2012年超越考研暑期强化班讲义多元函数积分学》练习题.pdf

1 P104 练习 1 设 03 01 Dxy 则 min D x y d 解 12 113 000 4 min 3 y y DDD x y dxdyddyxdxdyydx P105 练习 2 设 yxf连续 且dudvvufxyyxf D 其中D由0 y 2 xy 1 x围成 求 yxf 解 设 D f u v dudvA 则 f x yxyA 两边在D上二重积分 有 22 11 0000 1 8 xx DD Af x y dxdyxyA dxdydxxydyAdxdyA 则 1 8 f x yxy P105 练习 3 计算 22 1 D Ixyd 其中10 xD 10 y 解 1211 2222222222 1 1 1 1 1 DDDDD Ixydxydxydxydxyd 111 22 2 0000 1 4 2 1 1 3 dr rdrdrrdr P105 练习 4 计算 2 2 2 2 2 0 2 sin sin x xx xx Idy dxdy dx yy 解 2 2 0 2 sin y y x Idx dy y 2 1 2 P106 练习 5 设函数 yxf连续 则 2224 11 y xy dxf x y dydyf x y dx A 24 11 x dxf x y dy B 24 1 x x dxf x y dy C 24 11 y dyf x y dx D 22 1 y dyf x y dx 解 2224 11 y xy dxf x y dydyf x y dx 24 11 y dyf x y dx P106 练习 6 设平面区域 D 由直线yx 圆 22 2xyy 及y轴所组成 则二重积分 D xyd 2011 解 2sin 356 222 0 444 27 cossin4cos sin sin 312 D xyddr drd P107 练习 7 计算 dyI D D由0 y 2 y 2 x 2 2xyy 所围成 1999 解 D Iyd 11 D DD ydyd 4 2 P108 练习 8 计算 22 1 xy D Iyxed D由1 y 3 xy 1 x围成 解 如图 3 2 D Iyd 3 1 01 2 x ydy dx 1 6 0 1xdx 6 7 3 P108 练 习9 如 图 正 方 形 1 1 yxyx被 其 对 角 线 划 分 为 四 个 区 域 4 3 2 1 kDki 令cos k k D Iyx dxdy 则 k k I 41 max A 1 I B 2 I C 3 I D 4 I 解 由对称性 2 2 cos0 D Iyxdxdy 4 4 cos0 D Iyxdxdy 在 1 D上 cos0yx 所以 1 1 cos0 D Iyxdxdy 在 3 D上cos0yx 所 以 3 3 cos0 D Iyxdxdy 故 1 14 max k k II 选 A P113 练习 10 已知曲线L的方程为 1 1 1 xxy 起点是 0 1 终点是 0 1 则曲 线积分 2 L xydxx dy 2010 解 1 1 10Lyxx 2 1 01Lyxx 12 01 222 10 1 1 0 LLL xydxx dyxxxdxxxxdx P115 练习 11 22 4 L ydxxdy I xy 其中 0 222 RRyxL正向 解法 1 cos 02 sin xRt Lt yRt 代入即可 解法 2 补 222 1 4 0 LxyrrR 顺时针 沿L与 1 L围成D 由多连通区域的格林公式 11 11 222 0 4 LL LL LLDD QPydxxdyydxxdy Idd xyxyr 1 2222 1112 02 2 L DD QPr ydxxdyddr rrxyrr 4 P118 练习 12 设曲面1 zyx 则 dSyx 2007 解 1 1xyz 1 11 00 88 4 3 3 38 3 x D xy dSydsydxdydxydy P120 练习 13 计算 2 1 222 2 zyx dxdyazaxdydz I 其中 222 yxaz 0 a 取上侧 1998 解 不能直接用 gauss 公式 2 2 1 222 2 1 axdydzzadxdy Iaxdydzzadxdy a xyz 补 1 0z 222 xya 方向向上 1 223 11 2 2 Iaxdydzza dxdyazadVa dxdya aa P121 练 习 14 计 算 曲 面 积 分23Ixzdydzzydzdxxydxdy 其 中 为 曲 面 22 1 1 4 zxy 01 z 取上侧 2007 解 补 1 0z 方向向下 1 22 11 00 1 1 4 2333 3332 1 0 z D xy IxzdydzzydzdxxydxdyzdVxydxdy dzzdxdyxydxdyzz dz 5 P121 练 习15 计 算 积 分 dzyxdyxzdxzyI 3 2 222222 其 中 2 1 zyx yx 从x轴正向看去 逆时针 2001 解 设 是平面2xyz 上被柱面1xy 所截下部分的上侧 由 stokes 公式 222222 222222 2 3 23 dydzdzdxdxdy Iyzdxzxdyxydz xyz yzzxxy 24 62 22 yz dydzxz dzdxxy dxdy 24 62 22 2 6 4122 D D yzxzxydxdyxy dxdy dxdy P122 练习 16 设 222 zyxu 求 1 2 2 div g