x 1 x 1 2 a 1 0 当y 0时 x2 4 0 解得x 2 则d 2 0 c 2 0 当x 0时 y x2 4 4 则b 0 4 从a c d三个点中任取两个点和点b构造三角形 有 acb adb cdb ac 3 ad 1 cd 4 ab bc 2 bd 2 bcd为等腰三角形 构造的三角形是等腰三角形的概率 3 存在 易得直线bc的解析式为y 2x 4 s abc ac ob 3 4 6 设点m的坐标为 m 2m 4 0 m 2 当n点在ac上时 如图1 图1 amn的面积为 abc面积的 m 1 2m 4 2 解得m1 0 m2 1 当m 0时 m点的坐标为 0 4 n 0 0 则an 1 mn 4 tan mac 4 当m 1时 m点的坐标为 1 2 n 1 0 则an 2 mn 2 tan mac 1 当n点在bc上时 如图2 图2bc 2 bc an ac bo 解得an s amn an mn 2 mn tan man 当n点在ab上 如图3 作ah bc于h 设an t 则bn t 图3由 得ah 则bh nbc hba bnm bha 即 mn an mn 2 即 t 2 整理得3t2 3t 14 0 3 2 4 3 14 15 0 方程没有实数解 点n在ab上不符合条件 综上所述 tan man的值为1或4或 解题关键本题是二次函数的综合题 解题时需要熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征 二次函数的性质 等腰三角形的判定及概率公式 理解二次函数图象的变换规律 会利用待定系数法求函数解析式 理解坐标与图形性质 记住两点间的距离公式 会利用相似比表示线段之间的关系 会运用分类讨论的思想解决数学问题 2 2016湖南湘潭 26 10分 如图 抛物线y x2 mx n的图象经过点a 2 3 对称轴为直线x 1 一次函数y kx b的图象经过点a 交x轴于点p 交抛物线于另一点b 点a b位于点p的同侧 1 求抛物线的解析式 2 若pa pb 3 1 求一次函数的解析式 3 在 2 的条件下 当k 0时 抛物线的对称轴上是否存在一点c 使得 c同时与x轴和直线ap都相切 如果存在 请求出点c的坐标 如果不存在 请说明理由 解析 1 y x2 mx n 对称轴为x 1 m 将a 2 3 代入y x2 x n 得n 3 抛物线的解析式为y x2 x 3 2 过a作ad x轴于d 过b作be x轴于e 则 pad pbe a 2 3 ad 3 be 1 设b x 1 代入抛物线的解析式得 x1 4 x2 2 b 4 1 或b 2 1 y x 5或y x 2 3 存在 理由如下 k 0时 y x 2 p 4 0 假设存在 设c 1 y 对称轴与y x 2的交点为m 与x轴交点为g y x 2与y轴的交点为h 则m h 0 2 当c在第一象限时 过c作cf ap于f mg y轴 pho fmc 又 hop mfc 90 cmf pho op 4 ph 2 cm y cf 由题意得cf cg y 解得y 5 2 5 10 c 1 5 10 同理 当c在第四象限时 y y 10 5 c 1 10 5 综上所述 c 1 5 10 或c 1 10 5 思路分析 1 根据抛物线的对称轴为直线x 1可求出m的值 再将点a的坐标代入抛物线的解析式中求出n的值 2 根据pa pb 3 1 结合点a的坐标即可得出点b的纵坐标 将其代入抛物线解析式中即可求出点b的坐标 再根据点a b的坐标利用待定系数法即可求出直线ap的解析式 3 假设存在 设出点c的坐标 依照题意画出图形 利用相似三角形的性质表示出c到直线ap的距离 根据圆与直线相切的性质即可求得c点的纵坐标 进而得出结论 解题关键 1 对抛物线性质熟练掌握 2 巧妙运用三角形相似将边长比例转化为横 纵坐标之间的比例关系 3 画出示意图并根据相切的条件找出题中的等量关系 3 2016湖南长沙 26 10分 如图 直线l y x 1与x轴 y轴分别交于a b两点 点p q是直线l上的两个动点 且点p在第二象限 点q在第四象限 poq 135 1 求 aob的周长 2 设aq t 0 试用含t的代数式表示点p的坐标 3 当动点p q在直线l上运动到使得 aoq与 bpo的周长相等时 记tan aoq m 若过点a的二次函数y ax2 bx c同时满足以下两个条件 6a 3b 2c 0 当m x m 2时 函数y的最大值等于 求二次项系数a的值 解析 1 对函数y x 1 令x 0 则y 1 b 0 1 令y 0 则x 1 a 1 0 则oa 1 ob 1 ab aob的周长为1 1 2 2 因为oa ob 故 abo bao 45 pbo qao 135 设 pob x 则 opb 45 x aoq 45 x opb aoq pbo oaq 故 pb 过p作ph ob于点h 易知 phb为等腰直角三角形 则ph hb p 3 由 2 知 pbo oaq 若它们周长相等 则相似比为1 则pb oa 1 aq ob 1 t 1 易得q m 1 抛物线过a点 a b c 0 而6a 3b 2c 0 b 4a c 3a 抛物线的对称轴为x 2 若a 0 则当x 1时 y取最大值 最大值为 2 2 即 1 2a 1 b c 2 2 解得a 若a 0 则当x 2时 y取最大值 最大值为2 2 即4a 2b c 2 2 解得a 2 2 综上 所求a的值为或 2 2 4 2016湖南郴州 26 12分 如图1 矩形abcd中 ab 7cm ad 4cm 点e为ad上一定点 点f为ad延长线上一点 且df acm 点p从a点出发 沿ab边向点b以2cm s的速度运动 连接pe 设点p运动的时间为ts pae的面积为ycm2 当0 t 1时 pae的面积y cm2 关于时间t s 的函数图象如图2所示 连接pf 交cd于点h 1 t的取值范围为 ae cm 2 如图3 将 hdf沿线段df进行翻折 与cd的延长线交于点m 连接am 当a为何值时 四边形pamh为菱形 并求出此时点p的运动时间t 3 如图4 当点p出发1s后 ad边上另一动点q从e点出发 沿ed边向点d以1cm s的速度运动 如果p q两点中的任意一点到达终点后 另一点也停止运动 连接pq qh 若a 请问 pqh能否构成直角三角形 若能 请求出点p的运动时间t 若不能 请说明理由 解析 1 0 t 3 5 1 2分 2 若四边形pamh为菱形 则pa hm 且pa hm am hm 又 mdf是由 hdf沿线段df进行翻折而得到的 hdf adm 90 hd dm 由题意可知 paf hdf df a af 4 a a 4 4分 在rt adm中 am pa 2t dm t am2 dm2 ad2 4t2 42 t2 解得t 或t 舍去 当a 4时 四边形pamh为菱形 此时点p的运动时间为s 6分 3 解法一 当a 时 由题意得 aq t qd 4 t hd 2t 过p作pg垂直于cd 垂足为g 如答图1 则gh 2t t 在rt paq中 pq2 pa2 aq2 5t2 在rt hqd中 qh2 qd2 hd2 4 t 2 t2 在rt pgh中 ph2 pg2 hg2 16 t2 9分 图1若 pqh为直角三角形 当q为直角顶点时 则5t2 4 t 2 t2 16 t2 解得t 2或t 0 舍去 当h为直角顶点时 则16 t2 4 t 2 t2 5t2 解得t 或t 8 舍去 当p为直角顶点时 则5t2 16 t2 4 t 2 t2 解得t 舍去 或t 0 舍去 当t 2或t 时 pqh为直角三角形 12分 解法二 由题意可知 pa 2t aq t hd t qd 4 t hg t 若 pqh为直角三角形 当q为直角顶点时 由 paq qdh 得 即 解得t 2或t 0 舍去 9分 当h为直角顶点时 如图2 由 qhd hfd 得 图2即 解得t 或t 8 舍去 11分 当p为直角顶点时 不可能 当t 2或t 时 pqh为直角三角形 12分 评析本题是四边形综合题 考查相似三角形的判定和性质 勾股定理等知识 5 2015山东聊城 25 12分 如图 在直角坐标系中 rt oab的直角顶点a在x轴上 oa 4 ab 3 动点m从点a出发 以每秒1个单位长度的速度 沿ao向终点o移动 同时点n从点o出发 以每秒1 25个单位长度的速度 沿ob向终点b移动 当两个动点运动了x秒 0 x 4 时 解答下列问题 1 求点n的坐标 用含x的代数式表示 2 设 omn的面积为s 求s与x之间的函数表达式 当x为何值时 s有最大值 最大值是多少 3 在两个动点运动的过程中 是否存在某一时刻 使 omn是直角三角形 若存在 求出x的值 若不存在 请说明理由 解析 1 由题意知 on 1 25x 在rt oab中 由勾股定理得ob 5 1分 如图1 作np oa于点p 则np ab 图1 opn oab 2分 即 解得op x pn x 点n的坐标是 3分 2 由题意知ma x 在 omn中 om 4 x om边上的高pn x s om pn 4 x x x2 x s与x之间的函数表达式为s x2 x 0 x 4 5分 配方得s x 2 2 当x 2时 s有最大值 最大值是 6分 3 存在某一时刻 使 omn是直角三角形 理由如下 如图2 若 omn 90 则mn ab 此时om 4 x on 1 25x 图2 mn ab omn oab 7分 即 解得x 2 8分 如图3 若 onm 90 则 onm oab 此时om 4 x on 1 25x 图3 onm oab mon boa omn oba 10分 即 解得x 综上所述 x的值是2或 12分 评析计算 omn的最大面积是本题的难点 此类题目一般是将图形面积转化为二次函数最值问题来解答 探索 omn是直角三角形是本题的另一个难点 一般采用逆向思维 假设存在 在此基础上根据相似 三角函数或勾股定理等列方程求解 6 2015河南 22 10分 如图1 在rt abc中 b 90 bc 2ab 8 点d e分别是边bc ac的中点 连接de 将 edc绕点c按顺时针方向旋转 记旋转角为 1 问题发现 当 0 时 当 180 时 2 拓展探究试判断 当0 360 时 的大小有无变化 请仅就图2的情形给出证明 3 问题解决当 edc旋转至a d e三点共线时 直接写出线段bd的长 解析 1 1分 2分 2 无变化 注 若无判断 但后续证明正确 不扣分 3分 证明 在题图1中 de是 abc的中位线 de ab edc b 90 如题图2 edc在旋转过程中形状和大小不变 仍然成立 4分 又 ace bcd ace bcd 6分 在rt abc中 ac 4 的大小不变 8分 3 4或 10分 提示 当 edc在bc上方 且a d e三点共线时 四边形abcd为矩形 bd ac 4 当 edc在bc下方 且a e d三点共线时 adc为直角三角形 由勾股定理可求得ad 8 ae 6 根据 可求得bd 7 2015湖南永州 27 10分 问题探究 一 新知学习 圆内接四边形的判定定理 如果四边形的对角互补 那么这个四边形内接于圆 即如果四边形efgh的对角互补 那么四边形efgh的四个顶点e f g h都在同一个圆上 二 问题解决 已知 o的半径为2 ab cd是 o的直径 p是上任意一点 过点p分别作ab cd的垂线 垂足分别为n m 1 若直径ab cd 对于上任意一点p 与b c不重合 如图1 证明 四边形pmon内接于圆 并求此圆直径的长 2 若直径ab cd 在点p 与b c不重合 从b运动到c的过程中 证明 mn的长为定值 并求其定值 3 若直径ab与cd相交成120 角 当点p运动到的中点p1时 如图2 求mn的长 在点p 与b c不重合 从b运动到c的过程中 如图3 证明mn的长为定值 4 试问当直径ab与cd相交成多少度角时 mn的长取最大值 并写出其最大值 解析 1 证明 连接op 则op 2 pm cd pn ab pmo pno 90 pmo pno 180 四边形pmon内接于圆 ab cd mon 90 又 pmo pno 90 四边形pmon是矩形 op即为所求直径 op 2 2 证明 由 1 知 四边形pmon是矩形 mn op op 2 是定值 mn的长也为定值 其定值为2 3 连接op1 则op1 2 p1是的中点 cop1 bop1 boc 60 op1m op1n 30 om on op1 1 p1m p1n p1mo p1no 90 点o m p1 n都在以op1为直径的同一个圆上 mon mp1n 180 mon 120 mp1n 60 p1m p1n mp1n是等边三角形 mn p1m p1n 证明 连接op 则op 2 取op的中点o 并分别连接o m o n pmo pno 90 点o m p n都在以op为直径的 o 上 o m o n op 1 mon mpn 180 mon 120 mpn 60 mo n 2 mpn 120 o mn o nm 30 过点o 作o e mn于点e 则o e o m me mn 2me mn的长为定值 4 如图 连接op 则op 2 取op的中点o 并分别连接o m o n pmo pno 90 点o m p n都在以op为直径的 o 上 o m o n op 1 在 mno 中 mn o m o n 2 当且仅当点m o n在同一条直线上时 等号成立 此时 mo n 180 则 mpn mo n 90 点o m p n四点共圆 mon 180 mpn 180 90 90 当直径ab与cd相交成90 角时 mn的长取最大值 其最大值为2 8 2014湖南岳阳 23 10分 数学活动