同济大学的高等数学讲义 (11).pdf

第一单元第一单元 不定积分的概念与性质基本积分法不定积分的概念与性质基本积分法 本单元内容要点本单元内容要点 原函数的概念原函数的概念 不定积分的概念与基本性质不定积分的概念与基本性质 基本积分基本积分 公式公式 第一类换元积分法第一类换元积分法 第二类换元积分法第二类换元积分法 分部积分法分部积分法 本单元教学要求本单元教学要求 1 理解原函数的概念理解原函数的概念 理解不定积分的概念理解不定积分的概念 掌握不定积分掌握不定积分 的基本性质的基本性质 2 掌握不定积分的基本公式掌握不定积分的基本公式 掌握换元积分法与分部积分掌握换元积分法与分部积分 法法 本单元教学的重点与难点本单元教学的重点与难点 重点重点 不定积分的基本公式不定积分的基本公式 换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法 难点难点 第一类换元积分法第一类换元积分法 凑微分法凑微分法 课时数课时数 8学时学时 一 不定积分的概念与性质一 不定积分的概念与性质 1 原函数原函数 在第二章中曾提出已知求的求导 问题 而现在的问题是已知 在第二章中曾提出已知求的求导 问题 而现在的问题是已知 求满足的 这类问题就是求原函数 求满足的 这类问题就是求原函数 F x F xf x f x F xf x F x 定义定义1 如果在区间 上的可导函数的导函数为 即对任一 都有 如果在区间 上的可导函数的导函数为 即对任一 都有 F x f xxI I Fxf xdF xf x dx 或 则称函数为在区间 上的一个原函数 或 则称函数为在区间 上的一个原函数 F x f xI 例例1 函数的一个原函数为 这是因为函数的一个原函数为 这是因为sinxcosx cossin xx 2 2 1 ln1 1 xx x 又如 又如 故 的原函数为故 的原函数为 2 ln1 xx 2 1 1x 我们知道 对函数而言 如果导函数存在的话 导函我们知道 对函数而言 如果导函数存在的话 导函 数是唯一的 但某个函数的原函数是否唯一呢 为此 数是唯一的 但某个函数的原函数是否唯一呢 为此 先引入 先引入 F xf x 原函数存在定理如果函数在区间 上连续原函数存在定理如果函数在区间 上连续 则在区 间 上存在可导函数 使得对任一 都有 则在区 间 上存在可导函数 使得对任一 都有 f xI I F xxI 即连续函数一定有原函数存在 即连续函数一定有原函数存在 唯一性定理如果是的原函数唯一性定理如果是的原函数 则 也是的原函数 则 也是的原函数 其中为任意常数 并且的 原函数一定可写成的形式 其中为任意常数 并且的 原函数一定可写成的形式 F x f x F xC f xC f x F xC 2 不定积分不定积分 由上面的讨论 可得到如下定义 由上面的讨论 可得到如下定义 定义定义2 在区间 上 函数的带有任意常数的原函数 称为在区间 上的原函数 记作 在区间 上 函数的带有任意常数的原函数 称为在区间 上的原函数 记作 I f x f xI f x dx df xxF xC 即 其中是的原函数即 其中是的原函数 F x f x 例例2 由定义 不难得到下面的 由定义 不难得到下面的 3223 1 3 3 xxx dxxC 11 ln ln xdxx dxC xx sincos cossin xxxdxxC 22 11 arctan arctan 11 xdxxC xx 注注1 在不定积分表达式中最后的常数不能漏掉 否 则意义将完全改变 在不定积分表达式中最后的常数不能漏掉 否 则意义将完全改变 2定义在区间上的连续函数一定存在原函数 但其原 函数比一定能用初等函数来表示 例如函数 定义在区间上的连续函数一定存在原函数 但其原 函数比一定能用初等函数来表示 例如函数 I 2 x f xex 为连续函数 但其原函数却不能用初等函数来表示 为连续函数 但其原函数却不能用初等函数来表示 3在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数 例如函数 在区间 内存在原函数的函数不一定是连续函数 例如函数 I 11 2 sin cos 0 0 0 xx f xxx x 存在间断点 但在存在原函数存在间断点 但在存在原函数0 x f x 2 1 sin 0 0 0 xx F xx x 例例3 设曲线通过点设曲线通过点 1 2 且其上任一点处的切线斜率等且其上任一点处的切线斜率等 于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 于这点横坐标的两倍 求此曲线的方程 解设此曲线的方程为由题设得关系解设此曲线的方程为由题设得关系 yf x 2 dy x dx 即 是的一个原函数 因且曲 线过 即 是的一个原函数 因且曲 线过 1 2 代入曲线方程得故所求曲线的方程为代入曲线方程得故所求曲线的方程为 f x2x 2 2 xdxxC 1 C 2 1 yx 对例对例3的说明 函数的原函数的图形称为积分 曲线 当常数取不同值时 曲线为平行曲线 因而 通过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线 的说明 函数的原函数的图形称为积分 曲线 当常数取不同值时 曲线为平行曲线 因而 通过曲线上某一点的坐标即可确定相应的曲线 f x f x C 1 0 50 511 52 1 2 3 4 5 3 基本积分公式基本积分公式 10d xC 1 2d1 1 x xxC d 3ln x xC x 2 d 4arctan 1 x xC x 2 d 5arcsin 1 x xC x 6cos dsin x xxC 7sin dcos x xxC 2 8secdtan x xxC 2 9csc dcot x xxC 10sec tan dsec xx xxC 12csc cot dcsc xx xxC 11e de xx xC 13d ln x x a axC a 14sinh dcosh x xxC 15cosh dsinh x xxC 4 不定积分的性质不定积分的性质 性质性质1 d fx dxfxfx dxfx dx dx 性质性质2 设函数及的原函数存在 则设函数及的原函数存在 则 f x g x f xg xdxf x dxg x dx 其中为任意常数 其中为任意常数 5 积分举例 例 积分举例 例1 求积分求积分 3 2 1 d x x x 解先将展开 然后再利用积分公式及运算法则解先将展开 然后再利用积分公式及运算法则 3 1x 3 32 222 2 133131 dd3d 1 33ln 2 xxxx xxxx xxxx x xxC x 例例2 求积分求积分 23 d 5 xx x x 解解 2323 dd 555 1213 ln2ln5 5ln3ln5 5 xx xx x xx xx C 例例3 求积分求积分 2 2 1 d 1 xx x xx 解将积分拆成两项的和 可得解将积分拆成两项的和 可得 22 222 1 1 11 ddd 111 arctanln xxxx xxx xxxxxx xxC 例例4 求积分求积分 4 2 d 1 x x x 解分子部分减1加1项后解分子部分减1加1项后 分解被积表达式 得分解被积表达式 得 22 44 222 3 2 2 111 1 1 ddd 111 1 1darctan 13 xx xx xxx xxx x xxxxC x 例例5 求积分求积分 2 tand x x 解利用三角公式解利用三角公式 22 sectan1 xx 22 tandsec1 dtan x xxxxxC 例例6 求积分求积分 2 sind 2 x x 解利用半角公式解利用半角公式 2 1cos sin 22 xx 2 11 sind1cosdsin 222 x xxxxxC 例例7 求积分求积分 22 1 d sincos 22 x xx 解由三角公式则解由三角公式则cos22sin cos xxx 2 22 2 14 dd sin sincos 22 4 cscd4cot xx xx x x xxC 例例8 求积分求积分 22 cos2 d cossin x x xx 解由倍角公式则解由倍角公式则 22 cos2cossin xxx 22 2222 22 cos2cossin dd cossincossin cscsecd xxx xx xxxx xxx 二 换元积分法二 换元积分法 在这一目中 我们将主要考虑复合函数的积分问题 我们知道故 在这一目中 我们将主要考虑复合函数的积分问题 我们知道故 2 2 1 ln1 1 xx x 2 2 1 dln1 1 xxxC x 那么 一般地或那么 一般地或 d fxxx dfxx 又如何解决 解决这个问题的主要方法是又如何解决 解决这个问题的主要方法是 中间变量中间变量 代换 代换 1 第一类换元法第一类换元法 基本思想 若有原函数 则基本思想 若有原函数 则 f x F x dd ux ux fxxxf uu F uCFxC 定理定理1 设函数有原函数 且可导 则有换元公式 设函数有原函数 且可导 则有换元公式 f x F x ux dd ux fxxxf uu 例例1 求积分求积分 1 d0 x a axb 解解 111 dd 111 dln xaxbx axba axb axbaxbC aaxba 一般地一般地 当被积函数形式为时当被积函数形式为时 总可作变 换 总可作变 换 即若有原函数 则即若有原函数 则 f axb uaxb f x F x 1 d f axbxF axbC a 类似地有类似地有 ee de xxx fxFC sincos dsin fxx xFxC 22 2 d f xx xF xC 例例2 求积分求积分 1 d ln lnln x xxx 111 ddlndlnln ln lnlnln lnlnlnln lnlnln xxx xxxxxx xC 解因得解因得 1 ln x x 例例3 求积分 求积分 tan d x x cot d x x 解解 sin1 tan dddcosln cos coscos x x xxxxC xx 同理可得 同理可得cot dln sin x xxC 例例4 求积分 求积分 22 1 d0 x a ax 22 1 d0 x a ax 解 解 22222 11111 ddd 11 1 arctan x xx axaaa xx aa x C aa 同理可得 同理可得 22 1 darcsin x xC a ax 例例5 求积分求积分 22 1 d0 x a xa 解 因 故解 因 故 22 1111 2xaaxaxa 22 1111 dd 2 111 dd 2 11 lnlnln 22 xx xaaxaxa xaxa axaxa xa xaxaC aaxa 值得注意的是 上面的例值得注意的是 上面的例3 例 例4 例 例5均可以作为基均可以作为基 本的积分公式 本的积分公式 例例6 求积分求积分 arctan d 1 x x xx 解注意到则有解注意到则有 1 dd 2 xx x 2 2 arctan2arctan dd 1 1 2arctandarctanarctan xx xx xx x xxxC 注意在三角函数的积分中 利用三角恒等式对三角函注意在三角函数的积分中 利用三角恒等式对三角函 数做某些变换是积分中经常使用的方法 常用的三角公数做某些变换是积分中经常使用的方法 常用的三角公 式是 式是 2222 22 sincos1 1tansec 11 cos1cos2 sin1cos2 22 sin22sin cos 1 coscoscoscos 2 xxxx xxxx xxx 例例7 3 sind x x 25 sincosd xx x 4 cosd x x 6 secd x x 解 解 32 3 sind1cosdcos 1 coscos 3 x xxx xxC 2 2522 246 357 sincosdsin1sindsin sin2sinsindsin 121 sinsinsin 357 xx xxxx xxxx xxxC 2 4 1cos2 cosdd 2 11cos4 12cos2d 42 x x xx x xx 1 34cos2cos4d 8 11 2sin2sin4 84 xxx xxxC 2 62 24 35 secd1tandtan 12tantandtan 21 tantantan 35 x xxx xxx xxxC 例例8 求积分 求积分 csc d x x sec d x x 解 解 2 sec 111 2 csc dddd sin2 2sin costan 222 1 dtanln tan 22 tan 2 x x xxxx xxx x xx C x 又 又 2 sin2sin 1cos 22 tancsccot 2sinsin cos 2 xx xx xx x xx csc dln csccot x xxxC 即即 d 12 sec dd cos sin 2 ln csccot 22 ln sectan x x xx x x xxC xxC 注此题中的两个也可作为两个基本的积分公式 注此题中的两个也可作为两个基本的积分公式 例例9 求积分求积分cos3 cos2 d xx x 1 cos3 cos2 dcoscos5d 2 11 sinsin5 25 xx xxxx xxC 解解 例例10 求积分 求积分 2 4 1 d 1 x x x 4 1 d 1 x x 解 分子分母同除以 并注意到解 分子分母同除以 并注意到 2 x 2 11 d1d xx xx 2 2 24 2 2 1 1 d 1 1 dd 1 1 1 2 x xx x xx x x x x x 则有则有 1 1 arctan 22 x x C 222 444 2 22 4 22 22 11 111 1 ddd 12121 11 11 1111 ddd 11 2122 xxx xxx xxx x xx xxx x xx xx 22 11 dd 11 dd 22 11 22 11 2 11 arctanln 1 2 224 2 2 xx xx xx xx xx xx xx C x x 例例11 求积分求积分 1sin e d 1cos x x x x 解由三角公式解由三角公式 2 sin2sincos 1cos2cos 222 xxx xx 得积分 得积分 2 2 12sincos 1sin 22 e de d 1cos 2cos 2 1 sectane dtanetaned 22222 xx xxx xx x xx x x xxxx xx tanedtane 22 xx xx xC 请读者自己完成请读者自己完成 sin d 1cos xx x x 2 第二类换元法第二类换元法 定理设是单调的 可导函数 且 又有原函数 则有换元公式 定理设是单调的 可导函数 且 又有原函数 则有换元公式 xt 0 t ftt 1 dd tx f xxfttt 证设的原函数为证设的原函数为 记记 ftt t 1 xF x 由由 dd1 d d t F xfttftf x txt 知是的原函数 所以有知是的原函数 所以有 F xf x 1 1 d d tx f xxF xCxC fttt 一般 当被积函数中含有等因子时 可通过适当的三角代换来求出相应的积分 常用代换有 作代换 作代换 作代换某些情况下 倒数代换也是 经常考虑的方法 一般 当被积函数中含有等因子时 可通过适当的三角代换来求出相应的积分 常用代换有 作代换 作代换 作代换某些情况下 倒数代换也是 经常考虑的方法 2222 xaax 22 xa tanxt 22 ax sinxt 22 xa sec xt 例例12 求积分求积分 22 d0 axx a 解令 则解令 则sin 2 2 xat t 2222 22 dcoscos dcos d 1 1cos2 dsin2 222 axxat at tat t aa ttttC x t a 22 ax 由故由故 22 sin cos xax xt aa 原积分为原积分为 2 2222 1 darcsin 22 ax axxx axC a 例例13 求积分求积分 22 d 0 x a xa 解令则解令则tan 2 2 xat t 2 22 dsec d sec dln sectan sec xat t t tttC at xa x t a 22 ax 由知故由知故 22 tan sec xax tt aa 22 22 22 d lnln xxax CxxaC aa xa 同理可证同理可证 22 22 22 d lnln xxax CxxaC aa xa 注本题中的两个积分结果也常用的积分基本公式 注本题中的两个积分结果也常用的积分基本公式 例例14 求积分其中为非零常数 求积分其中为非零常数 d n x axbx a b 解令则解令则 1 x t 21 2 11 1 1 1 d 1d d 11 1 111 lnln 11 nn nn n n n t tt t t abtnabt ab tt abtCabC bnbnx 本节又建立了如下的一些积分公式 本节又建立了如下的一些积分公式 tan dln cos x xxC cot dln sin x xxC sec dln sectan x xxxC csc dln csccot x xxxC 22 11 darctan x xC axaa 2121 22 1 darcsin x xC a ax 2222 22 11 dln 2 xa xC xaaxa 23 22 22 d ln x xxaC xa 利用上述积分公式 我们可以计算下面积分 利用上述积分公式 我们可以计算下面积分 例例15 求积分 求积分 2 d 24 x xx 2 d 49 x x 2 d 1 x xx d0 2 x xx a ax 解解 22 2 dd11 arctan 2433 13 xxx C xx x 2 22 2 d1d 2 1 ln 249 22 49 23 xx xxC x x 22 2 1 d d2 1 51 22 1 21 2 arcsinarcsin 55 2 x x xx x x x CC 令则 令则 2 2 sin 0 2 xat t 2 2 2 2 242 22 2 2 2 2 sin d2 sin4 sin cos d 222 sin 1 cos2 8sin d 8d 2 34cos2cos4 d3arcsin 2 21 222 4 xat xxatatt t axaat t at t at x attta a axa axaxxaxC aa 2 3 3arcsin2 22 xax axaxC a 三 分部积分法三 分部积分法 设函数具有连续的导函数 则由 乘积的导数公式 有 设函数具有连续的导函数 则由 乘积的导数公式 有 uu x vv x uvu vuv 移项后 两边积分得 移项后 两边积分得 ddd uvxuvxu v x 公式 称为分部积分公式 公式 称为分部积分公式 注注1 分部积分法的关键是如何选择好使得 比容易求得 分部积分法的关键是如何选择好使得 比容易求得 u vvdu udv 2一般地 可按反一般地 可按反 三角函数三角函数 对 对 数函数数函数 三 三 角函 数 角函 数 指 指 数函数数函数 的顺序来选择的顺序来选择 u 例例1 求积分求积分cos d xx x 解取则解取则 dcos d uxvx x cos ddsinsinsin d sincos xx xxxxxx x xxxC 例例2 求积分求积分 2e d x xx 2222 2 22 e ddeee2 de2de e2ee de2 e2e xxxxx xxxxxx xxxxx xxx xxxxxC 解解 注一般还可用下面方法求其中注一般还可用下面方法求其中 为多项式为多项式 形式的不定积分 形式的不定积分 ed x n Pxx n P x 设其中为待定 系数的与同次多项式 在 设其中为待定 系数的与同次多项式 在 e de xx nn P xxQxC n Q x n P x e de xx nn P xxQxC 两边求导 得 即 两边求导 得 即 eee xxx nnn P xQxQx nnn P xQxQx 比较系数即得比较系数即得