固体物理学讲义13.pdf

1 5 晶体的宏观对称性 晶态物质所形成的单晶体外形上的规律性突出地表现在晶面 的对称排列 晶态物质的性质是和方向有关的 或者说是各向异性的 但由于晶格的周期性排列晶格又存在某种对称性因此其宏观性质 也存在同样的对称性和一般的几何图形不同晶体只具有为数不多 的对称类型这是由于晶格周期性的限制按照空间群理论晶体的 对称类型是由少数基本的对称操作组合而成 如果基本对称操作不包 括平移则组成 32 种宏观的对称类型称为点群如果包括平移 就包括 230 种微观的对称性称为空间群 以介电常数为例其一般为二阶张量即 z y x zzzyzx yzyyyx xzxyxx z y x E E E D D D 对于具有立方对称性的晶体 0 证明 对于具有六角对称性的晶体 如果坐标轴选取在六角轴的方向和其垂 直平面内则有 2 1 2 1 2 1 00 00 00 E E E D D D 1 线性变换 和刚体一样 晶格中任意两点间的距离 在操作前后应保持不变 此即线性变换 设有变换使xx A vv 即xAx vv 3 2 1 333231 232221 131211 3 2 1 x x x aaa aaa aaa x x x 因操作前后应保持任意两点间的距离不变即要求 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1 xxxxxx 即xxxAAxxx vvvvvv 即IAA 换句话说A为正交矩阵 变换矩阵为正交矩阵的又称为正交变换 几何变换如旋转反射及反演都是正交变换因此概括宏观对称 性的系统方法是考查物体在正交变换下的不变性 以下为几种简单的 线性变换操作 1 转动 对于基矢为的晶胞 321 aaa vvv 其基矢在直角坐标系下的表示为 11zxx aeaa vvv 33zxx eaeaa vvv 11zyy eae v 33zyy ae v 2222zzyyxx eaeaeaa vvvv 即 z y x zyx zyx zyx e e e aaa aaa aaa a a a v v v v v v 333 222 111 3 2 1 对于格矢 332211 abababb vvv v 有 z y x zyx z y x zyx zyx zyx e e e bbb e e e aaa aaa aaa bbb a a a bbbb v v v v v v v v v v 333 222 111 321 3 2 1 321 考虑一转轴其和直角坐标系的坐标轴之间夹角的余弦分别为 zyx coscos cos 即有 zzyyxx eeeO vvv v coscoscos z y x zyx e e e v v v coscoscos 绕该轴转动 角后设新坐标轴的单位矢量为e zyx ee vvv 其在老坐标 系的表示为 zyxyzyxx enemeleenemele vvrvvvvv 222111 333zyxz enemele vvvv l1 m1 n1可利用如下方法求出 xx xx Oe ee nml cos cos 1 2 1 2 1 2 1 v v vv 同样方法可以求出 l2 l3 m2 m3 n2 n3 从而得到该操作的矩阵表示 z y x z y x e e e nml nml nml e e e v v v v v v 333 222 111 或者 z y x z y x e e e nnn mmm lll e e e v v v v v v 321 321 321 设经过该转动操作后变成 则b在新坐标中的表示仍然为b v b v v z y x zyx e e e bbbb v v v v 则 其 在 原 坐 标 中 的 表 示 为 zyx l l l bbbb v 3 2 1 z y x e e e nm nm nm v v v 33 22 11 在晶胞基矢中的表示为 3 2 1 1 333 222 111 333 222 111 a a a aaa aaa aaa nml nml nml bbbb zyx zyx zyx zyx v v v v 因此若对于任意 bx by bz 操作使得系数矩阵的矩阵元为整数则该 操作为该结构的对称操作该系数矩阵为该对称操作的表示 2 中心反演 若取反演中心为坐标原点经过中心反演后任意一点变为x v x v 即 3 2 1 3 2 1 100 010 001 x x x x x x 100 010 001 A 3 镜象映射 即以某个平面作为镜面的映象操作若取 Z 0 的面为镜面则有 3 2 1 3 2 1 100 010 001 x x x x x x 100 010 001 A 2 基本的对称操作 由于晶格的周期性其对称操作只可能有几种而不象几何图形 那样设图 1 5 1 中 B1ABA1S 是晶体中某一晶面纸面上的 一个晶列AB 是这晶列上相邻两个格点的距离如果晶格绕通过格 点 A 并垂直于纸面的 u 轴转动 角后 能自身重合 则由于晶格的周 期性通过格点 B 也应该有一个转轴 u 图 1 5 1 晶体中某一晶面的晶列 1转动角 2 0 通过 A 处的 u 轴顺时针转过 后使 B1点到点 B 同样对于 通过 B 处的 u 轴顺时针转过 后由于 A1点是格点位置因此 A 点原来应该存在格点 由于和平行 B A AB因此长度必须等 于长度的整数倍 B A AB而 cos2 1 AB A B因此 角只能 取 2 3 0 2转动角 2 对于通过 B 处的 u 轴A 点到达点 A 对于通过 A 处的 u 轴 由于 B 点是格点因此在点也应该存在一个格点 B 同样因为 是长度的整数倍 cos 21 ABBA AB因此 只 能取 3 2 2 综上所述若将转动角 写成 n 2 则 n 只能取 12346n 称为转动的次数 a n 次旋转对称轴及其表示 bn 次旋转 反演轴及其表示 若绕轴 u 旋转 n 2 后再经过中心反演 晶体能自身重合 则 称 u 为 n 度旋转 反演轴表示为6 4 3 2 1mi 1是中心反演用 i 表示即i 1 2即镜象映射用 m 表示即m 2 3等于 3 次轴加 i 的效果总效果这是由于由点 1 出发点得 1 再 经中心反演得 22 经过转动120得到2 0 中心反演得 33 转动 后得 1经反演得 44 转动反演后得 55 转动反演后得 6即 由 1 出发得 264 和 531 诸点得到的 6 个点的分布具 有 3 度轴和对称心 i 的对称性 4由如图 1 和1出发 分别得到两个四面体 1234 和1423 将 1234 转动 90 度后1重合423 再翻转则和自身重合 6 等于 3 次轴加 m 的效果总效果 综上所述晶体的宏观对称性中只有以下 8 种基本的对称操作 12346im和4这些基本对称操作组合起来得到 32 种不包括平移的宏观对称类型 对于晶体的微观对称性 对称操作中还必须包括平移 因此又有 cn 度螺旋轴 一个n度螺旋轴u表示绕轴每转 n 2 后 再沿着该轴的平移 n l 个该方向的周期l 为小于 n 的整数 d滑移反映面 一个滑移反映面表示经过该面的镜象操作后 再沿平行该面的某个方 向平移 n v T 的距离T v 为该方向的周期矢量n 为 2 或 4晶体中的 原子和相同的原子重合 a 和b类对称操作可以导出 32 种点群这 32 种点群对应晶 体 32 种宏观的操作性再加上c和d类对称操作就可以导 出 230 种空间群每一种空间群对应一种特殊的晶格结构 3群的基本概念 群是满足下列操作规则的元素的集合该操作规则又称为群公 理 1闭合性 任意两元素的操作的结果仍然属于该集合 2单位元素 存在单位元素使得任意元素和其的操作等同于该元素 3逆元素 任何元素都存在一对应元素使得两者的操作等同于单位元素 4结合律 元素之间的操作满足结合律 1 6 点群 32 个点群 C1群只含一个不动操作元素 回转群只含有一个旋转轴记为 6432 CCCC分别含有 23 46 个元素 Ci群C1群加中心反演 I Cs群C1群加反映面 m 双面群 Dn含有一个 n 重旋转轴和 n 个与之垂直的二重轴的点群 有 D2D3D4D6 Cnh群Cn群加上与 n 重轴垂直的反映面 m有 hhhh CCCC 6432 Cnv群Cn群加上 n 个含 n 重轴的反映面 m有C vvvv CCC 6432 Dnh群Dn群加上与 n 重轴垂直的反映面 m有 D2hD3hD4hD6h Dnd群 Dn群加上通过 n 重轴及两根二重轴角平分线垂直的反映面 m 只有 D2dD3d Sn群只含有转动加反演