2010水木艾迪高数强化班讲义-6.pdf

谭泽光 1 第 6 讲 常微分方程 第 6 讲 常微分方程 一一 考纲要求考纲要求 考试内容考试内容 1 常微分方程的基本概念 2 变量可分离的方程 零齐微分方程 一阶线性微分方程 伯努利 Bernoulli 方程 全微分方程 可用简单的变量代换求 解的某些微分方程 可降阶的高阶微分方程 3 线性微分方程解的性质及解的结构定理 二阶常系数齐次线性微 分方程 高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程 简单的二阶 常系数非齐次线性微分方程 欧拉 Euler 方程 数三 数三 差分与差分方程的概念 差分方程的通解与特解 一阶 常系数线性差分方程 4 微分方程简单应用 数三数三 微分方程 差分方程的简单应用 考试要求考试要求 1 了解微分方程及其解 阶 通解 初始条件和特解等概念 2 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法 3 会解齐次方程 伯努利方程和全微分方程 会用简单的变量代换解 某些微分方程 4 会用降阶法解下列方程 n yf x yf x y yf y y 5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 并会解某些高于二阶的 常系数齐次线性微分方程 7 会解自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数 以及它们 的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程 8 会解欧拉方程 9 会用微分方程解决一些简单的应用问题 数三 会应用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题 谭泽光 2 二 前言 二 前言 内容抓三基 概念明五面 做题按三步 内容抓三基 概念明五面 做题按三步 三 内容提要 三 内容提要 一个概念 三类方程 两方面的应用 一个概念 三类方程 两方面的应用 1 基本知识 常微分方程及其阶 分类 常微分方程的解 通解和特解 常微分方程的解初值问题 解的存在性和唯一性 2 一阶方程求解 0 yf x g y y yff axb x y p x y y p x yq x 分离变量型 可分离变量型方程 可化成分离变量型 齐次 一阶线性方程 非齐次 3 可降阶的高阶方程 yyfy yxfy xfy n 4 线性微分方程 1 11 1 11 0 0 nn nn nn nn x m ya x yax yax f x ya yaya P x e 5 常微分方程的应用 6 一 二阶常系数差分方程 谭泽光 3 四 典型例题 四 典型例题 1 一阶可解类型 高阶可降价类型 1 一阶可解类型 高阶可降价类型 例例1 判断下列一阶方程的类型 1 22 xy x ey y 可分离型方程 解 解 dxxedyye xy 22 2 xy eded q Cee xy 22 2 011 22 dyyxdxxy 可分离型 明显积分因子 解解 1 原式 原式 0 11 22 y dyy x dxx 0 11 2 22 2 22 y dyy x dxx 0lnln 2222 yydxxd Cyyxx 2222 lnln 解解 2 原式 原式 22 ydxxdyx ydxx y dy 22 ydxxdyx ydxx y dy x yx y 22 ln 2 xxy dxdxydyd y 22 ln 2 yxy cx 22 2 xy ycxe 3 0lnln ydxdyyxx 零齐方程 解解 零齐方程 ln y x y y x 令u x y u u uux ln 可分离型 x dx u u u du ln C x dx u u u du ln 4 5tan yxy 可分离型 一阶线性 明显积分因子 谭泽光 4 解解 1 x dxx y dy sin cos 5 Cxy sinln5ln 1 sin 5 C x y 解解 2 原式 15 tantan yy xx 公式法公式法 其通解为 1 tantan 5 tan dx dx xx yeedxC x sin5yCx 解解 3 原式sincos5cosxdyx ydxxdx sinsin5 sinxdyydxdx 22 sinsin5 sin sinsin xdyydxdx xx 5 sinsin y dd xx sin5yCx 解解 4 线性方程解的结构 5 x xy dx dy 零齐方程 一阶线性 明显积分因子 明显积分因子 2 00 xdyydxdx xdyydxxdx xx 有 有 2 1 x 2 1 y xy 1 22 1 yx 6 yx y y sin 对x是一阶线性 明显积分因子 对对x x是一阶线性 是一阶线性 yx ydy dx sin 1 sindxy dyyy sin y xc yydy y 明显积分因子 明显积分因子 0 sin 0sin 22 dy y y y ydxdyx ydyydxdyx 7 y dx dy xy 2 零齐方程 明显积分因子 零齐方程 零齐方程 xy y dx dy 2 通过变量置换 通过变量置换 谭泽光 5 uuxy x xy xu 零齐方程可化为可分离型方程 零齐方程可化为可分离型方程 2 u u uux 积分因子 积分因子 22 202ydyxdyydxy dyx ydyy dx 22 2 0 xdyy dx dy y 8 xyyyx2 零齐方程 零齐方程 x yxy y 2 可化为可分离型方程 全微分方程 可化为可分离型方程 全微分方程 xyxyxyyyx22 伯努利方程 伯努利方程 n yxqyxp dx dy 1 n 用 用 n y除以方程两端将其化为 除以方程两端将其化为 1 xqyxp dx dy y nn 1 1 1 1 xqyxp xd yd n n n 这显然是关于 这显然是关于 n y 1 的一个一阶线性方程 本题的一个一阶线性方程 本题 2 1 n 9 x yx y dx dy 1 byaxfy 型方程 通过变量置换 型方程 通过变量置换 byaxu 可化为可分离型方程 可化为可分离型方程 11dydy yxxy dxxydxxy 1 1 d xy xy dxxy 10 1 3 yx yx dx dy dycx byax fy为零齐方程 通过变量置换 为零齐方程 通过变量置换 谭泽光 6 x y u 可化为可分离型方程可化为可分离型方程 duc bua fuux ldycx kbyax fy可以通过平移变换可以通过平移变换 0 0 yyY xxX 其中 其中 00 yx是线性方程组 是线性方程组 0 0 00 00 ldycx kbyax 的解 化成 的解 化成 dYcX bYaX f dX dY 形方程 形方程 0 0 130 102 xxy xyy 1 2 1 2 dyxy dxxy 1 2 Xx dYXY YydXXY 例2 132 例2 132 已知曲线 yf x 满足 2 arcsin1 1 y yx x 且过 0 2 1 点 则该曲线方程为 解 解 一阶线性非齐次方程 arcsin1 1 y yx x 0 arcsin 1 arcsin1 1 2 x x y xx y 方法一方法一 公式法 公式法 其通解为 22 1 1arcsin1arcsin 1 arcsin dx dx xxxx yeedxC x 1 ln lnarcsin arcsinx 1 e arcsin x edxC x 1 arcsin xC x 又当 2 1 x时 0 y 所以 2 1 C 所求曲线方程为 2 1 arcsin xxy 注 一阶线性方程 dy dx p x yq x 其解为 dxexqeCexy dxxpdxxpdxxp 谭泽光 7 过 0 2 1 点 给出了定解条件 方法二 凑微分法 方法二 凑微分法 f x dx u xe dy dx p x yq x p x dxp x dx y ey p xp x dxq x e p x dxp x dx y eq x e p x dxp x dx y eq x edxc p x dxp x dxp x dx yceeq x edx 或者 00 dy p x yq x dx y xy 00 xx xx p x dxp t dt y eq x e 000 0 xxx xxx p t dtp t dtp t dt x x yceeq x edx 该题有 2 lnarcsin arcsin1 arcsin dx x xx u xeex 2 11 arcsin 1arcsin yy x xx 1 arcsinarcsin1 arcsin yxx x 1 21 2 arcsin xx yx dxdx 1 2 1 arcsin 2 x yxx 1 arcsin 2 yxx 例例 3 解方程 10 22 2 y dyyydxxdy y y x ln2 2 化成化成 yxx 的方程 的方程 yx ydy dx 2 2 一阶线性方程初值问题求解 一阶线性方程初值问题求解 谭泽光 8 解解 1 对 x 线性 y y x y y y x yx ydy dx ln2 2 2 2 222 解解 2 积分因子 dyydxyxdydyydxyxydy 32232 222 yd y x d y dyy y dxyxdy ln2 2 24 3 4 22 解解 3 变换成零齐 2 22 2 2 2 2 22yx y dx dy yx y dx ydy yx y dx dy 令 2 yu ux u dx du 解解 4 伯努利方程 10 22 2 y dyyydxxdy 2 11 2 01 yyy xx y 11 11 2 01 yy xx y 例例4 若124 yxy 求一般解 解解 byaxfy 型方程型方程令 124 yxu dx u du uu 22 42 22 2 u duu d u dxdx uuu 2ln 1duudx cxyxyx 1124ln 2124 2 高阶可降类型 2 高阶可降类型 一般情况下 处理高阶方程的思路之一是设法降低方程的阶 在这里 仅讨论二阶方程 yyxfy 1 方程不显含yy yf x 可通过 2 次积分可以得到通解 逐次积分得到 谭泽光 9 2 方程不显含y yxfy 令 yxp xpy 方程变成 pxfp 这是一阶方程 有可能求解 3 方程不显含x yyfy 令 pp y dy dx 2 2 dy dx dp dy dy dx p dp dy 代入方程得 dp pf y p dy 于是得到一个关于未知函数p和自变量y的一阶方程 例例 5 2 3 2 1yy yxfy 类型 令 类型 令 yxp xpy 方程变成 方程变成 pxfp 这是一阶方程 有可能求解 这是一阶方程 有可能求解 2 3 2 1 pp 可分离型方程 可分离型方程 解解 1 令 1 2 3 2 2 3 2 1 1cx p dp ppxpy 3 2 2 1yp xpp 1 3 2 2 1 dp xc p 1 2 1 p xc p 2 1 1 2 1 2 1 1 1 cx cx cx cx dx dy p 2 12 2 1 1 2 1 1 cxcy cx cx cy 解解 2 令 3 2 2 1 dp yp ypp dy 1 3 2 2 1 pdp yc p 1 2 1 1 yc p 1 2 2 1 2 1 1 ycdy p dx yc 谭泽光 10 2 1 22 1 1 yc xcdx yc 2 12 1cycx 例例 6 021 2 2 1 0 10 0 2 yy yyy 求 xyy 解解 1 yyfy 类型 令 类型 令 pp y dy dx 2 2 dy dx dp dy dy dx p dp dy 代入方程得 代入方程得 2 0 1 1 2 dp ypp dy p Cyp 0舍去 0 1 1 2 dp yp dy p 0 1 1 2 y p p ypC 2 1 C 1 2 xy 解解 2 2 1 0 10 0 2 yy yyy 0 1 01 0 2 y y yy 00 1 2 2 0 1 xx y y ydydx y 10 222 xyxyxy 3 高阶线性方程解的结构 3 高阶线性方程解的结构 齐次线性常微分方程 1 2 12 0 nnn n ya x ya x yax y 的所有解构成一个n维线性空间 其中任意n个线性无关的解 1 i yxin 构成该空间的一组基 一般解 1 n ii i y xcyx 非齐次线性常微分方程 1 2 12 nnn n ya x ya x yax yf x 谭泽光 11 一般解 1 n ii i y xcyxY x 其中 1 i yxin 是相应齐次方程的一组无关解 Y x是非齐次方程的一个特解 非齐次线性常微分方程两个解的差为齐次线性常微分方程的解 例 7 136 例 7 136 设 12 y y是二阶线性齐次方程 0yp x yq x y 的两个特解 21 C C为两个任意常数 则下列结论中正确的是 A 2211 yCyC 一定是微分方程的通解 B 2211 yCyC 不可能是微分方程的通解 C 2211 yCyC 是微分方程的解 D 2211 yCyC 不是微分方程的解 解 答案为 C 当 12 y y线性无关时 2211 yCyC 是微分方程的通解 当 12 y y线性相关 时 2211 yCyC 则不是微分方程的通解 故 A B 都不对 由线性齐次方程解的结构可知 C 为正确选项 例 8 137 例 8 137 设 123 y xyxy x是二阶线性非齐次微分方程 yp x yq x yf x 的三个线性无关解 21 C C是任意常数 则此微分方程的通解为 B A 32211 yyCyC B 3212211 1 yCCyCyC C 3212211 yCCyCyC D 3212211 1 yCCyCyC 解 可知 3231 xyxyxyxy 是齐次方程0 yxqyxpy的两个解 设 113223 0 k yykyy 则 1122123 0 k yk ykky 因为 321 yyy线性无关 故0 0 21 kk 谭泽光 12 即 3231 yyyy 是齐次方程的两个线性无关解 由线性非齐次微分方程解的结构可知原方程通解为 1 32122113322311 yCCyCyCyyyCyyCy 正确选项为 B 例9 例9 设函数 1 xy与 2 xy是一阶线性常微分方程 xqyxpy 的两个不同的解 则常微分方程的通解为 答案 121 yyyCy 4 高阶线性常系数方程的求解 4 高阶线性常系数方程的求解 n阶线性常系数齐次方程 阶线性常系数齐次方程 1 2 12 0 nnn n ya ya ya y 其中1aan 为实常数 或记成 0 n LD y 1 1 若 0 n LD x 有形如 x ye 的解 则 是代数方程 n L 1 11 0 nn nn aaa 之根 称为微分方程 0 n LD y 的特征方程 特征方程的根称为特征根 2 特征根与方程 0 n LD y 解的对应关系 先以二阶为例说明结果 微分方程 0 2 byyayxDL 特征方程 0 2 2 baL 1 21 是特征方程 0 2 L的不等实根 则 12 xx ee 是方程 2 0LD y 的两个无关解 2 21 是特征方程 0 2 L的重根 则 11 xx exe 是方程 2 0LD y 的两个无关解 3 i 是特征方程 0 2 L的一对共轭复根 则 cos sin xx ex ex 是方程 2 0LD y 的两个无关解 谭泽光 13 由欧拉公式由欧拉公式 cossin it etit 得 得 cossin ixx eexix 2 x LDyP x e 型方程的求解 型方程的求解 考察方程 2 LD y x ya ybyP x e 其中 P x是x的一个多项式 有一个形如 x Y xQ x e 的解 其中 Q x是x的一个多项式 如何确定 Q x的次数和系数 将 x Y xQ x e 代入方程 2 x LDyP x e 得 2 2 Qxa Q xab Q xP x 下面分三种情形讨论 1 1 当 不是特征根时 即 0 2 ba 左端是 一个次数与 Q x相同的多项式 为了使 两端多项式次数相等 可设 n Q xQ x 2 2 当 是特征根 但非重根时 即 0 2 ba 02 a 左端是 一个次数与 Q x 相同的多项式 于是为了使 两端多项式次数相等 Q x应当是 一个比 P x次数高一次的多项式 此时可以取 n Q xx Q x 3 3 当 是特征重根时 即 0 2 ba 02 a 左端是 Q x 于是为了使 两端多项式次数相等 此时可以取 2 n Q xx Q x 例 10 133 例 10 133 1 x ye 2 yx 是三阶线性常数微分方程 0yaybycy 的两个特解 则cba 的值为 解 1 1 是特征方程的根 0 32 是特征方程的重根 谭泽光 14 故特征方程为0 1 232 因此 1 0 0abc 注 1 线性常系数齐次微分方程的通解完全由其特征方程的根确 定 本题中 12 xax yeyx e 是方程的解 因此1 1 是特征根 0 2 是特征根且为重根 例 11 例 11 求方程 4 0 xx 的通解 解 特征方程为 4 10 它有四个单根1234 1 i 该方程有四个线性无关解 cos sin tt e ett 因此方程通解为 1234 cossin tt x tc ec ectct 例 12 例 12 求方程033 xxxx通解 解 特征方程 32 3310 有一个三重根 1 于是方程有三个线性无关解 2 ttt e te t e 所以通解为 22 123123 tttt x tc ec tec t ecc tc te 例 13 例 13 1 x eyy的一个特解应具有形式 ba 为常数 A bea x B bexa x C xbea x D xbexa x 解解 x eyy 11 解应具有形式 x exa 1 22 yy 解应具有形式 B 例 14 139 例 14 139 方程 cos cos2yyxx 具有的特解形式为 A cossin cos2a xxbxxx B xxdxccos 2sin2cos C cossin cos3sin3x axbxcxdx D cos cos2sin sin2axxbxx 解 答案为 C 谭泽光 15 3cos cos 2 1 2coscosxxxxyy xyycos 2 1 具有特解形如 sincos 1 xbxaxy xyy3cos 2 1 具有特解形如xdxcy3sin3cos 2 由线性非齐次微分方程解的叠加原理可知原方程具有的特解形式为 3sin3cos sincos xdxcxbxaxy 正确选项为 C 欧拉方程 欧拉方程 1 1 11 nnnn nn x ya xyax ya yf x 的方程称为 Euler 欧拉 方程 其中12a aan 为常数 对于这种方程 应当分别考虑0 x 或0 x y yCuu 2 1 222 yCyxx 由0 x时1 y 得1 C 222 yyxx xyyx 222 2242222 2 xyxyxyyx 又xyy21 0 2 12 12 2 xyxy 所求曲线方程为 12 xy 解 2 凑微分的方法 解 2 凑微分的方法 y yy x P x y x O xyy 谭泽光 19 22 0 1 xyyxy y 22 0 1 xdxydyxy dx y 22 xdxydy dx xy 22 22 2 d xy dx xy 22 dxydx 22 0 0 1 x y x xyx 22 1xyx 21 yx 注 几何 求曲线方程 通常这类方程含有定解条件 切线 法线 斜率 曲率 弧长 面积等几何量常常会出现在题中 例 20 例 20 曲线 yy x 上任意点的曲率半径等于夹在该点与横轴之间 的法线之长 若该曲线 1 向下凸 2 向上凸 求曲线的方程 解 法线之长 2 2 2 1yyyyy 列方程 1 向下凸 2 23 2 1 1 1yyy y 2 向上凸 2 23 2 1 1 1yyy y 解方程 1 向下凸 yy y1 1 2 令 yyp y dy p pdp 2 1 cypln1ln 2 1 2 dx cy dy 1 2 1 2 1 2 1ln 1ln cxcycy cxcycy 1 1 1 1 2 2 cx cx ecycy ecycy 1 1 2 1 11 cxSh c ee c y cxcx 2 2 向上凸 yy y1 1 2 曲线为 2 1 2 2 2 cycx 例 21 例 21 与曲线族Raaxy 3 正交的曲线是 谭泽光 20 解 解 曲线族Raaxy 3 满足的方程是 3 axy 2 3axy x y y 3 其正交的曲线为 y x y 3 其通解为 Cyx 22 3 例 22 143 例 22 143 求曲线 xfy 在区间 0 x上 0 x 该曲线的 弧长在数值上等于该曲线在x点处的切线斜率 且0 0 1 0 ff 解 列方程 列方程 依题意有 0 1 x yy t dt 两边对x求导 得 2 1 yy 即 2 1 0 1 0 0 yy yy 解方程 解法 1 解方程 解法 1 看成不显含y二阶可降价方程 令 p x y 方程化为 1 2 p dx dp 1 1 2 dxdp p 0 2 1lnCxpp 1 2x Cepp 由0 x时 0 p 得1 C 2 1 2222 ppeepep xxx sh 22 1 2 x ee e e p xx x x 1 ch shCxyx dx dy 又0 x时1 y 故0 1 C xych 所求曲线方程为xych 解法 2解法 2 看成不显含x的二阶可降价方程 令py 方程化为 2 1pp dx dp dydp p p 2 1 0 2 1Cyp 由1 y时0 p得0 0 C 即yp 2 1 22 1yp 1 2 yp 1 2 y dx dy 1 2 1 1 Cdxdy y 1 y 1 2 arch 1ln Cxyyy 谭泽光 21 由0 x时 1 y得0 1 C 故 ch chxxy 解法 3解法 3 化或高阶线性常系数方程 原式 2 2 1 0 1 0 0 yy yy 22 0 1 0 0 0 1 y yy y yyy 0 0 0 1 0 0 0 1 yyy yyy 123 0 1 0 0 0 1 xx yc ec ec yyy 利用初始条件得方程组 123 12 12 1 0 1 ccc cc cc 12 3 1 2 0 cc c 则所求之解为 h 2 xx ee ycx 注 1 几何 求曲线方程 通常这类方程含有定解条件 切线 法 线 斜率 曲率 弧长 面积等几何量常常会出现在题中 例 23 例 23 质量为m一辆汽车在公路上高速行驶 遇情况急刹车 此时 速度达 0 v 刹车后滑行 0 s后停下 刹车后滑行阻力f为常数 假设假设空气阻力与速度的平方成正比 比例系数为c 试求 f 解 1 列方程解 1 列方程 2 2 2 0 0 0 0 d sds mfc dtdt ssv 0 2 0 2 1 c s m cv f e 2 解方程 解 1 原式 2 解方程 解 1 原式 2 0 1 0 dvf dt cvfm vv 1 10 arctan arctan fcf vtc cfm fc cv cf 1 10 tan tan c ff v ttc cm c fc cv mf 12 ln cos c fm s ttcc cm 谭泽光 22 0 0s 21 ln cos c fm cc cm 21 ln sec c fm cc cm 1 tan c ff s ttc cm 0 0 sv 10 tan c ff cv cm 2 10 sec c fff cv ccm 1 0tan c ff s ttc cm 1 0tan c f tc m 1 sec 1 c f tc m 012 ln cos c fm ss ttcc cm 021 ln sec c fm scc cm 2 2 0 00 lnln 1 2 cvmmff sv ccccf 0 2 0 2 1 cs n cv f e 解 2 2 0 0 dv mfc v dt vv 2 0 0 dv mvfcv ds vv 2 2 0 22 0 d v cf v dsmm vv 2 22 0 cs m ff vve cc 0 0v s 00 22 2 0 1 cc ss mm f eve c 0 2 0 2 1 c s m cv f e 注意震动问题如何列方程 注意震动问题如何列方程 质量为m质点挂在一弹簧上 弹簧的弹性系数为k 质点开始平衡 不动 今向下拉使弹簧有伸长 然后突然松开让质点上 下震动 假设一 假设一 空气阻力与速度成正比 比例系数为c 试求质点位移规律 谭泽光 23 假设二 假设二 空气阻力与速度的平方成正比 比例系数为c 试求质点位 移规律 列方程 列方程 先建坐标系 向上为正 平衡点为原点 位移为 x t 假设一 假设一 2 2 0 0 0 d xdx mk xc dtdt xx 假设二 向上运动时的方程 假设二 向上运动时的方程 2 2 2 d xdx mk xc dtdt 向下运动时的方程 向下运动时的方程 2 2 2 d xdx mk xc dtdt 例 24 例 24 一容器总高为H 在高度为h处的断面面积为 hSS 在底部有一面积为 0 s的小孔 若水流出速度v是水深h的函数 ghv2 若在容器装满水后 将底部小孔打开 问多久水将流尽 解 设y轴方向为水深 列方程列方程 微元平衡分析 t到dtt 的时段内 水深水深变化dy引起的水量变化 dt时间内流出的水量 即 hy dtgydyyS 0 2 解方程解方程 这里未知函数是 tyy yS已知 dtg y dyyS 2 ty h dtgdy y yS 0 2 h y dy y yS g t 2 1 例 25 例 25 某湖泊水量为V 每年入湖含污物 A 的污水 入湖污水量 6 V 入湖不含A的水量为 6 V 流出量 3 V 己知1999年底湖中有污物 0 5m 超过国家标准 为治污从 2000 年初开始 限定入湖污水含 A 浓度不超 S Y x 谭泽光 24 过 V m0 问多少年后湖中含污物的量降至 0 m 解 m t分别表示第t年湖内污物 A 总量 ttdt 时段内 污物 A 的的增量 污物 A 的排入量 污物 A 的排出量 即 0 63 mVm V mtt VV 0 0 63 0 5 mdmVmV dtVV mm 3 0 2 t ce m m 3 0 0 2 9 2 t em m m 3ln6 0 tmm 综合题 综合题 例 26 138 例 26 138 若连续函数 xf满足 3 0 1 3 x t f xfdt 则 xf的为 A 3x Ce B 3x e C x Ce D x e 解 3 0 1 3 x t f xfdt 两边对x求导得 3 xfxf 解得 x Cexf 3 又1 0 f 故1 C 正确选项为 B 注 变上限积分 积分方程 可通过求导 得到微分方程 通常积 分方程中包含定解条件 例 27 73 例 27 73 设 0 1 Cxf 对任意的 0 x满足 3 0 1 0 2 xxxfdttfdttxfx x 且0 1 f 求 xf 解 解 令xtu 则原方程变换为 3 00 2 xxxfdttfduuf xx 两边对x求导得 2 3 2 xxf xxfxfxf 整理得一阶线性微分方程 xxf x xf3 2 求解此微分方程得 2 2 4 31 x x Cxf 谭泽光 25 由0 1 f得 4 3 C 故 4 3 4 3 2 2 x x xf 例 28 141 例 28 141 求方程 23 1 0y dxxyy dy 的通解 解 1 令 23 1 P x yy Q x yxyy 则 1 y P x Q 故方程为全微分方程 设dyyxQdxyxPdu 则 1 yfxyxyxuyyxP x u 又 23 u Q x yxyyxxyf y yy 所以 32 yyxyfx 32 yyyf Cyyyf 4 1 3 1 43 Cyyxyxyxu 43 4 1 3 1 原方程通解为 0 4 1 3 1 43 Cyyxyx 解 2 23 1 0y dxxyy dy 23 ydxxdyyy dydx 34 3 4 ydxxdyd yyx 34 3 4 0d xyyyx 例 29 例 29 已知 xf有 2 阶连续导数 且对任意的光滑有向封闭曲面 有 0 2 dydxzedxdzxyfdzdyxfe xx 1 证明对任意的x都有 x exfxfxf 2 2 当 3 1 0 0 0 ff时 求函数 xf的表达式 证明 证明 1 0 2 2 xxx ze z xfye y xfe x x exfxfxf 2 2 2 1 非齐次方程特解 x axey 求出 3 1 a 谭泽光 26 通解 xxx xeeCeCxf 3 1 2 21 0 3 1 0 0 0 21 CCff 例 30 例 30 设 x dttftxxxxf 0 sin 其中 xf连续 求 xf 解 对 x dttftxxxxf 0 sin 两边求导 得 0 cossin x fxxxxf t dt 两端再求导 cos2sin xfxxxxf 即 sin2cos 0 0 0 0 fxf xxxx ff 齐次方程0 xfxf的通解是xCxCsincos 21 非齐次方程 xxxxfxfcos2sin 的特解应具有形式 xDCxxxBAxxxysin cos 用待定系数法求出DCBA 得出其特解为 xxxxysin 4 3 cos 4 1 2 所以方程的通解为 xCxCxxxxxfysincossin 4 3 cos 4 1 21 2 由初值条件得到0 21 CC 于是xxxxxfsin 4 3 cos 4 1 2 例 31 142 例 31 142 设 xf可导且满足 2 0 x xx f xeef tdt 求 xf 解 2 0 x xx f xeef tdt 代入0 x 得1 0 f 等式两边对x求导 得 222 0 x xxxx fxeef tdte fxf xe fx 即 xf是初值问题 1 0 2 y yeyy x 的解 伯努利方程 化为 11 x e yy 其通解为 谭泽光 27 111 2 dxdx xxx ee edxCCee y 又1 0 y 故 2 3 C 2 12 31 3 22 x x xx e f x e ee 例 32 144 例 32 144 代换 x u y cos 求cos2sin3 cos x yxyxyxe 的 通解 解 令 x u y cos 即xyucos 则 sincosxyxyu cossinsincosuyxyxyxyx cos2sincos yxyxyx 故 cos2sin3 cos4 yxyxyxuu 原二阶线性变系数非齐次方程化为4 x uue 40uu 的通解为 12 cos2sin2uCxCx 设 x Uae 为4 x uue 的特解 代入方程解得 1 5 x Ue 故方程4 x uue 通解为 12 1 cos2sin2 5 x uCxCxe 原方程cos2sin3 cos x yxyxyxe 的通解为 12 11 cos2sin cos5 x yCxCxe x 例 33 145 例 33 145 设函数 xyy 在 内具有二阶导数 且 0 y yxx 是 xyy 的反函数 1 将 yxx 满足的微分方程0 sin 3 2 2 dy dx xy dy xd 变换为 满足的微分方程 2 求变换后的微分方程满足初始条件 2 3 0 0 0 yy的解 解 1 1dx dyy 2 22 1111 d xddy dydyydxyyyy 方程 2 3 2 sin 0 d xdx yx dydy 化为 谭泽光 28 33 1 sin 0 y yx yy sin yyx 2 求解初值问题 sin 3 0 0 0 2 yyx yy 0 yy的通解为 12 xx yC eC e 设cossinYaxbx 是xyysin 的特解 代入方程 得 1 sin 2 Yx 故xyysin 的通解为 sin 2 1 21 xeCeCy xx 由 2 3 0 0 0 yy 得 1 1 21 CC 所求初值问题的解为 1 sin 2 xx yeex 例例 34 设函数内具有二阶导数在 0 uf 且 22 yxfZ 满足等式0 2 2 2 2 y z x z 验证0 u uf uf 若的表达式 求函数 1 1 0 1 ufff 解解 2222 z fxyxxy x 2222 z fxyxxy y 22222 22 22222 xyxxy zx ff xxyxy ii 22 322 22 2 xy ff xy xy ii 同理由轮换对称性得到 222 3222 22 2 zyx ff xxy xy ii 谭泽光 29 代入0 2 2 2 2 y z x z 左端 得0 22 22 22 yx yxf yxf 因此得微分方程 0 u uf uf 看作高阶可降阶方程 0 1 0 1 1 f u fu u ff 令 c u du p dp u p du dp puf 则 cup lnln u c puf 2 1 1 1 lnfcf uuc 再0 0 1 2 cf得由 lnf uu 于是 看作欧拉方程 2 0 1 0 1 1 u fuuf u ff 0 u 令 f uu 特征方程 10 特征根0 0 解 12 lnf uccu 代入初始条 lnf uu 于是 看作全微分方程 0 1 0 1 1 ufuf u ff 0 u 0 1 0 1 1 uf u ff 1 0 1 0 1 1 u u uf u ff 1 1 0 f uu f lnf uu 五 2008 2009 五 2008 2009 的考题 的考题 例例 1 08 1 3 以xCxCeCy x 2sin2cos 321 321 CCC 为任意常数 为通解通解的微分方程是 D A 044 yyyy B 044 yyyy C 044 yyyy D 044 yyyy 解 解 特征方程为044 4 1 232 谭泽光 30 例例 2 08 1 9 3 12 微分方程0 yyx满足条件1 1 y 的特解是 y 解 1 解 1 分离变量求解 dydx yx dydx yx lnln c y x 由条件1 1 y得 ln1ln1 1 c c 解是 x y 1 注意 1 y x 是不对的 多解了 解 2 解 2 分离变量求解 dydx yx 11 yx dydx yx 1 lnlny x 解是 x y 1 解 3 解 3 0 1 1 xyy y 1 0 1 1 0 yy x yx 这是一阶线性齐次方程 观察出一个解 1 y x 其一般解为 c y x 由条件1 1 y得11 1 c c 解是 x y 1 解 4 解 4 0 1 1 xyy y 0 1 1 xy y 1 010 x x y xxy 解是 x y 1 解 5 解 5 0 1 1 xyy y 0 1 1 xdyydx y 0 1 1 d xy y 1 010 x x y xxy 解是 x y 1 例例 3 08 数数 2 10 0 2 xdydxexy x 的通解是 x eCxy 解 1 解 1 原方程化为 1 x dy yxe dxx 一阶线性非齐次方程 1 ln 1 dx x x uee x 1 x dy yxe dxx 谭泽光 31 x y e x x y ec x 得到 x yCxxe 解 2 解 2 原方程化为 2 0 x ydxxdyx e dx 2 22 0 x ydxxdyx e dx xx 0 x y dd e x 积分得到 Ce x y x x yCxxe 例例 4 08 2 16 16 设 xyy 由参数方程 2 0 ln 1 t xx t yu du 确定 其中 tx是初值问题 20 0 1 x dx te dt x 的解 求 2 2 dx yd 解 1 解 1 先求 xx t 由02 x te dt dx 得tdtdxex2 积分并由条件 0 t x 0 得 2 1tex 即 1ln 2 tx 2 2 再求 2 2 dx yd 2 22 2 ln 1 2 1 ln 1 2 1 dyttdt ytt t dx dt t 22 2 22 1 ln 1 ln 1 dtt d ydy dxdxdt 2 2 2 ln 1 2 2 1 ttt dt t dt t 22 1 ln 1 1tt 例例 5 08 2 19 本题满分10分 设 xf是区间 0 上具有连 续导数的单调增加函数 且1 0 f 对任意的 0 t 直线 txx 0 曲线 xfy 以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋 转一周生成一旋转体 若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的 2倍 求函数 xf的表达式 谭泽光 32 解 1 列方程 解 1 列方程 设 yy xf x 22 00 2 2 1 0 1 0 tt yx dxy xy xdx yy x 22 1 0 1 0 yxy xy x yy x 22 1 0 1 0 yy yy x 2 解方程 解 1 2 解方程 解 1 22 1 0 1 0 yy yy x 2 1 0 1 yy y 210 1 yx dy dx y 22 ln1 ln1yyxyyx 2 2 1 1 x x yye yye 2 xx ee yshx 解 2 解 2 22 1 0 1 0 yy yy x 22 0 1 0 0 yyy y yy 0 0 1 0 0 yy yy 12 0 1 0 0 xx yc ec e yy 12 12 1 2 xx yc ec e cc 2 xx ee y 验证解 验证解 函数 2 xx ee yshx 是在 0 上具有连续导数的 单调增加函数 而满足题设几何条件是显然的 例例 6 09 1 10 若二阶常系数线性齐次微分方程0 byyay的 通解为 21 x exCCy 则非齐次方程xbyyay 满足条件 00 20 yy的解为 答案 2 xxey x 解 解 由 21 x exccy 得二阶常系数线性齐次微分方程 0 byyay的特征值 1 21 故1 2 ba 要求解的微 分方程为xyyy 2 设特解BAxy 0 代入微分方程为xyyy 2 得出xBAxA 2 2 1 BA 谭泽光 33 故微分方程为的xyyy 2特解2 xy 通解为 2 21 xexccy x 代入初始条件 20 y 00 y 得1 0 21 cc 要求的解为2 xxey x 例例 7 09 2