广东省广州市广雅中学高三数学上学期10月月考试卷 理（含解析）.doc

广东省广州市广雅中学2015届高 三上学期10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合m=xz|x2+2x0，n=x|x22x=0，xr，则mn=（）a0b0，2c2，0d2，0，22（5分）若复数z1=5+5i，z2=3i，则=（）a4+2ib2+ic1+2id33（5分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=ln（x+1）by=cy=（）xdy=x+4（5分）已知sin（+）=，则cos2=（）abcd5（5分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）a若m，mn，n，则b若，m，m，则mc若m，m，则d若，m，n，则mn6（5分）巳知双曲线g的中心在坐标原点，实轴在x轴上，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之差为12，则双曲线g的方程为（）a=1b=1c=1d=17（5分）在平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定若m（x，y）为d上的动点，点a的坐标为（，1），则|的最大值为（）a4b3cd38（5分）若x是一个集合，集合v是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：（1）xv，空集v；（2）v中任意多个元素的并集属于v；（3）v中任意多个元素的交集属于v；称v是集合x上的一个拓扑已知集合x=a，b，c，对于下列给出的四个集合v：v=，a，c，a，b，c；v=，b，c，b，c，a，b，c；v=，a，a，b，a，c；v=，a，c，b，c，c，a，b，c则其中是集合x上的拓扑的集合v的序号是（）abcd二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）计算（cosx+1）dx=10（5分）函数f（x）=的单调递增区间是11（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为12（5分）曲线y=ex过点（0，0）的切线方程为13（5分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形abcd和befc，点p是边bc上的一个动点，设cp=x，则ap+pf=f（x）请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是（二）选做题（1415题，只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的方程为sin=1，则曲线c1和c2交点的直角坐标为【几何证明选讲选做题】15如图，圆o的直径ab=6，c为圆周上一点，bc=3，过c作圆的切线l，过a作l的垂线ad，垂足为d，则线段cd的长为三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=acos（x+）（a0，0，0）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2，2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角满足f（2+）=，求f（2）的值17（12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率（1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量x表示某两人所获优惠金额的总和，求x的分布列和数学期望18（14分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧面a1add1底面abcd，d1a=d1d=，底面abcd为直角梯形，其中bcad，abad，ad=2ab=2bc=2，o为ad中点（）求证：a1o平面ab1c；（）求锐二面角ac1d1c的余弦值19（14分）已知数列an满足a0r，an+1=2n3an，（n=0，1，2，）（1）设bn=，试用a0，n表示bn（即求数列bn的通项公式）；（2）求使得数列an递增的所有a0的值20（14分）已知椭圆=1（ab0）经过点（，），且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点f作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点a，c及b，d，设线段ac，bd的中点分别为p，q求证：直线pq恒过一个定点21（14分）已知函数f（x）=lnx+x2（）若函数g（x）=f（x）ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，若a1，h（x）=e3x3aexx0，ln2，求h（x）的极小值；（）设f（x）=2f（x）3x2kx（kr），若函数f（x）存在两个零点m，n（0mn），且2x0=m+n问：函数f（x）在点（x0，f（x0）处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由广东省广州市广雅中学2015届高三上学期10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（ 5分）设集合m=xz|x2+2x0，n=x|x22x=0，xr，则mn=（）a0b0，2c2，0d2，0，2考点：交集及其运算 专题：集合分析：求出m中不等式解集的整数解确定出m，求出n中方程的解确定出n，找出两集合的交集即可解答：解：m=xz|x2+2x0=xz|2x0=2，1，0，n=x|x22x=0，xr=0，2，mn=0故选：a点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（5分）若复数z1=5+5i，z2=3i，则=（）a4+2ib2+ic1+2id3考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值解答：解：z1=5+5i，z2=3i，则=故选：c点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题3（5分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ay=ln（x+1）by=cy=（）xdy=x+考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，逐一分析四个答案中函数的单调性，可得答案解答：解：a中，函数y=ln（x+1）在区间（0，+）上为增函数，b中，y=在区间（0，+）上为减函数，c中，y=（）x在区间（0，+）上为减函数，d中，y=x+在区间（0，1）上为减函数，在（1，+）为增函数，故选：a点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握指数函数，对数函数，幂函数，一次函数，对勾函数和复合函数单调性，是解答的关键4（5分）已知sin（+）=，则cos2=（）abcd考点：二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：因为sin（+）=cos=，即有cos=，从而由二倍角的余弦公式知cos2=2cos21=解答：解：sin（+）=cos=，即有cos=，cos2=2cos21=故选：a点评：本题主要考察了二倍角的余弦公式和诱导公式的综合运用，属于中档题5（5分）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中错误的是（）a若m，mn，n，则b若，m，m，则mc若m，m，则d若，m，n，则mn考点：空间中直线与平面之间的位置关系 分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解解答：解：若m，mn，n，则由平面与平面垂直的判定定理得，故a正确；若，m，m，则由直线与平面平行的判定定理得m，故b正确；若m，m，则由平面与平面垂直的判定定理得，故c正确；若，m，n，则m与n相交、平行或异面，故d错误故选：d点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养6（5分）巳知双曲线g的中心在坐标原点，实轴在x轴上，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之差为12，则双曲线g的方程为（）a=1b=1c=1d=1考点：双曲线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设双曲线g的方程为，由已知得，由此能求出双曲线方程解答：解：设双曲线g的方程为，离心率为，且g上一点到g的两个焦点的距离之差为12，解得a=6，b=3，所求双曲线方程为故选：b点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要注意双曲线性质的合理运用7（5分）在平面直角坐标系xoy上的区域d由不等式组给定若m（x，y）为d上的动点，点a的坐标为（，1），则|的最大值为（）a4b3cd3考点：简单线性规划 专题：数形结合；平面向量及应用分析：由约束条件作出可行域，然后由图可得使|取得最大值的点m，并求得最大值解答：解：由不等式组作出可行域如图，由图象知，当点m的坐标为（0，0）或（0，2）时，的值最大，为故选：c点评：本题考查了简单的线性规划，考查了向量模的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题8（5分）若x是一个集合，集合v是一个以x的某些子集为元素的集合，且满足：（1）xv，空集v；（2）v中任意多个元素的并集属于v；（3）v中任意多个元素的交集属于v；称v是集合x上的一个拓扑已知集合x=a，b，c，对于下列给出的四个集合v：v=，a，c，a，b，c；v=，b，c，b，c，a，b，c；v=，a，a，b，a，c；v=，a，c，b，c，c，a，b，c则其中是集合x上的拓扑的集合v的序号是（）abcd考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：根据拓扑的定义，结合元素和集合的关系即可得到结论解答：解：利用拓扑的定义，可以发现集合x的空集和全集都属于它的拓扑v，错误；又v中任意多个元素的并集属于v，v中任意多个元素的交集属于v，错误，另外根据拓扑的定义可知正确，故选：d点评：本题主要考查元素和集合关系的判断，正确理解拓扑的定义是解决本题的关键二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分（一）必做题（913题）9（5分）计算（cosx+1）dx=考点：定积分 专题：导数的概念及应用分析：结合导数公式，找出cosx+1的原函数，用微积分基本定理代入进行求解解答：解：（cosx+1）dx=（sinx+x）|=，故答案为：点评：本题考查了导数公式及微积分基本定理，属于基本知识、基本运算的考查10（5分）函数f（x）=的单调递增区间是（0，e）考点：利用导数研究函数的单调性 专题：函数的性质及应用分析：求出函数的导数为y的解析式，令y0 求得x的范围，即可得到函数的单调递增区间解答：解：由于函数的导数为y=，令y0 可得 lnx1，解得0xe，故函数的单调递增区间是 （0，e），故答案为：（0，e）点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题11（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为4，则输出s的值为15考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，依次写出s，i的值，第四次循环后：s=15，i=5；此时，in不成立输出s的值为15解答：解：执行程序框图，有n=4，s=1，i=1第一次循环后：s=3，i=2；第二次循环后：s=6，i=3；第三次循环后：s=10，i=4；第四次循环后：s=15，i=5；此时，in不成立输出s的值为15故答案为：15点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题12（5分）曲线y=ex过点（0，0）的切线方程为y=ex考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：设切点为（m，n），求出函数的导数，求出切线的斜率，结合两点的斜率公式，得到m，n的方程，解出，再由斜截式方程即可得到切线方程解答：解：设切点为（m，n），y=ex的导数y=ex，则切线的斜率k=em，又切线过（0，0），则k=，则有em=，且n=em，解得m=1，n=e，则过点（0，0）的切线方程为y=ex，故答案为：y=ex点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，注意切点的确定，同时考查直线方程的形式，属于基础题13（5分）某同学为研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形abcd和befc，点p是边bc上的一个动点，设cp=x，则ap+pf=f（x）请你参考这些信息，推知函数f（x）的值域是，考点：函数的值域 专题：计算题；函数的性质及应用分析：分别在rtpcf和rtpab中利用勾股定理，得pa+pf=+运动点p，可得a、p、b三点共线时，pa+pf取得最小值；当p在点b或点c时，pa+pf取得最大值由此即可得到函数f（x）的值域解答：解：rtpcf中，pf=同理可得，rtpab中，pa=pa+pf=+当a、b、p三点共线时，即p在矩形adfe的对角线af上时，pa+pf取得最小值=当p在点b或点c时，pa+pf取得最大值+1pa+pf+1，可得函数f（x）=ap+pf的值域为，故答案为：，点评：本题以一个实际问题为例，求函数的值域，着重考查了勾股定理和函数的值域及其求法等知识点，属于基础题（二）选做题（1415题，只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在直角坐标系中，曲线c1的参数方程为（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的方程为sin=1，则曲线c1和c2交点的直角坐标为（1，1）考点：参数方程化成普通方程 专题：坐标系和参数方程分析：首先把曲线都转化为直角坐标方程，进一步联立方程组求的结果解答：解：曲线c1的参数方程为（t为参数）转化为直角坐标方程为：y2=x曲线c2的方程为sin=1转化为直角坐标方程为：y=1联立方程组得：解得：交点的坐标为：（1，1）点评：本题考查的知识点：参数方程和直角坐标方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，解方程组知识【几何证明选讲选做题】15如图，圆o的直径ab=6，c为圆周上一点，bc=3，过c作圆的切线l，过a作l的垂线ad，垂足为d，则线段cd的长为考点：圆的切线的性质定理的证明 专题：计算题；压轴题分析：连接圆心o与切点c，由切线性质可知oc垂直于直线l，又因为ad也垂直与直线l，得出oc平行于ad，根据ab为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到三角形abc为直角三角形，再根据bc和ab的长度，利用勾股定理求出ac的长，且利用在直角三角形中一直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的角为30推出角cab为30，等边对等角和平行线的性质可知角cad等于30，在直角三角形adc中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半求出cd即可解答：解：连接oc，则oc直线l，所以ocad，ab为圆的直径，acb=90，又ab=6，bc=3，所以cab=30，ac=3，由oa=oc得，aco=cab=30，ocad，cad=aco=30，cd=ac=3=点评：此题考查学生灵活运用圆的切线垂直于过切点的直径，掌握圆中的一些基本性质，灵活运用直角三角形的边角关系化简求值，是一道综合题三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（12分）已知函数f（x）=acos（x+）（a0，0，0）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和（x0+2，2）（1）求函数f（x）的解析式；（2）若锐角满足f（2+）=，求f（2）的值考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 分析：（1）由题意可得a=2，由周期公式可得=，再由f（0）=1可得=，可得f（x）=2cos（x）；（2）由已知可得cos=，进而可得sin=，而f（2）=2（cos+sin），代值计算可得解答：解：（1）由题意可得a=2，=2，解得=，f（x）=2cos（x+），由图象可知f（0）=2cos=1，cos=，又0，=f（x）=2cos（x）（2），2cos=，cos=，为锐角，sin=f（2）=2cos（）=2（cos+sin）=2（+）=，即f（2）的值为点评：本题考查三角函数的图象与解析式，涉及三角函数和差角的公式，属基础题17（12分）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率（1）求某两人选择同一套餐的概率；（2）若用随机变量x表示某两人所获优惠金额的总和，求x的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）由题意利用互斥事件加法公式能求出某两人选择同一套餐的概率（2）由题意知某两人可获得优惠金额x的可能取值为400，500，600，700，800，1000分别求出相应的概率，由此能求出x的分布列和数学期望解答：解：（1）由题意可得某两人选择同一套餐的概率为：（2）由题意知某两人可获得优惠金额x的可能取值为400，500，600，700，800，1000.，综上可得x的分布列为：x4005006007008001000px的数学期望点评：本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力18（14分）如图，在四棱柱abcda1b1c1d1中，侧面a1add1底面abcd，d1a=d1d=，底面abcd为直角梯形，其中bcad，abad，ad=2ab=2bc=2，o为ad中点（）求证：a1o平面ab1c；（）求锐二面角ac1d1c的余弦值考点：直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角 专题：计算题；证明题分析：（）欲证a1o平面ab1c，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证a1o与平面ab1c内一直线平行，连接co、a1o、ac、ab1，利用平行四边形可证a1ob1c，又a1o平面ab1c，b1c平面ab1c，满足定理所需条件；（）根据面面垂直的性质可知d1o底面abcd，以o为原点，oc、od、od1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面c1cdd1的一个法向量，以及平面ac1d1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角ac1d1c的余弦值解答：解：（）证明：如图（1），连接co、a1o、ac、ab1，（1分）则四边形abco为正方形，所以oc=ab=a1b1，所以，四边形a1b1co为平行四边形，（3分）所以a1ob1c，又a1o平面ab1c，b1c平面ab1c所以a1o平面ab1c（6分）（）因为d1a=d1d，o为ad中点，所以d1oad又侧面a1add1底面abcd，所以d1o底面abcd，（7分）以o为原点，oc、od、od1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则c（1，0，0），d（0，1，0），d1（0，0，1），a（0，1，0）（8分）所以，（9分）设为平面c1cdd1的一个法向量，由，得，令z=1，则y=1，x=1，（10分）又设为平面ac1d1的一个法向量，由，得，令z1=1，则y1=1，x1=1，（11分）则，故所求锐二面角ac1d1c的余弦值为（12分）点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题19（14分）已知数列an满足a0r，an+1=2n3an，（n=0，1，2，）（1）设bn=，试用a0，n表示bn（即求数列bn的通项公式）；（2）求使得数列an递增的所有a0的值考点：数列的求和；数列递推式 专题：综合题；点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）an+1=2n3an，即，变形整理即可求得，；（2）由（1）知，从而，于是有，设，则，依题意，证明即可解答：解：（1）an+1=2n3an，（2分）即，变形得，（2分）故，因而，；（1分）（2）由（1）知，从而，（1分）故，（3分）设，则，下面说明，讨论：若，则a0，此时对充分大的偶数n，有anan1，这与an递增的要求不符；（2分）若，则a0，此时对充分大的奇数n，有anan1，这与an递增的要求不符；（2分）若，则a=0，始终有anan1综上，（1分）注意：直接研究通项，只要言之成理也相应给分点评：本题考查数列递推式，着重考查等比关系的确定及构造函数思想，考查推理、分析与运算的综合能力，属于难题20（14分）已知椭圆=1（ab0）经过点（，），且椭圆的离心率e=（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点f作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点a，c及b，d，设线段ac，bd的中点分别为p，q求证：直线pq恒过一个定点考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆的方程（2）当直线ac的斜率不存在时，ac：x=1，则 bd：y=0直线pq恒过一个定点；当直线ac的斜率存在时，设ac：y=k（x1）（k0），bd：联立方程组，得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线pq恒过一个定点解答：（1）解：由，得，即a2=4c2=4（a2b2），即3a2=4b2 （1分）由椭圆过点知， （2分）联立（1）、（2）式解得a2=4，b2=3 （3分）故椭圆的方程是（4分）（2）证明：直线pq恒过一个定点（5分）椭圆的右焦点为f（1，0），分两种情况1当直线ac的斜率不存在时，ac：x=1，则 bd：y=0由椭圆的通径得p（1，0），又q（0，0），此时直线pq恒过一个定点（6分）2当直线ac的斜率存在时，设ac：y=k（x1）（k0），则 bd：又设点a（x1，y1），c（x2，y2）联立方程组，消去y并化简得（4k2+3）x28k2x+4k212=0，（8分）所以（10分）由题知，直线bd的斜率为，同理可得点（11分），（12分）即4yk2+（7x4）k4y=0令4y=0，7x4=0，4y=0，解得故直线pq恒过一个定点；（13分）综