高考数学一轮必备 13.4《数学归纳法》考情分析学案(1).doc

第4讲数学归纳法考情分析1数学归纳法的原理及其步骤2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题基础知识数学归纳法的一般步骤：（1） 证明当取第一个值（）时命题成立（2） 假设时命题成立，证明当时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。注：证明当时，必需用到假设的结论。第一步中验证=，其中不一定是1，看题目的要求，有时可能是2或3等。 注意事项1.数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：(1) 第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明nk1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法第二步关键是“一凑假设，二凑结论”2.运用数学归纳法应注意以下三点：(1)nn0时成立，要弄清楚命题的含义(2)由假设nk成立证nk1时，要推导详实，并且一定要运用nk成立的结论(3)要注意nk到nk1时增加的项数题型一用数学归纳法证明等式【例1】在各项为正的数列an中，数列的前n项和sn满足sn(an)(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列an的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想解：(1)s1a1(a1)得a1.an0，a11,由s2a1a2(a2)，得a2a210，a21.又由s3a1a2a3(a3)得a2a310，a3.(2)猜想an(nn*)证明：当n1时，a11，猜想成立假设当nk(kn*，且k1)时猜想成立，即ak，则当nk1时，ak1sk1sk(ak1)(ak)，即ak1(ak1)()(ak1)，a2ak110，ak1.即nk1时猜想成立由知，an(nn*)【变式1】 用数学归纳法证明：对任意的nn*，.证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kn*且k1)时等式成立，即有，则当nk1时，所以当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nn*等式都成立题型二用数学归纳法证明整除问题【例2】试证：当nn*时，f(n)32n28n9能被64整除证明：(1)当n1时，f(1)64，命题显然成立(2)假设当nk(kn*，k1)时，f(k)32k28k9能被64整除当nk1时，由于32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)，nk1时命题也成立根据(1)、(2)可知，对于任意nn*，命题都成立【变式2】 用数学归纳法证明an1(a1)2n1(nn*)能被a2a1整除证明(1)当n1时，a2(a1)a2a1可被a2a1整除(2)假设nk(kn*且k1)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1a(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1，由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除，ak2(a1)2k1也能被a2a1整除，即nk1时命题也成立，对任意nn*原命题成立题型三用数学归纳法证明不等式【例3】已知数列an中，a1a(a2)，对一切nn*，an0，an1.求证：an2且an10，an1，an220，an2.若存在ak2，则ak12，由此可推出ak22，a12，与a1a2矛盾，故an2.an1an0，an12)当n1时，a1a2，故命题an2成立；假设nk(k1且kn*)时命题成立，即ak2，那么，ak1220.所以ak12，即nk1时命题也成立综上所述，命题an2对一切正整数成立an1n21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()a. 2b. 3c. 5d. 6答案：c2. 如果命题p(n)对nk(kn*)成立，则它对nk2也成立若p(n)对n2也成立，则下列结论正确的是()a. p(n)对所有正整数n都成立b. p(n)对所有正偶数n都成立c. p(n)对所有正奇数n都成立d. p(n)对所有自然数n都成立答案：b解析：由题意nk成立，则nk2也成立，又n2时成立，则p(n)对所有正偶数都成立故选b.3.某个与正整数n有关的命题，如果当nk(nn*，k1)时，该命题成立，则一定可推得当nk1时，该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，则()a. n4时该命题成立b. n6时该命题成立c. n4时该命题不成立d. n6时该命题不成立答案：c解析：因为“当nk(kn*，k1)时，该命题成立，则一定能推出当nk1时，该命题也成立”，故可得n5时该命题不成立，则一定有n4时，该命题也不成立故选c.4.用数学归纳法证明不等式(n2，nn*)的过程中，由nk递推到nk1时不等式左边()a. 增加了一项b. 增加了两项、c. 增加了b中两项但减少了一项d. 以上各种情况均不对答案：c解析：当nk时，左边，当nk1时，左边，增加了，减少了，故选c项5. 用数学归纳法证明：1222n22212