高考数学一轮必备 11.3《二项式定理》考情分析学案(1).doc

11.3二项式定理考情分析1能用计数原理证明二项式定理2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题基础知识1二项式定理(ab)ncancan1bcanrbrcbn(nn*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)n的二项展开式其中的系数c(r0,1，n)叫二项式系数式中的canrbr叫二项展开式的通项，用tr1表示，即通项tr1canrbr.2二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从c，c，一直到c，c.3二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等即cc.(2)增减性与最大值：二项式系数c，当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n是偶数时，中间一项cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项cn，cn取得最大值(3)各二项式系数和：ccccc2n；cccccc2n1.注意事项1.运用二项式定理一定要牢记通项tr1canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指c，而后者是字母外的部分前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a， b有关，可正可负2.二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续3. (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等(2)展开式的应用：利用展开式可证明与二项式系数有关的等式；可证明不等式；可证明整除问题；可做近似计算等4. (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结题型一二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】已知(3)n的展开式中各项系数之和为256，则展开式中第7项的系数是() a. 24b. 24c. 252d. 252答案：d解析：令x1可得各项系数之和为2n256，则n8，故展开式中第7项的系数为c32(1)6252.【变式1】若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_解析二项式6展开式的通项公式是tr1cx6r()rx2rcx63r()r，当r2时，tr1为常数项，即常数项是ca，根据已知ca60，解得a4.答案4题型二二项式定理中的赋值【例2】已知(1x)10a0a1(1x)a2(1x)2a10(1x)10，则a8()a. 180b. 90c. 5d. 5答案：a解析：(1x)102(1x)10其通项公式为：tr1c210r(1)r(1x)r，a8是r8时，第9项的系数所以a8c22(1)8180.故选a.【变式2】 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0c1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3， a5，a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.题型三二项式的和与积【例3】二项式(x)(1)4的展开式中x的系数是_答案：3解析：利用分步计数原理与组合数公式，符合题目要求的项有()4和x14，求和后可得3x，即展开式中x的系数为3.【变式3】x7的展开式中，x4的系数是_(用数字作答)解析原问题等价于求7的展开式中x3的系数，7的通项tr1cx7rr(2)rcx72r，令72r3得r2，x3的系数为(2)2c84，即x7的展开式中x4的系数为84.答案84重难点突破【例4】已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解：令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71，令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0c1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71094. (3)()2，得a0a2a4a61093