高考数学二轮专题复习 解三角形提分训练 文 新人教版.doc

解三角形高考试题考点一 正弦定理与余弦定理1.(2013年新课标全国卷,文10)已知锐角abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,23cos2a+cos 2a=0,a=7,c=6,则b等于()(a)10(b)9 (c)8 (d)5解析:由题意知,23cos2a+2cos2a-1=0,即cos2a=,又因abc为锐角三角形,所以cos a=.abc中由余弦定理知72=b2+62-2b6,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选d.答案:d2.(2013年陕西卷,文9)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若bcos c+ccos b=asin a,则abc的形状为()(a)直角三角形(b)锐角三角形(c)钝角三角形(d)不确定解析:由正弦定理,得sin bcos c+cos bsin c=sin2a,则sin(b+c)=sin2a,由三角形内角和定理及互为补角的诱导公式,得sin(b+c)=sin2a=1,所以a=,故选a.答案:a3.(2013年北京卷,文5)在abc中,a=3,b=5,sin a=,则sin b等于()(a)(b)(c)(d)1解析:由正弦定理得=,sin b=.故选b.答案:b4.(2013年山东卷,文7)abc的内角a、b、c所对的边分别为a、b、c.若b=2a,a=1,b=,则c等于()(a)2(b)2 (c)(d)1解析:由正弦定理,得=,b=2a,a=1,b=,=,sin a0,cos a=得a=,b=,c=.c=2.故选b.答案:b5.(2013年湖南卷,文5)在锐角abc中,角a,b所对的边长分别为a,b.若2asin b=b,则角a等于()(a)(b)(c)(d)解析:由正弦定理得,2sin asin b=sin b,sin a=,因为abc为锐角三角形,所以a=.故选a.答案:a6.(2012年广东卷,文6)在abc中,若a=60,b=45,bc=3,则ac等于()(a)4(b)2(c)(d)解析:由正弦定理可知, =,所以ac=2.故选b.答案:b7.(2011年浙江卷,文5)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c.若acos a=bsin b,则sin acos a+cos2b等于()(a)-(b)(c)-1(d)1解析:因为在abc中,acos a=bsin b,由正弦定理可得sin acos a=sin2b,即sin acos a=1-cos2b,所以sin acos a+cos2b=1.故选d.答案:d8.(2012年陕西卷,文13)在abc中,角a,b,c所对边的长分别为a,b,c.若a=2,b=,c=2,则b=.解析:由余弦定理得b2=a2+c2-2accos b=22+(2)2-222cos=4,b=2.答案:29.(2012年福建卷,文13)在abc中,已知bac=60,abc=45,bc=,则ac=.解析:由正弦定理知=,代入数据得=,ac=.答案:10.(2013年重庆卷,文18)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求a;(2)设a=,s为abc的面积,求s+3cos bcos c的最大值,并指出此时b的值.解:(1)由余弦定理得cos a=-.又0a,所以a=.(2)由(1)得sin a=,又由正弦定理及a=得s=absin c=asin c=3sin bsin c,因此,s+3cos bcos c=3(sin bsin c+cos bcos c)=3cos(b-c).所以,当b=c,即b=时,s+3cos bcos c取最大值3.11.(2013年湖北卷,文18)在abc中,角a,b,c对应的边分别是a,b,c.已知cos 2a-3cos(b+c)=1.(1)求角a的大小;(2)若abc的面积s=5,b=5,求sin bsin c的值.解:(1)由cos 2a-3cos(b+c)=1,得2cos2 a+3cos a-2=0,即(2cos a-1)(cos a+2)=0.解得cos a=或cos a=-2(舍去).因为0a,所以a=.(2)由s=bcsin a=bc=bc=5,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos a=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理,得sin bsin c=sin asin a=sin2 a=.12.(2012年新课标全国卷,文17)已知a,b,c分别为abc三个内角a,b,c的对边,c=asin c-ccos a.(1)求a;(2)若a=2,abc的面积为,求b,c.解:(1)由c=asin c-ccos a及正弦定理得sin asin c-cos asin c-sin c=0,由sin c0,所以sin（a-）=,又0ab,则b等于()(a)(b)(c)(d)解析:由asin bcos c+csin bcos a=b得sin asin bcos c+sin csin bcos a=sin b,因为sin b0,所以sin acos c+cos asin c=,即sin(a+c)= ,sin b=,又ab,则b=,故选a.答案:a2.(2013年新课标全国卷,文4)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知b=2,b=,c=,则abc的面积为()(a)2+2(b)+1(c)2-2(d)-1解析:由正弦定理知c=2.又sin a=sin(-b-c)=sin(b+c)=sin bcos c+cos bsin c=,所以abc的面积s=bcsin a=+1.故选b.答案:b3.(2013年安徽卷,文9)设abc的内角a,b,c所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sin a=5sin b,则角c等于()(a)(b) (c)(d)解析:利用正弦定理,由3sin a=5sin b得a=b,又因b+c=2a,得c=2a-b=b-b=b,所以cos c=-,则c=.故选b.答案:b4.(2012年湖北卷,文8)设abc的内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且abc,3b=20acos a,则sin asin bsin c为()(a)432(b)567(c)543(d)654解析:因为a,b,c为连续的三个正整数,且abc,可得a=c+2,b=c+1;又因为3b=20acos a,由余弦定理可知cos a=,则3b=20a,联立,化简可得7c2-13c-60=0,解得c=4或c=- (舍去),则a=6,b=5.又由正弦定理可得,sin asin bsin c=abc=654.故应选d.答案:d5.(2011年四川卷,文8)在abc中,sin2asin2b+sin2c-sin bsin c,则a的取值范围是()(a)（0,(b),）(c)(0,(d),)解析:根据正弦定理,由sin2asin2b+sin2c-sin bsin c得a2b2+c2-bc,根据余弦定理cos a=,又0a,0a,故选c.答案:c6.(2013年福建卷,文21)如图,在等腰直角opq中,poq=90,op=2,点m在线段pq上.(1)若om=,求pm的长;(2)若点n在线段mq上,且mon=30,问:当pom取何值时,omn的面积最小?并求出面积的最小值.解:(1)在omp中,opm=45,om=,op=2,由余弦定理得,om2=op2+mp2-2opmpcos 45,得mp2-4mp+3=0,解得mp=1或mp=3.(2)设pom=,060,在omp中,由正弦定理,得=,所以om=,同理on=.故somn=omonsinmon=.因为060,302+30150,所以当=30时,sin(2+30)的最大值为1,此时omn的面积取到最小值.即pom=30时,omn的面积的最小值为8-4.7.(2013年江西卷,文17)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知sin asin b+sin bsin c+cos 2b=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若c=,求的值.(1)证明:由sin asin b+sin bsin c+1-2sin2b=1得sin a+sin c-2sin b=0.因为=,所以a+c-2b=0,所以2b=a+c,即a、b、c成等差数列.(2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2abcos c及2b=a+c,c=,得(a-2b)2=a2+b2-2ab.即a2+4b2-4ab=a2+b2+ab,也即3b2=5ab,所以=.8.(2013年浙江卷,文18)在锐角abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且2asin b=b.(1)求角a的大小;(2)若a=6,b+c=8,求abc的面积.解:(1)由2asin b=b及正弦定理=,得sin a=.因为a是锐角,所以a=.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos a,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由三角形面积公式s=bcsin a,得abc的面积为=.9.(2013年天津卷,文16)在abc中,内角a,b,c所对的边分别是a,b,c.已知bsin a=3csin b,a=3,cos b=.(1)求b的值;(2)求sin（2b-）的值.解:(1)在abc中,由=,可得bsin a=asin b.又由bsin a=3csin b,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos b,cos b=,可得b=.(2)由cos b=,得sin b=,从而得cos 2b=2cos2b-1=-,sin 2b=2sin bcos b=.所以sin（2b-）=sin 2bcos -cos 2bsin =.10.(2012年辽宁卷,文17)在abc中,角a,b,c的对边分别为a,b,c,角a,b,c成等差数列.(1)求cos b的值;(2)边a,b,c成等比数列,求sin asin c的值.解:(1)角a、b、c成等差数列,2b=a+c,又a+b+c=,b=,cos b=.(2)边a,b,c成等比数列,b2=ac,根据正弦定理得sin2 b=sin asin c,sin asin c=sin2 b=（sin）2=.11.(2010年福建卷,文21)某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口o北偏西30且与该港口相距20海里的a处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值;(3)是否存在v,使得小艇以v海里/时的航行速度行驶,总能有两种不同的航行方向与轮船相遇?若存在,试确定v的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)法一设相遇时小艇的航行距离为s海里,则s=.故当t=时,smin=10,v=30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.法二若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向.如图所示,设小艇与轮船在c处相遇.在rtoac中,oc=20cos 30=10,ac=20sin 30=10.又ac=30t,oc=vt,此时,轮船航行时间t=,v=30.即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小.(2)如图所示,设小艇与轮船在b处相遇.由题意可得(vt)2=202+(30t)2-22030tcos(90-30),化简得v2=-+900=400(-)2+675.由于00),于是400u2-600u+900-v2=0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇,等价于方程(*)应有两个不等正根,即解得15v30.所以v的取值范围是(15,30).模拟试题考点一 正弦定理与余弦定理1.(2013安徽望江四中高三月考)在abc中,角a、b、c的对边分别为a、b、c,若b-c=acos c,则a等于()(a) (b)(c)或 (d)或解析:由正弦定理知,2sin b-sin c=2sin acos c,2sin(a+c)-2sin acos c=sin c,2cos asin c=sin c,sin c0,cos a=.又0a,a=.故选b.答案:b2.(2013广东江门高三一模)在abc中,若a=,b=,ab=6,则ac等于()(a)(b)2(c)3(d)4解析:c=-a-b=-=.由正弦定理=,=,ac=4.故选d.答案:d3.(2013四川外国语学校高三月考)在abc中,a、b、c分别是角a、b、c的对边,b=,且sin asin c=31,则bc的值为.解析:sin asin c=ac=31,a=3c.由余弦定理cos=,=,7c2=b2,=7,=.答案:4.(2013浙江金丽衢十二校第一次联合考试)在abc中,角a、b、c的对边分别为a、b、c,c=,b=5,abc的面积为10.(1)求a、c的值;(2)求sin（a+）的值.解:(1)sabc=absin c=10,a5sin=20,得a=8,c2=a2+b2-2abcos c,c=7.(2)=,sin a=,cos a=,sin(a+)=sin acos+cos asin=+=.考点二 正、余弦定理的综合应用1.(2013广东肇庆高三一模)在abc中,ac=,bc=2,b=60,则abc的面积等于.解析:设角a、b、c的对边分别为a、b、c,由余弦定理,cos b=,即=,c2-2c-3=0,c=3或c=-1(舍).sabc=acsin b=.答案:2.(2012安徽淮南质检)在abc中,设角a,b,c的对边分别为a,b,c,若a=(cos c,2a-c),b=(b,-cos b)且ab,则b=.解析:由ab,得ab=bcos c-(2a-c)cos b=0,利用正弦定理,可得sin bcos c-(2sin a-sin c)cos b=sin bcos c+cos bsin c-2sin acos b=0,即sin(b+c)=sin a=2sin acos b,因为sin a0,故cos b=,又0b,因此b=.答案:3.(2013浙江嘉兴高三测试)在abc中,a、b、c分别是角a、b、c所对的边,且a=c+bcos c.(1)求角b的大小;(2)若sabc=,求b的最小值.解:(1)由正弦定理可得sin a=sin c+sin bcos c,又因为a=-(b+c),所以sin a=sin(b+c),可得sin bcos c+cos bsin c=sin c+sin bcos c,又sin c0,即cos b=,所以b=.(2)因为sabc=,所以acsin=,所以ac=4,由余弦定理可知b2=a2+c2-ac2ac-ac=ac,当且仅当a=c时等号成立.所以b24,即b2,所以b的最小值为2.4.(2013重庆第