2013年海文考研数学导学班讲义-铁军-.pdf

圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 1 万学海文万学海文万学海文万学海文 2013201320132013 考研考研考研考研 数学导学班辅导讲义数学导学班辅导讲义数学导学班辅导讲义数学导学班辅导讲义 主讲主讲 铁军铁军铁军铁军教授教授教授教授 铁军教授简介 铁军教授简介 铁军教授简介 铁军教授简介 著名考研数学辅导专家 近几年在北京 南京 天津著名考研数学辅导专家 近几年在北京 南京 天津 沈沈 阳阳 武汉武汉 广州广州 上海上海 厦门等各大城市声名鹊起厦门等各大城市声名鹊起 成为与王式安成为与王式安 李永乐齐李永乐齐 名的考研数学辅导名的考研数学辅导 三驾马车三驾马车 之一 铁军教授从事考研数学辅导工作以来之一 铁军教授从事考研数学辅导工作以来 以其高屋建瓴以其高屋建瓴 大气磅礴大气磅礴 睿智幽默的风格睿智幽默的风格 对考点对考点 重点重点 难点全面难点全面 深刻深刻 透彻的把握透彻的把握 关爱学生关爱学生 高度负责的态度以及对考题的精准预测高度负责的态度以及对考题的精准预测 令考生受益令考生受益 无穷无穷 特别是铁军老师的数学全程保过班特别是铁军老师的数学全程保过班 更是以无与伦比的连续性更是以无与伦比的连续性 系统性系统性 和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴 和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴 20132013 年 考研竞争空前激烈 年 考研竞争空前激烈 我们邀请铁军老师亲临海文面授 我们邀请铁军老师亲临海文面授 为您考研成为您考研成 功指点迷津 保驾护航 大师风范 品质感人 功指点迷津 保驾护航 大师风范 品质感人 20132013 年 年 我们将我们将与您携手并肩 您的理想将在您我的共同努力下实现 这是与您携手并肩 您的理想将在您我的共同努力下实现 这是 我们的信心 也将是您的信心 因为我们的自信 让您更加自信 我们的信心 也将是您的信心 因为我们的自信 让您更加自信 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 2 数学考试根据工学 经济学 管理学各学科和专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不 同要求 将数学统考试卷分为数学一 数学二 数学三 第一节第一节函数及其特性函数及其特性 函数是微积分的研究对象 极限是微积分的理论基础 而连续性是可导性与可积性的重要条件 它们 是每年必考的内容之一 考点分析考点分析 按照考试大纲的要求 函数部分主要考查 函数的四个常见性态 奇偶性 单调性 周 期性 有界性与函数的两种运算 复合运算和反函数运算 在历年的试题中 既有单纯考查函数有关 知识的题目 也有许多把函数有关知识融汇于其他内容当中的综合性题目 题型以填空题和选择题为主 一 函数的奇偶性一 函数的奇偶性 设函数 xfy 的定义域为 aa 0 a 若对于任 aax 都有 xfxf 称 xf为偶 函数 若对于任 aax 都有 xfxf 称 xf为奇函数 偶函数 xf的图形关于y轴对称 奇函数 xf的图形关于坐标原点对称 考点一考点一 判别给定函数 xf的奇偶性的主要方法是 不管 xf的具体形式是什么 均计算 xf 的 值 如果 xfxf 则由定义知 xf为偶函数 如果 xfxf 则由定义知 xf为奇函数 例例 1 1 1 1 判别下列函数的奇偶性 1 10sinsgn2sin aaxxf aa aa xf xx xx 且 2 x exxxf cos sin x 3 0 12 0 21 x x xf x x 考点二考点二 设 xf二阶可导 则有 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 3 1 若 xf为奇函数 则 xf为偶函数 xf为奇函数 且 0 0 0 0 ff 简单地说 可导的奇函数的导数为偶函数 2 若 xf为偶函数 则 xf为奇函数 xf为偶函数 且 0 0 f 简单地说 可导的偶函数的导数为奇函数 例例 2 2 2 2 1997 数学三 四 若 xf且 0 xf 则在 0 内有 A 0 0 xfxf B 0 0 xfxf C 0 0 f则 A 5 5 5 fff B 5 5 5 fff C 5 5 5 fff D 5 5 5 fff 三 函数的有界性三 函数的有界性 设函数 xfy 在数集 X 上有定义 若存在正数 M 使得对于每一个Xx 都有Mxf 成 立 称 xf在 X 上有界 否则 即这样的 M 不存在 称 xf在 X 上无界 考点五考点五 1 无界变量与无穷大量的区别 无穷大量一定是无界变量 但无界变量不一定是无穷大量 2 非零的有界变量与无穷大量的乘积是无界变量 但不是无穷大量 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 5 评注 1 无界变量与有界变量是函数有界性的正反两个方面 2 用无穷大量的定义和无界变量的定义来区别这两个概念 0 limf x xx 是指 在 x x0处的充分小邻域内 对于所有的 xf x都可以任意大 而 无界 不要 求 所有的x 旺旺 韩圆圆 1店铺 例例 7 7 当0 x时 变量 xx 1 sin 1 2 是 A 无穷小 B 无穷大 C 有界的 但不是无穷小量 D 无界的 但不是无穷大 例例 8 8 设数列0lim nn n nn yxyx满足与 则下列断言正确的是 A 若 n x发散 则 n y必发散 B 若 n x无界 则 n y必有界 C 若 n x有界 则 n y必为无穷小 D 若 n x 1 为无穷小 则 n x必为无穷小 四 函数的单调性四 函数的单调性 设 函 数 xfy 在 区 间I上 有 定 义 若 对 于I上 任 意 两 点 1 x与 2 x且 21 xx 时 均 有 2121 xfxfxfxf 或 则称函数 xf在区间I上单调增加 或单调减少 如果其中的 或 改为 称函数 xf在I上严格单调增加 或严格单调减少 设函数 f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 若对任一 bax 有 0 0 xfxf则 在 a b 上单调增 加 减少 注意 若将上面的不等式0 0 0 0 0 xfxfxf且使改为的点 驻点 只有有限个 则 结论仍成立 考点六考点六 1 判断抽象的函数的单调性 在考试时采用举反例排除法 而尽量不用单调性的定义进行 证明 2 导数大于零的函数一定单调递增 但单调递增的可导函数的导数不一定严格大于零 其导数也可能 等于零 例例 9 9 设 f x 在 内可导 且对任意 21 x x 当 21 xx 时 都有 21 xfxf 则 A 对任意0 xfx B 对任意0 xfx 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 6 C 函数 xf 单调增加 D 函数 xf 单调增加 第二节第二节数列的极限数列的极限 考点分析考点分析 数列极限的考点主要包括 N 定义的理解 极限运算法则的理解 单调有界准则和夹 逼准则求极限 利用定积分的定义求和式的极限等等 一 数列的极限一 数列的极限 1 数列的极限 无穷多个数按一定顺序排成一列 21 n uuu称为数列 记为数列 nn uu其中 称为数列的一般 项或通项 设有数列 n u和常数 A 若对任意给定的0 总存在自然数 NN 当 n N 时 恒有 时 计算 1n n u u 若 1 1 n n u u 则 n u单调递增 若 1 1 n n u u 则 n u单调递 减 III令 n f nu 将 n 改为 x 得到函数 f x 若 1 f x x 可导 则当 0fx 时 n u单调 递增 当 0fx 时 n u单调递减 例例 1 1 1 1 1 1 1 1 武汉大学 武汉大学 2003200320032003 年年 设设10 1n 1n 1n 1 1 1 a 则 则 n n alim 例例 2 2 2 2 1 证明 对任意的正整数n 都有 111 ln 1 1nnn 时 nnn yxz 且 limlim nn nn yza 则lim n n xa 评注 在使用夹逼准则时 需要对通项进行 缩小 和 放大 要注意 缩小 应该是尽可能地大 而 放大 应该是尽可能地小 在这种情况下 如果仍然 夹 不住 那么就说明夹逼准则不适用于这 个题目 要改用其他方法 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 8 例例 3 3 3 3 求下列极限 lim 1 01 kk n nnk 在x 0处连续 则 a 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 16 例例 4 4 4 4 函数 2 22 1 1 1 xx f x xx 的无穷间断点的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 二 闭区间上连续函数的性质定理二 闭区间上连续函数的性质定理 定理定理 1 1 1 1 有界性定理 有界性定理 闭区间 a b 上的连续函数 xf必在 a b 上有界 定理定理 2 2 2 2 最大值最小值定理最大值最小值定理 闭区间 a b 上的函数 xf 必在 a b 上有最大值和最小值 即在 a b 上 至少存在两点 21 与 使得对 a b 上的一切 x 恒有 21 fxff 此处 1 f与 2 f就是 xf在 a b 上最小值与最大值 定理定理 3 3 3 3 介值定理介值定理 设函数 xf在闭区间 a b 连续 m 与 M 分别为 xf在 a b 上的最小值与最大 值 则对于任一实数 c m c M 至少存在一点 ba 使cf 定理定理 4 4 4 4 零点定理或根的存在定理 零点定理或根的存在定理 若 xf在闭区间 a b 上连续 且0 xf0 2 xf 又因为函数 xf在区间I上连续 所以 xf在区间 21 xx或 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 17 区间 12 xx上连续 且区间端点的函数值异号 即0 21 xfxf 故由闭区间上连续函数的零点定 理知 至少存在一点 21 xx 或 12 xx 使 0f 这与已知条件0 xf矛盾 因此 所 作的假设是错误的 函数 xf在区间I上必恒正或恒负 即 xf在区间I上必恒大于零或恒小于零 例例 5 5 5 5 设 y f x 在 0 1 内具有二阶连续导数 且 0 xf 求证 1 对于 0 1 内任一点0 x 存在唯一的 xxf xfxfx 0 1 0使成立 2 令xarctan x f 求当 0 x时 x 的极限值 第五节第五节罗尔定理罗尔定理 中值定理是一元函数微分学的理论核心 它反映了导数更深刻的性质 是用导数与微分研究函数性 质的理论基础 也是研究生考试的考核重点 罗尔定理是四个微分中值定理中非常基本也非常重要的一 个定理 应用中值定理做证明题的关键是设辅助函数 重点应放在掌握每个中值定理本身的特点上 并学会 一些简单的技巧和分析方法 用基本的方法解决各种复杂的问题 反复训练 而不应过多地迷信一些华 而不实的技巧 圆圆工作室 内部版本 仅供学习 禁止传播 18 罗尔定理的内容 罗尔定理的内容 若函数 f x 满足条件 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 f a f b 则在开区间 a b 内至少存在一点 使得0 f 考点十六考点十六 用罗尔定理证明等式常要设辅助函数 其基本方法是原函数法 即 将结论进行变形 把欲证等式的两边移到一边来 将其中的 改成x 用观察法求出所得函数的原 函数 若该原函数满足罗尔定理的条件 这就是辅助函数 这种求辅助函数的方法称为原函数法 例例 1 1 1 1 设函数 xf在 1 0 上连续 在 1 0 内可导 10 0 xxf 0 0 f证明 存在 1 0 使得 1 f f f f 考点十七考点十七 若欲证等式可变形为 0P xP x Q x 则应取辅助函数为 Q x F xP x e 然 后应用罗尔定理进行证明 这种求辅助函数的方法称为公式法 例例 2 2 2 2 王式安等著 数学标准全书 第 王式安等著 数学标准全书 第 79797979 页 页 设函数 xf在 1 0 上连续 在 1 0 内可导 且 1 2 0 ff 证明 至少存在一点 0 1 使得 1 ff 考点十