2008年南通市高三数学一校五题选编.doc

2008年南通市高三数学一校五题选编一、填空题1 （命题人：启东中学曹瑞彬，审题人：启东中学李俊，原创）若曲线在点P处的切线平行于直线3xy0，则点P的坐标为 【解析】设，由，得，从而点P的坐标为（1，0）2 （命题人：启东中学曹瑞彬，审题人：启东中学李俊，原创）在ABC中，角A、B、C的对边分别为、，且，则角B的大小是 【解析】由余弦定理，得 则，即所以B的大小是或3 （命题人：启东中学李俊，审题人：启东中学曹瑞彬，原创）已知单位正方体ABCDA1B1C1D1对棱BB1，DD1上有两个动点E、F，BED1F，设EF与面AB1所成角为，与面BC1所成角为，则的最大值为 【解析】由对称性可知，又，所以45，904 （命题人：启东中学俞向阳，审题人：启东中学李俊）设函数，集合M，P，若MP，则实数a的取值范围是 【解析】设函数， 集合若a1时，Mx| 1xa；若a1时，Mx| ax0 a1时，PR，a0,对任意正数a、b，若ab，则的大小关系为 【解析】设，则，故为增函数，由ab，有二、解答题17 （命题人：启东中学曹瑞彬，审题人：启东中学李俊，原创）在数列an中，已知，a12，an1 an1 an2 an对于任意正整数，（）求数列an的通项an的表达式；（）若 （为常数，且为整数），求的最小值 解：（）由题意，对于nN*，且，即由 ，得 则数列是首项为，公比为的等比数列于是， 即 （）由（），得 当时，因为， 所以 又，故M的最小值为318 （命题人：启东中学李俊，审题人：启东中学曹瑞彬，原创）设顶点为的抛物线交轴正半轴于、两点，交轴正半轴于 点，圆（圆心为）过、三点，恰好与轴相切 求证： 解：设、三点的坐标为，圆的圆心坐标为，由韦达定理，知 原点到圆D的切线为，所以，即 故 点坐标为 由（1），设交轴于，要证与圆相切，即证 如果，那么与相似， 所以只需证 而 ， 所以 等价于 ，即只需要证 由，所以与圆相切19 （选题人：启东中学陈高峰，审题人：启东中学李俊）已知函数的图象x轴的交点至少有一个在原点右侧 （1）求实数m的取值范围； （2）令tm2，求的值（其中t表示不大于t的最大整数）； （3）对（2）中的t，求函数的值域【解析】若m0 则符合题意若m0 ，m0时，由时，方程有两正根综上得（2）tm2 ，当t1时，当t1时，（3）当t1时，；当t1时，0，设tn，且tta，则于是由函数时是增函数，及设递减，递减，于是t1时，的值域为综上的值域为20 （选题人：启东中学陈兵，审题人：启东中学李俊）已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”设函数，定义域为A（1）试证明的图象关于点成中心对称；（2）当时，求证：；（3）对于给定的，设计构造过程：，如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值 【解析】（1），由已知定理，得的图象关于点成中心对称（2）先证明在上是增函数，只要证明在上是增函数设，则，在上是增函数再由在上是增函数，得当时，即（3）构造过程可以无限进行下去，对任意恒成立方程无解，即方程无解或有唯一解或由此得到21 （选题人：启东中学徐建明，审题人：启东中学李俊）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）的图象上任意两点，且，已知点M的横坐标为（1）求证：M点的纵坐标为定值； （2）若Snf（N*，且n2，求Sn（3）已知an其中nN* Tn为数列an的前n项和，若Tn（Sn11）对一切nN*都成立，试求的取值范围【解析】（1）证明： M是AB的中点设M点的坐标为（x，y）， 由（x1x2）x，得x1x21，则x11x2或x21x1 而y（y1y2） f（x1）f（x2） （log2 （1log2 （1log2 （1log2M点的纵坐标为定值（2）由（1），知x1x21，f（x1）f（x2）y1y21， Snf（Snf（， 两式相加，得2Snf（）f（）f（） ，Sn（n2，nN*）（3）当n2时，an Tna1a2a3an（ （ 由Tn（Sn11），得 n4，当且仅当n2时等号成立，因此，即的取值范围是（）22（命题人：如东中学葛张勇 ，审题人：如东中学何鹏，由中学数学教学参考2008年第1期题目改编 ）有红色和黑色两个盒子，红色盒中有6张卡片，其中一张标有数字0，2张标有数字1，3张标有数字2；黑色盒中有7张卡片，其中4张标有数字0，1张标有数字1，2张标有数字2现从红色盒中任意取1张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），黑色盒中任取2张卡片（每张卡片被抽出的可能性相等），共取3张卡片（）求取出的3张卡片都标有数字0的概率；（）求取出的3张卡片数字之积是4的概率；（）求取出的3张卡片数字之积是0的概率【解析】（）；（）；（）答：（略）23（命题人：如东中学何鹏，审题人：如东中学缪林，由2008年广东省韶关市高三摸底考试数学（理）第21题改编）设函数的定义域为R，当x0时1，且对任意的实数x，yR，有（）求，判断并证明函数的单调性；（）数列满足，且求通项公式当时，不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围【解析】（）时，f（x）1令x1，y0，则f（1）f（1）f（0）f（1）1 ，f（0）1若x0，则f（xx）f（0）f（x）f（x）故，故xR， f（x）0任取x1x2，故f（x）在R上减函数（）由f（x）单调性，an1an2 ，故an等差数列，是递增数列当n2时， ，即而a1，x1，故x的取值范围（1，）24（命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华改编） 已知数列满足 ，令 ，求证（1）数列是等比数列； （2）解析：（1） ， ， 数列 是等比数列（2） 数列 是等比数列， ， ， 25（命题人：通州中学薛国均，审题人：通州中学宋茂华改编）已知圆O的方程为过直线上的任意一点P作圆O的切线PA、PB四边形OABP的面积取得最小时的点P的坐标（m，n）设（1）求证：当恒成立；（2）讨论关于的方程： 根的个数解析：（1） 当取得最小值时取得最小，过点O 作垂直于直线，交点为， 易得， ，在是单调增函数， 对于恒成立（2）方程， ， 方程为令， ，当上为增函数； 上为减函数， 当时， 、在同一坐标系的大致图象如图所示， 当时，方程无解 当时，方程有一个根当时，方程有两个根26（命题人：海门中学方伟，审题人：海门中学沈永飞）解不等式解：（）当x2时，得（2x1）（x2）4，得，此不等式无解（）当2x，得（2x1）（x2）1，（）当x时，得（2x1）（x2）4，得综上，原不等式的解集为（1，1）27（命题人：海门中学周裕冲，审题人：海门中学方伟）已知函数在点P处的切线方程为，又（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调区间和极值；（3）若函数在区间上的值域为，求应满足的条件解：（1）由题设，知，解得，所以（2）由，得由，得的单调增区间是，单调减区间为当时，取得极大值0，当时，取得极小值（3）由（2）知，在上是增函数，在上是减函数因为，所以，所以此时，由，得所以综上，28（命题人：海门中学陈达，审题人：海门中学方伟）结论：圆C：与x轴相交于M、N两点，设点P是圆C上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值（1）写出以上结论在椭圆中的推广，并加以证明；（2）将（1）的结论类比到双曲线，并加以证明解：（1）设椭圆与x轴交于M、N两点，设点P是椭圆上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值证明：由题意，设，则，所以，所以是定值（2）设双曲线与x轴交于M、N两点，设点P是双曲线上任一点，则直线PM、PN斜率的乘积是定值证明：由题意，设，则，所以，所以是定值29（命题人：海门中学陈达，审题人：海门中学方伟）已知函数的定义域为R，对任意实数满足，且（1）求；（2）试用表示；（3）用，的表达式来表示答案：（1）利用赋值法易得（2）令，由条件，得，所以（3）设，由条件，得，所以30（命题人：海门中学方伟，审题人：海门中学沈永飞）某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元，设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金解：设保险公司要求赔偿顾客交x元保险金，若以表示公司每年的收益额，则的分布列为ap1pp公司每年收益的期望值为：Ex（1p）（xp）pxap，要使公司收益的期望值等于a的10%，只需E0.1a，即xap0.1a，x（0.1p）a，应交的保险金为（0.1p）a31（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行 根据以往经验，每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响若甲第n局赢、平、输的得分分别记为、令（）求的概率；（）若随机变量满足（表示局数），求的分布列和数学期望解：（I），即前3局甲2胜1平由已知，甲赢的概率为，平的概率为，输的概率为，概率为 （II）时，且最后一局甲赢，；的分布列为45 32（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，E为PD的中点 （）求直线AC与PB所成角的余弦值；（）在侧面PAB内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，P，E的坐标为A（0，0，0），从而设的夹角为，则与所成角的余弦值为 （）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为，则，由面PAC，可得 即点的坐标为，从而点到和的距离分别为33（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）在平面直角坐标系中，抛物线上异于坐标原点O的两不同动点、满足（如图所示），求得重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程xyOAB解析 法一：直线AB的斜率显然存在，设直线AB的方程为.，依题意，得 ， ，即 由、，得 ，设直线AB的方程为 可化为， 设的重心G为，则 由，得 ，即，这就是得重心的轨迹方程法二： AOBO，直线OA，OB的斜率显然存在， 设AO、BO的直线方程分别为，设，依题意，可得 由 得 由 得设的重心G为，则 由，可得，即为所求的轨迹方程法三：（I）设AOB的重心为G（x，y），A（x1， y1），B（x2，y2 ），则 （1）OAOB ，即 （2）又点A，B在抛物线上，有代入（2）化简，得，所以重心为G的轨迹方程为34（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）如图，过点A（6，4）作曲线的切线l（1）求切线l的方程；（2）求切线l，x轴及曲线所围成的封闭图形的面积S解：（1），切线l的方程为，即（2）令0，则x2令0，则x 2 A35（命题人：如皋市第一中学潘佩，审题人：如皋市第一中学戴圩章）已知数列（1）求；（2）证明解：（1） 方法一 用数学归纳法证明：1 当n0时， ，命题正确2 假设nk时，有 则 而又 时命题正确由1、2知，对一切nN，有方法二：用数学归纳法证明：1 当n0时， 2 假设nk时，有成立， 令，在0，2上单调递增，由假设，有即也即当nk1时，成立，所以对一切36 （命题人：南通中学田宇龙，审题人：南通中学杨建楠，原创）已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有，直线被的图像截得的弦长为，数列满足，.（1）函数；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的最值及相应的n【解析】（1）设，则直线与图象的两个交点为（1，0），（2），数列是首项为1，公比为的等比数列， （3）令，则，的值分别为，经比较距最近，当时，有最小值是，当时，有最大值是0. 37（命题人：南通中学赵栋，审题人：南通中学杨建楠，原创）设定义在上的函数的图象为C，C的端点为点A、B，M是C上的任意一点，向量，若，记向量.现在定义“函数在上可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中k是一个人为确定的正数（1）证明：；（2）请你给出一个标准k的范围，使得0，1上的函数y=x2与y=x3中有且只有一个可在标准k下线性近似.【解析】（1）由题意，x1xx2，即x1x1+（1）x2x2， x1 x2（x1x2）0 x1 x20， 01（2）由=+（1），得=所以B、N、A三点在一条直线上又由（1）的结论，N在线段AB上，且与点M的横坐标相同对于 0，1上的函数y=x2，A（0，0），B（1，1），则有|= x x2 =，故对于0，1上的函数y=x3，则有= xx3= g（x）在（0，1）上， g（x）= 13 x2，可知在（0，1）上y= g（x）只有一个极大值点x=，所以函数y= g（x）在（0，）上是增函数;在（，1）上是减函数又g（）=，故0，经过比较，所以取k，），则有函数y=x2在0，1上可在标准k下线性近似，函数y=x3在0，1上不可在标准k下线性近似38（命题人：南通一中黄健，审题人：南通一中吴勇贫）已知数列的前n项的和Sn，满足 （1）写出数列的前3项（2）写出数列的通项公式（3）设 ，是否存在正整数k，使得当n3时，如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由 解析：（1）（2）n3时，由，得相减，得，是等比数列，（3），当k为偶数时，当n为奇数且n3时， 当n为偶数且n3时，所以存在k=639（命题人：南通一中吴勇贫，审题人：南通一中黄健）已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线， 相交于，两点.（）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；（）求弦的长度.解：（）曲线：（）表示直线曲线：，所以，即（）圆心（3，0）到直线的距离 ，所以弦长=40（命题人：如东丰利中学宋浩，审题人：如东丰利中学袁峰）下面的一组图形为某一四棱锥SABCD的侧面与底面。（1）请画出四棱锥SABCD的示意图，是否存在一条侧棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，请给出证明；（2）若SA面ABCD，点E为AB的中点，点G为SC的中点，求证EG面SAD.（3）在（2）的条件下，求证：平面SEC平面SCD；SDACB 【解析】（1）存在一条侧棱垂直于底面（如右图）证明：SAAB，SAAD，ABAD=A.SA面ABCD.（2）取SD的中点F，连接GF，AF，则GFEA.又GF=CD=AB=AE，四边形ABCD为平行四边形，AFEG又EG面SAD，AF面SAD， EG 面SAD.（3）SAD为等腰三角形，F为SD的中点，AFSD.SA面ABCD，SACD.又ADCD，CD面SAD.AF面SAD，CDAF，AF面SCD.由（2）知，AFEG，所以EG面SAD.又EG面SEC，面SEC面SCD.41.（命题人：如东丰利中学花龙泉， 审题人：如东丰利中学朱兵）已知向量，动点M到定直线的距离等于，并且满足，其中O为坐标原点，K为参数；（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（2）当k=时，求的最大值和最小值；（3）在（2）的条件下，将曲线向左平移一个单位，在x轴上是否存在一点P（m，0）使得过点P的直线交该曲线于D、E两点、并且以DE为直径的圆经过原点，若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，则由，且O为原点得A（2，0），B（2，1），C（0，1）从而代入得为所求轨迹方程当K=1时，=0 轨迹为一条直线 当K1时，若K=0，则为圆 ；若K，则为双曲线 （2）当K=时，若或则为椭圆方程为，即且 从而 又 当时，取最小值，当 时，取最大值16故， （3）在（2）的条件下，将曲线向左平移