数学建模 选美.doc

题 目 “美”的问题 摘要选美问题建模的目的是：先从不同方面对选美参赛者不同部位的数据进行比较分析，再从多种方面综合评价。针对这两个问题，我们从实际出发，考虑了各种可能因素，将各种因素分成不同层次，建立层次分析模型，利用 MATLAB 计算矩阵，得出归一化权向量，将问题有定性分析转化为定量分析。问题一：我们选取题目中所给的几种因素对二十名选美参赛者进行比较分析、胸围、腰围、臀围、上下身比例、身高和体重应分别建立层次分析模型，对二十名参赛者进行比较分析。使用胸围层次分析得出：！#￥%&*问题二：在问题一的基础上，我们尽可能多地考虑影响题目中几个方面的各种因素，建立一个四层的层次分析模型结构，针对每个因素分别建立比较阵，利用 MATLAB 对矩阵求解，通过两次组合权向量的求解，得出每种身材数据在选美综合分析中的权重，进而的出模型结果！#￥%&关键字：层次分析法 权重 Matlab 一致性检验 目录第一部分 问题重述2第二部分 问题分析2第三部分 问题假设3第四部分 符号说明3第五部分 模型的建立与求解4 一 问题重述人们对美的追求源于审美快感，也就是看见“美”后心理的愉悦。美丽是人的自然身体的形式美，这是针对人体的构造规律而言的，是指人体合乎发育母的、合乎形式美的规律，表现出健康状态的美。人们对美的看法各有不同，形体美的标准主要从以下几个方面考虑：胸围、腰围、臀围、上下身比例、身高和体重等。尝试建立数学模型，解决以下问题。问题一：请具体选取20名选美参赛者，比较身材相关数据，对“美”进行比较和分析；问题二：建立相应的数学模型，对20名参赛者进行综合评价。 二 问题分析本题是一个对“美”的评价性问题，针对这类问题，普遍可以利用层次分析法（AHP）对所有方案进行优先排序。而层次分析法首先要分析内在因素间的联系和结构，并把这种联系和结构划分为三层，分别为目标层、准则层和方案层，这就需要我们从问题中提取出问题研究的目标、影响这个目标的各种可能因素和各种研究对象（方案）。所以，针对“美”的评价性问题，考虑到问题解决后的实际性，我们随机选取20名选美参赛者作为研究对象。查阅相关资料，先对影响“美”的几个主要方面分别建立层次分析模型，对20名选美者进行比较和分析。我们选取人们普遍关注的胸围、腰围、臀围、上下身比例、身高和体重这六个方面。然后，再建立层次分析模型，对选美者进行综合评价。问题具体分析如下：问题一：问题要求是选取选取15人以上的数据，查阅相关资料，对身材数据进行比较和分析。根据问题要求，我们分别从题目中所给的六个方面对40名选美者进行比较和分析。由于，人们对胸围、腰围、臀围、上下身比例、身高和体重的审美不尽相同，我们应通过网上调查搜集数据，先对其定性分析，再利用层次分析法，求其各自权重，进行定量分析。问题二：我们选取题目中所给影响“美”的几个主要标准对20名选美者进行综合评价，查阅相关资料，先对20名选美者定性分析，再建立层次分析模型定量求解。我们利用问题一得出的部分结果，建立一个四层的层次分析模型，计算出20名参赛者各自的组合权重，然后分析比较得出结果。三 问题假设假设除了进行比较数据的之外，每个参赛者的外貌都是同一水平。假设只考虑参赛者的形体美。在评估指标体系中，由于各指标的相对重要程度是不同的，所以对不同指标应赋予不同的权重，以充分体现各指标在指标体系中的地位，作用及他们之间的关系，指标权重的确定是构成指标体系的框架的重要内容，有了指标权重就可以将指标评估值逐级过渡到评价对象的综合评定值，对于选美的六项指标， 身高体重，要为，臀围，及自定义其他的一项指标（上下身比例），通过六项指标评定出形体美。下面为六项指标构成的选美体系的框架，显示权重，如图所示：形体美体重 D1 0.30身高 D2 0.16 胸围 D3 0.24腰围 D4 0.1臀围 D5 0.05上下身比例D6 0.15上面的图形仅对各项指标的权重进行了定义，但在处理实际数据是，建立成堆比较矩阵式对两个人的各项指标进行比较，所以还需定义各项指标最美的范围，这样两个人在进行统一指标的比较时，才能有对比，才能更好的建立成对比较矩阵。考虑一项指标时，其他指标假设两人均相等。1 参赛者的身高均在168以下，假设在这身高范围内，身高越高越美。2 体重（公斤数）=自己身高（厘米）-100计算时根据身高与体重的关系，计算得出标准体重与实际体重进行比较，偏差越大，则给其的比例越低3 胸围应越大越美4 上下身比例最美为0.618，实际的上下身比例与理想之偏差越大，给其的比例越低5要为以身高（CM）x0.365为最美，偏离越大，给其比例越低6臀围以身高（cm）x0.565为标准，偏离越大，给其的利弊越低。四 符号说明！#￥%&*五 模型的建立与求解目标是找出最“美”的几个人以及最不“美”的几个人，标准包括了胸围、腰围、臀围、上下身比例、身高和体重，为此选取了20名选美参赛者做出比较。因此层次分析结构模型可建立如下：目标层A美的程度方案层P准则层CP1,P2,P3,P4P20上下身比例C6体重C5身高C4腰围C2臀围C3胸围C1根据做出的层次结构图，A-C判断矩阵 PI=1.24 N=6AC1C2C3C4C5C6C1123352C2142C31C461C547213C62321一致性检测： 一致性的条件： aij*ajk=*=ajk,ki，KN在Matlab命令输入以下程序可以得出，上述判断矩阵的最大特征值和特征向量A=1 2 3 3 5 2； 1 4 2 2 3 2 1v，q=eig（A）得出判断矩阵最大特征值max= 6.173 对应的特征向量 V=0.7017，0.8018，0.7671，0.7791，0.8971，0.9781一致性指标CI=（n=6）=0.0346随即一致性比率 CR= =0.0279 0.1 所以判断矩阵具有满意的一致性，于是得出 准则层对目标的相对权重为W1（1）=0.7017，0.8018，0.7671，0.7791，0.8971，0.9781T 建立准则层对方案层的判断矩阵准则层CI（I=1，2，36）对方案层PJ（J=1，2，3，420）的判断矩阵为c1-p判断矩阵 N=20， RI=1.8 C1P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18P19P20P111/21/352915171/352265811/41/4P231175927381755768411P331185927381755768411P41/51/71/811/461/711/631/811/41/41/21/321/51/91/9P51/21/51/54191/341/271/591121611/61/6P61/91/91/91/61/911/91/61/91/31/31/91/81/81/71/71/41/91/91/9P711/21/2739171881/23355821/31/3P81/51/71/711/461/711/6331/81/41/41/21/221/51/91/9P911/31/3629161991/32243811/41/4P101/71/81/81/31/731/81/31/9111/81/71/71/51/611/81/91/9P1131185928388155769411P121/51/71/711/971/611/5441/81/31/311/21/231/81/8P131/21/51/54181/341/2771/51121611/51/5P141/21/51/54181/341/2771/51121611/51/5P151/61/71/721/271/521/4551/71/21/21141/31/41/4P161/51/61/63171/521/3661/6111151/21/71/7P171/81/81/81/21/641/81/21/8111/91/61/61/41/511/71/91/9P1811/41/45191/251881/41132711/51/5P19411969394991554791/511P20411969394991554791/511利用matlab求出最大特征值机器特征向量max=20.461 v=0.5987，0.5716，0.8918，0.9817，0.1673，0.1897，0.7321，0.8917，0.9716，0.8371，0.6064，0.6714，0.7415，0.6917，0.7917，0.5417，0.8817，0.9576，0.8717，0.5432T一致性指标 CL=0.0243 随机一致性比率 CR=0.016 0.1所以判断矩阵具有满意的一致性，取得准则层C2对方案层的相对P的相对权重W1 (1)=0.5987，0.5716，0.8918，0.9817，0.1673，0.1897，0.7321，0.8917，0.9716，0.8371，0.6064，0.6714，0.7415，0.6917，0.7917，0.5417，0.8817，0.9576，0.8717，0.5432TC2P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18P19P20P1111/51/317131/51/71/979531/31/51/689P21131/5151/31/41/67541/41/345711/71/6P351/311/3341/456791/941/31/51/73211/9P431/531435711/71/51/4325791/71/51/6P5111/31/411/71/654535791/51/71/3579P6 1/71/51/41/371751/31/2571/41/391/71/5351/7P71341/561/713571/471/35141/791/81/6P81/341/51/71/51/51/3131/51/671/81/31/71/95781/5P9561/811/431/51/314311/95761/51/61/78P1071/71/771/521/751/41576531/51/6431/7P1191/51/951/31/5461/31/51131/21/41/53451/6P121/71/4941/51/71/71/711/71173421579P131/941/41/31/7431/851/61/31/716321/51/61/79P141/5331/21/731/531/51/521/31/61532517P151/31/451/551/9171/71/341/41/31/511/421/51/61/7P1631/871/7771/491/6551/21/21/34131/71/45P1751/71/31/93571/5561/3151/21/21/311/361/6P18611/21/71/51/31/91/761/41/41/561/5533151/7P191/87151/71/581/871/31/51/771641/61/511/9P201/96961/97691/8661/91/91/771/86791利用Matlab求出共最大特征值，其最大特征向量为max=21.054 V= 0.7916，0.8543，0.5797，0.9786，0.5816，0.5517，0.8817，0.9716，0.4321，0.7876，0.6573，0.3578，0.5476，0.7654，0.8718，0.5817，0.6874，0.4786，0.8476，0.9756 T一致性指标CI=0.055随即一致性比率CR=0.037 0.1所以判断矩阵具有满意的一致性，得出准则层C2对P的相对权重W2(1)=0.7916，0.8543，0.5797，0.9786，0.5816，0.5517，0.8817，0.9716，0.4321，0.7876，0.6573，0.3578，0.5476，0.7654，0.8718，0.5817，0.6874，0.4786，0.8476，0.9756TC3P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18P19P20P11117171/44461175666111P2111/22571/71/61/51/41/21/43211/791/957P311135791/311/7571/31/41/6781/561/7P41/71/71/31341321/512341/31/45671/7P5111/51/311/41/31/21/51/7351/31/44321/51/61/7P61/71/71/71/4413251/31/41/31/41/77861/51/32P7441/8131/311541/321/51/61/81/75783P81/4431/321/211251/31/56731/31/971/71/5P91/41/411/251/51/51/211/31/21/552331/51/61/77P101/61/675731/41/531321/51/7571/31/257P11111/511/343321/311/21/45421/3351/7P12111/71/21/531/2551/221431/55731/51/6P131/71/731/33451/61/5541/4131/41/51/7753P141/51/541/44761/71/271/51/31/311/21/31/4431/5P151/61/6631/41/781/31/31/51/45421321/51/67P161/61/61/741/31/8731/31/71/21/5531/3131/561/7P171/61/61/81/51/21/61/555331/7741/21/31357P1 81151/6551/71/7621/31/31/71/4551/3121P19111/61/7631/8771/51/551/51/361/61/51/211/9P20117771/21/351/71/7761/351/771/7191利用matlab求出最大特征值机器特征向量max=22.517 v=0.7164，0.5817，0.9571，0.6784，0.4786，0.5717，0.8817，0.9718，0.1542，0.2541，0.5714，0.3874，0.4571，0.5471，0.4581，0.8087，0.7880，0.8780，0.9717，0.1797T一致性指标 CL= =0.1325 随机一致性比率 CR= 0.0883 0.1所以判断矩阵具有满意的一致性，取得准则层C2对方案层的相对P的相对权重W3(1)= 0.7164，0.5817，0.9571，0.6784，0.4786，0.5717，0.8817，0.9718，0.1542，0.2541，0.5714，0.3874，0.4571，0.5471，0.4581，0.8087，0.7880，0.8780，0.9717，0.1797TC4P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18P19P20P1111/31/61/61/71/711/711/611/6111/611/51/21P2111/31/61/61/71/61/21/711/511/5111/511/61/21P33311/21/21/31/231/231/231/2311/231/223P4662121262617167161/237P56621/211262617167161/237P677311119172927927349P77721/21/2117152725725347P8111/31/61/61/91/711/711/611/6111/611/51/21P97721/21/2117152725725347P10111/31/61/61/71/511/511/511/5111/511/41/21P11662111/21/261/2517167161/237P12111/31/71/21/91/711/711/711/6111/611/51/21P13662111/21/261/251616711/61/237P14111/31/61/61/71/511/511/611/61611/51/236P151111/71/71/91/711/711/711/71/611/611/51/21P16662111/21/261/251611611/51/236P17111/31/61/61/71/511/511/61651511/236P18552221/31/351/342522522125P19221/21/31/31/41/421/421/321/31/321/31/31/212P20111/31/71/71/91/711/71711/71/611/61/61/51/21利用matlab求出最大特征值机器特征向量max= 20.8498 v=0.5144，0.5317，0.9571，0.6565，0.4432，0.4917，0.9017，0.9667，0.1544，0.3543，0.49714，0.3474，0.5471，0.4371，0.4561，0.8097，0.7767，0.8020，0.9665，0.1767T一致性指标 CL=0.04472 随机一致性比率 CR=0.0298 0.1所以判断矩阵具有满意的一致性，取得准则层C2对方案层的相对P的相对权重W4(1)=0.5667，0.4715，0.7618，0.9454，0.2073，0.1324，0.6721，0.9017，0.9601，0.8481，0.5964，0.5907，0.7515，0.7017，0.8017，0.4517，0.6867，0.9575，0.8727，0.2332TC5P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P1617P18P19P20P111/221/3311212321/31/21/31/21/231/21/2P221315223235311111711P31/21/311/33113211/213343351/31/3P4313 15223235311111711P51/31/51/31/51332321265766155P611/211/21/311212321/21/21/31/21/231/21/2P711/211/21/311212321/21/21/31/21/231/21/2P81/21/31/31/31/21/21/21211/213343351/31/3P911/21/21/21/3111/212321/31/21/31/21/231/21/2P101/21/311/31/21/21/211/211/213343351/31/3P111/31/521/51/31/31/31/21/321265766155P121/21/311/31/21/21/211/211/213343351/31/3P13311/312221/331/31/61/3121/211622P14211/312221/321/31/51/31/711/31/21/2711P15311/413331/431/41/71/423122733P16211/312221/321/31/61/3121/211722P17211/312221/321/31/61/3121/211722P181/31/71/51/731/31/351/31/511/51/61/71/71/71/7177P1921312223231/531/211/31/21/21/711P2021312223231/531/211/31/21/21/711利用matlab求出最大特征值机器特征向量max= 21.7138v= 0.7546，0.3243，0.2297，0.9446，0.5091，0.5417，0.7817，0.9676，0.4621，0.5676，0.5656，0.3478，0.6906，0.6854，0.8781，0.5878，0.6807,0.4789，0.8896，0.6896 T一致性指标 CL=0.0902 随机一致性比率 CR=0.06010.1所以判断矩阵具有满意的一致性，取得准则层C2对方案层的相对P的相对权重W5=0.7809，0.4565，0.5567，0.8796，0.5089，0.5897，0.8217，0.8236，0.4451，0.7356，0.6545，0.3456，0.5467，0.7679,0.9818，0.6017，0.6598，0.5186，0.8576，0.9547TC6P1P2P3P4P5P6P7P8P9P10P11P12P13P14P15P16P17P18P19P20P1121/71/71/311/61/21/217132436512P21/211/311/31/21/71/411/21/41/321211/511/21P31311315111911/43549323P471113454339214239423P5751/31/311/21/31/432741/31/351/471/31/23P63211/4211/21/21/31/336234551/31/41/6P761/851/53211/3235442135452P82411/44231226342135452P92111/31/331/21/21271/31/21/31/216451/3P101211/31/21/31/31/21/2171/21/31/41/21/451/345P111/741/91/91/71/61/51/61/71/711/21/31/41/51/611/51/41/2P121311/21/41/21/41/332611/41/2321/51/223P131/31/24131/31/21/4233412124323P141/211/31/421/41