广东省深圳市高三数学上学期第一次五校联考试题 文（含解析）新人教A版(1).doc

深圳市五校2015届高三年级第一次联考文科数学试卷本试卷共4页，21小题，满分150分考试用时120分钟 【试卷综析】试题比较平稳，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。试卷的整体水准应该说可以看出编写者花费了一定的心血。但是综合知识、创新题目的题考的有点少,试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【题文】1已知集合，集合，则a b c d【知识点】集合运算. a1【答案解析】b 解析：集合b用列举法表示为：，所以故选b.【思路点拨】先把集合b用列举法表示，再根据交集定义求.【题文】2设复数，若，则a b c d【知识点】复数运算. l4【答案解析】a 解析：因为，所以，所以x=-2，故选a.【思路点拨】利用复数乘法求得，由复数是实数则复数的虚部为0得结论.【题文】3已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是abcd【知识点】空间中线面平行、垂直的判定与性质. g4 g5【答案解析】d 解析：对于选项a: m,n平行、相交、异面都有可能；对于选项b: 可能平行、可能相交；对于选项c：可能平行、可能相交；所以选项a、b、c都不正确，故选d.【思路点拨】依次分析各选项得选项a、b、c都不正确，故选d.【题文】4已知向量，且，则的值为abc5d13【知识点】向量共线的意义；向量模的计算. f1 f2【答案解析】b 解析：由，且得12=-3x，即x=-4,所以，故选b.【思路点拨】由向量共线得x=-4，从而得.【题文】5等差数列的前项和为，已知，则a b c d【知识点】等差数列. d2【答案解析】c 解析：由得，所以，又所以，从而d=2，所以，故选c.【思路点拨】根据等差数列的前n项和公式，求得，再由求得d=2，所以.【题文】6执行如右图所示的程序框图，则输出的=a b c d【知识点】算法与程序框图. l1【答案解析】d 解析：由程序框图得循环过程中y的取值依次是这是一个以3为周期的周期数列，而2014除以3余1，所以输出的y值是此数列的第一个数2，故选d.【思路点拨】由程序框图得y取值规律: 以3为周期的周期数列,由此得输出的y值.【题文】7将函数的图像向右平移个单位后所得的图像的一个对称轴是 a b c d【知识点】函数的图像与性质. c4【答案解析】a 解析：将函数的图像向右平移个单位后所得：，而对称轴是使函数取得最值的x值，经检验成立，故选a.【思路点拨】函数的图像向右平移个单位后为，再根据对称轴是使函数取得最值的x值得结论.【题文】8函数在区间0，4上的零点个数是a4 b5c6d 7【知识点】函数的零点. b9【答案解析】c 解析：由得x-1=0或，又所以，所以x=1或，所以函数在区间0，4上的零点个数是6，故选c.【思路点拨】根据函数零点的意义:函数的零点就是函数值为0的方程的根，因此只需求方程解的个数即可.【题文】9已知直线，若曲线上存在两点p、q关于直线对称，则的值为a bcd【知识点】直线与圆的位置关系. h4【答案解析】d 解析：因为曲线是圆，若圆上存在两点p、q关于直线对称，则直线，过圆心（-1,3），所以，解得，故选d.【思路点拨】将已知曲线方程配方得其为圆，若圆上存在两点p、q关于直线对称，则直线过圆心，由此得关于m的方程，从而求得m值.【题文】10已知函数是定义在r上的奇函数，当时，有成立，则不等式的解集是a b c d【知识点】函数的奇偶性；导数的应用. b4 b12【答案解析】a 解析：构造函数，则，所以是上过点（1,0）的增函数.所以当时，从而得；当时，从而得.由于函数是定义在r上的奇函数，所以不等式的解集,故选a. 【思路点拨】构造函数，确定函数是上过点（1,0）的增函数，由此得在（0,1）上，在上，由函数是定义在r上的奇函数，得不等式的解集.二、填空题：本大题共5题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分（一）必做题（1113题）【题文】11. 函数的定义域为. 【知识点】函数的定义域. b1 【答案解析】 解析：自变量x满足的条件为所以函数的定义域为.【思路点拨】根据函数有意义的条件列出关于x的不等式组求解.【题文】12.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .【知识点】几何体的三视图. g2【答案解析】 解析：由三视图可知此几何体是底面半径为2，高为3的半圆柱，所以其体积为.【思路点拨】由几何体的三视图得该几何体的形状，从而求该几何体的体积.【题文】13.设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为_.【知识点】双曲线与抛物线的几何性质. h6 h7 【答案解析】 解析：根据题意知：双曲线的离心率，一焦点,所以，从而，又焦点在y轴上，所以，此双曲线的方程为.【思路点拨】先根据已知条件求得双曲线的字母参数a,b,c的值，再由焦点位置求得双曲线方程.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）【题文】14. （几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，切点为，点在圆上，则圆的面积为_【知识点】几何证明. n1【答案解析】 解析：连接oc，因为cd是圆o的切线，c为切点，所以,因为，所以,作于h，则h为bc中点，因为bc=，所以所以半径oc=，所以圆的面积为.【思路点拨】利用圆的切线的性质及垂径定理，求得圆的半径，从而求出圆面积.【题文】15. （正四棱锥与球体积选做题）棱长为1的正方体的外接球的体积为_【知识点】多面体与球. g8【答案解析】 解析：因为正方体外接球的直径是正方体的对角线，而正方体的棱长为1，所以球的直径，棱长为1的正方体的外接球的体积为：.【思路点拨】由正方体外接球的直径等于正方体的对角线，求得正方体的外接球的直径，进而求得球的体积.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤【题文】16（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的最小正周期和值域；（2）若，求的值【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数；三角函数的性质；三角函数的求值. c6 c5 c3 c7【答案解析】(1) 的最小正周期为，值域为;(2) . 解析：（1）由已知，得 -4分-所以的最小正周期为，值域为. 6分（2）由（1）知，所以. 8分所以，12分或由得：8分两边平方得：，所以.12分【思路点拨】(1)利用二倍角公式、两角和与差的三角函数公式化简已知函数得：，由此求函数的最小正周期和值域；（2）由（1）及得，所以.【题文】17（本小题满分13分）某中学高三年级从甲（文）、乙（理）两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生数学选拔考试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲组学生的平均分是85，乙组学生成绩的中位数是83（1）求和的值；（2）计算甲组7位学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲组至少有一名学生的概率【知识点】用样本估计总体（茎叶图）；概率. i2 k2【答案解析】（1）x=5,y=3;（2）. 解析：（1）甲组学生的平均分是85，. .1分 乙组学生成绩的中位数是83， .2分（2）甲组7位学生成绩的方差为： 5分（3）甲组成绩在90分以上的学生有两名，分别记为，乙组成绩在90分以上的学生有三名，分别记为. 6分从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：.9分其中甲组至少有一名学生共有7种情况：.11分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生”为事件，则.12分答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲组至少有一名学生的概率为.【思路点拨】（1）根据平均数、中位数的意义x、y的值；（2）90分以上的学生共5名，其中有2名甲组学生，3名乙组学生，从这5名学生中随机取出2名学生的情况有10种，可用列举法一一写出来，其中甲组至少有一名学生共有7种情况，所以从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，其中甲组至少有一名学生的概率是.【题文】18（本小题满分13分）如图甲，在平面四边形abcd中，已知，现将四边形abcd沿bd折起，使平面abd平面bdc（如图乙），设点e、f分别为棱ac、ad的中点（1）求证：dc平面abc；（2）设，求三棱锥abfe的体积【知识点】空间位置关系的判定与性质；几何体体积的计算. g1 g4 g5【答案解析】(1)略；（2） 解析：（1）证明：在图甲中，且 ,即1分又在图乙中，平面abd平面bdc ，且平面abd平面bdcbdab底面bdc，abcd3分，dcbc4分又由5分dc平面abc6分（2）点e、f分别为ac、ad的中点ef/cd7分又由（1）知，dc平面abcef平面abc 8分于是ef即为三棱锥的高，9分在图甲中，, ,由得 ,11分12分13分（若有其他解法，可视情况酌情给分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面abc中找到两条相交直线都与直线dc垂直即可，显然平面abc中的两条相交直线是bc和ba；（2）点e、f分别为ac、ad的中点，ef/cd，又由（1）知，dc平面abc，ef平abc ，=.【题文】19（本小题满分14分）各项均不相等的等差数列的前四项的和为，且成等比数列（1）求数列的通项公式与前n项和；（2）记为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的最小值【知识点】等差数列及其前n项和；数列求和；恒成立问题. d2 d4 【答案解析】(1) ，;(2) .解析：（1）设数列的公差为，由已知得2分解得或由数列的各项均不相等，所以3分所以，解得. 4分故，6分（2）因为8分所以10分因为对恒成立。即，对恒成立。等价于对恒成立。11分又，且在时取等号13分所以实数的最小值为. 14分【思路点拨】(1)由已知条件获得关于首项和公差的方程组，解方程组，求得首项和公差，从而求得数列的通项公式与前n项和；（2）由裂项求和法求得，因为对恒成立. 即，对恒成立.等价于对恒成立. 又，且在时取等号，所以实数的最小值为. 【题文】20（本小题满分14分）已知椭圆：（）的上顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为若有一个菱形的顶点、在椭圆上，该菱形对角线所在直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）当直线过点时，求直线的方程；（3）当时，求菱形面积的最大值.【知识点】椭圆及其几何性质；直线的方程；直线与圆锥曲线. h5 h1 h8【答案解析】(1) ; (2) ; (3) 解析：（1）依题意，1分解，得，2分所以，3分于是椭圆的方程为。4分（2）由已知得直线：，5分设直线：，、6分由方程组得，7分当时，ac的中点坐标为，8分因为是菱形，所以的中点在上，所以，解得，满足，9分所以的方程为。10分（3）因为四边形为菱形，且，所以，所以菱形的面积，11分由（2）可得13分又因为，所以当且仅当时，菱形的面积取得最大值，最大值为。14分【思路点拨】(1)根据题意得，解得a,b值，进而得到椭圆的方程；（2）利用直线方程的点斜式得直线bd方程y=-x+1. 设直线ac:y=x+b,代入椭圆方程，由韦达定理得用b表示的线段ac的中点坐标，此坐标满足直线bd方程，求得b，从而得到直线ac的方程.（3）在菱形abcd中，由知：，所以菱形abcd的面积可用对角线ac的长表示为，由弦长公式得关于b的表达式，即得到菱形abcd的面积s关于b的函数，求此函数最大值即可.【题文】21（本小题满分14分）已知函数，（1）若，判断函数是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围；（3）求函数的单调区间【知识点】导数的应用. b12【答案解析】 解析：（1）当时，其定义域为（0，+）.因为，1分所以在（0，+）上单调递增，2分所以函数不存在极值. 3分（2）由存在一个，使得成立，等价于，即成立4分令，等价于“当时，”.5分因为，且当时，所以在上单调递增，7分故，因此. 8分（3）函数的定义域为9分当时，因为在（0，+）上恒成立，所以在（0，+）上单调递减.10分当时，在上，方程与方程有相同的实根.时，d0，可得，且11分因为时，所以在上单调递增；因为时， ，所以在上单调递减；因为时，所以在上单调递增；12分当时，所以在（0，+）上恒成立，故在（0，+