高考数学一轮必备 5.1《平面向量的概念及线性运算》考情分析学案(1).doc

5.1平面向量的概念及其线性运算考情分析平面向量的线性运算，共线问题独立命题较少，多与平面向量基本定理、坐标运算及数量积应用相结合，属中低档题，题型多为选择题、填空题。基础知识1向量的有关概念(1)向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量注意向量和数量的区别，向量常用有向线段来表示(2)零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，零向量的方向是任意的.(3)单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)(4)相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性(5)平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零的向量，向量叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行注意：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性；三点a、b、c共线共线(6)相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量a的相反向量是a.2向量的表示方法(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等3向量的线性运算（1）向量的加法：求两个向量的和的运算，叫向量的加法 向量加法满足交换律abba、结合律(ab)ca(bc)向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则(即首尾相接，连首尾)(2)向量的减法：与向量a方向相反且等长的向量，叫做a的相反向量，记为a，a(a)0；向量a加上向量b的相反向量，叫做向量的减法，即向量a减去向量b.向量减法可以使用三角形法则，即“共起点，连终点，方向指向被减向量”4实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)|a|a|，(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0，注意：a.运算律： ()（） () ()5向量平行(共线)的充要条件： abab(b0). 6向量垂直的充要条件： ab |ab|ab|。7向量中的一些常用的结论(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用(2)|a|b|ab|a|b|，特别地，当a、b同向时|ab|a|b|a|b|ab|；当a、b反向时|ab|a|b|a|b|ab|；当a、b不共线|a|b|ab|a|b|(这些和实数比较类似)注意事项1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量2.(1)向量共线的充要条件中要注意“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个 (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合题型一平面向量的概念【例1】下列命题中正确的是()aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线b任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点c向量a与b不共线，则a与b都是非零向量d有相同起点的两个非零向量不平行解析由于零向量与任一向量都共线，所以a不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以b不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以d不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选c.答案c【变式1】 给出下列命题：若a，b，c，d是不共线的四点，则是四边形abcd为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab；若a与b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中正确命题的序号是_解析正确，错误答案题型二平面向量的线性运算【例2】2设p是abc所在平面内的一点，2，则()a0 b0c0 d0解析：如图，根据向量加法的几何意义2p是ac的中点，故0.答案：b【变式2】 在abc中，c，b，若点d满足2，则()a.bc b.cb c.bc d.bc解析2，2()，32bc.答案a题型三共线向量定理及其应用【例3】设向量e1，e2不共线，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，给出下列结论：a、b、c共线；a、b、d共线；b、c、d共线；a、c、d共线，其中所有正确结论的序号为_解析：4e12e2，3e1，由向量共线的充要条件ba(a0)可得a、c、d共线，而其他无解答案：【变式3】已知a，b是不共线的向量，ab，ab(，r)，那么a，b，c三点共线的充要条件是()a2 b1c1 d1解析由ab，ab(，r)及a，b，c三点共线得：t ，所以abt(ab)tatb，即可得所以1.故选d.答案d巩固提高一、选择题1. 设e1，e2是两个不共线的向量，且ae1e2与be2e1共线，则实数()a. 1b. 3c. d. 答案：d解析：ae1e2与be2e1共线，存在实数t，使得bta，即e2e1t(e1e2)，e2e1te1te2，t1，t，即，故选d.2. 给出下列命题：向量的长度与向量的长度相等；两个非零向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量一定是共线向量其中不正确命题的个数为()a. 1b. 2c. 3d. 4答案：a解析：对于，在abc中，与有公共终点a，但不是共线向量，故错正确，故选a.3.若四边形abcd满足0，()0，则该四边形一定是()a. 直角梯形b. 菱形c. 矩形d. 正方形答案：b解析：由0知，即abcd，abcd.四边形abcd是平行四边形又()0，0，即acbd，因此四边形abcd是菱形，故选b.4.设m是abc所在平面内的一点，2，则()a. 0b. 0c. 0d. 0答案：b解析：2，2，即220.5.非零不共线向量，且2xy，若(r)，则点q(x，y)的