同济大学的高等数学讲义 (4).pdf

第一单元导数第一单元导数 一 本单元的内容要点一 本单元的内容要点 1 理解导数是增量比值的极限及导数的几何意义 理解导数是增量比值的极限及导数的几何意义 2 掌握各类导数的求法 掌握各类导数的求法 二 本单元的教学要求二 本单元的教学要求 1 掌握导数的基本概念 所谓导数是增量比值的极限 掌握导数的基本概念 所谓导数是增量比值的极限 2 理解导数的几何意义是曲线切线的斜率 理解导数的几何意义是曲线切线的斜率 3 掌握对各类函数的求导方法 掌握对各类函数的求导方法 三 本单元教学的重点与难点三 本单元教学的重点与难点 重点 重点 1 导数的定义 利用定义求函数在某一点的导数 导数的定义 利用定义求函数在某一点的导数 2 各类函数的导数 各类函数的导数 3 复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 难点 难点 复合函数的求导 高阶导数 复合函数的求导 高阶导数 本单元教学时数 本单元教学时数 6课时 课时 一 导数概念一 导数概念 引例引例1 速度问题速度问题 在第一章中 我们看到 匀速直线运动中质点在某一在第一章中 我们看到 匀速直线运动中质点在某一 时刻的速度为平均速度的极限 即若位移函数为时刻的速度为平均速度的极限 即若位移函数为 0 0 s ts t tt 则质点在时刻则质点在时刻 t0 时的瞬时速度为时的瞬时速度为 0 0 0 0 lim tt s ts t v t tt 引例引例2 曲线的切线问题曲线的切线问题 x y o M N T y f x 设曲线设曲线C 方程 方程y f x 曲线上点 曲线上点M 在 在C上另取一点上另取一点 N 作割线 作割线MN 当 当MN沿曲线沿曲线C曲线趋向于点曲线趋向于点M时 如时 如 果割线果割线MN绕点绕点M旋转而趋向旋转而趋向 某一极限位置某一极限位置MT 则直线 则直线MT 称为曲线称为曲线C在点在点M处的切线 处的切线 设设M的坐标为的坐标为 x9 y0 N的坐的坐 标为标为 x y 则割线 则割线MN的斜率的斜率 00 00 MN yyf xf x k xxxx 当当x x0时 如果上式的极限存在 记其为时 如果上式的极限存在 记其为k 即 即 0 0 0 lim xx f xf x k xx 即 即 k为曲线为曲线C在点在点M处的切线斜率 处的切线斜率 在上面的两个例中 我们看到两个不同的问题 最终 均归结为一个极限 在上面的两个例中 我们看到两个不同的问题 最终 均归结为一个极限 0 0 0 lim xx f xf x xx 若记若记Dy f x f x0 Dx x x0 则上式为函数的增量与 则上式为函数的增量与 自变量的增量的比值的极限 即自变量的增量的比值的极限 即 00 0 0 limlim xxxx yf xf x xxx 1 函数在一点的导数与导函数函数在一点的导数与导函数 定义设函数定义设函数y f x 在点在点x0的某个领域内有定义 当自 变量在 的某个领域内有定义 当自 变量在x处取得增量处取得增量Dx 点点x0 Dx 时 相应地 函数时 相应地 函数y取 得增量 取 得增量Dy f x f x0 若 若Dy与与Dx之比当之比当Dx 0时的极 限存在 则称函数 时的极 限存在 则称函数y f x 在处可导 并称这个极限为函 数 在处可导 并称这个极限为函 数y f x 在点处的导数 记为 即在点处的导数 记为 即 0 fx 00 0 00 limlim xx yf xxf x f x xx 注注1 函数函数y f x 在点在点x0处的导数的记号 处的导数的记号 0 00 xx xxxx dydf x y dxdx 2 如果 式中的极限不存在 则称函数如果 式中的极限不存在 则称函数y f x 在点在点x0处不处不 可导 可导 3 若平面曲线若平面曲线C所对应的函数方程为所对应的函数方程为y f x 点点M0 x0 y0 在曲线在曲线C上 且函数上 且函数y f x 在在x0处可导 则曲线处可导 则曲线C在点在点M0 处的切线切线斜率为 切线方程为处的切线切线斜率为 切线方程为 0 kfx 000 yyfxxx 4 如果函数如果函数y f x 在区间在区间I内的每一点可导 则称函数内的每一点可导 则称函数 y f x 在区间在区间I内可导 区间内可导 区间I内的可导函数的全体所构内的可导函数的全体所构 成的集合记为成的集合记为D I 5 如果函数如果函数y f x 在区间在区间I内可导 即内可导 即y f x D I 由此定 义了区间 由此定 义了区间I上的一个新的函数 称其为函数上的一个新的函数 称其为函数y f x 在区间在区间 I内的导函数 仍记为 内的导函数 仍记为 y 2 求导举例求导举例 例例1 求函数求函数 f x C C为常数为常数 的导数 的导数 解解 00 0 limlim lim0 xx x yf xxf x fx xx CC x 例例2 求幂函数的导数 求幂函数的导数 f xx 解 当 为正整数时 由二项展开式 得解 当 为正整数时 由二项展开式 得 00 2 1122 1 0 limlim lim xx nn x f xxf xxxx fx xx C xxC xxx x x 当 为负正整数时 公式仍然成立 当 为负正整数时 公式仍然成立 当 为任意实数时 当 为任意实数时 00 0 limlim 11 lim xx x f xxf xxxx fx xx x x x x 注意到注意到Dx 0时 时 0 此时有 此时有 x x 11 xx xx 故 故 1 00 11 limlim xx x x x x fxxxx xx 例例3 求的导数 求的导数 cosx 2 cos cos2sinsin 22 xxx xxx 解解 0 0 cos cos lim 2 2sinsin 22 limsin x x xxx fx x xxx x x cossin xx 即即 例例4 求指数函数的导数 求指数函数的导数 0 1 x f xaaa 00 00 limlim 1ln limlimln xxx xx x xxx xx f xxf xaa fx xx axa aaaa xx ln xx aaa 解解 即即 特殊地 当特殊地 当a e时 有时 有 xx ee 例例5 求曲线求曲线y x2上的平行于上的平行于2x y 1 0的切线方程 的切线方程 解设切点为解设切点为 x0 y0 则斜率为又切线与 已知直线平行 得 则斜率为又切线与 已知直线平行 得k 1 即得 即得x0 1 y0 1 从而切线方 程为 从而切线方 程为 0 2 kyx 12 1 yx 210 xy 即即 3 单侧导数单侧导数 在第一目中 我们看到 函数在第一目中 我们看到 函数y f x 在处是否可导 依在处是否可导 依 赖于极限赖于极限 00 00 limlim xx yf xxf x xx 是否存在 而在上一章的极限存在性的讨论中 我们是否存在 而在上一章的极限存在性的讨论中 我们 知道极限存在的充分必要条件是左右极限存在并相等 知道极限存在的充分必要条件是左右极限存在并相等 由此得到左右导数的概念 由此得到左右导数的概念 设函数设函数y f x 在在x0的某个右领域的某个右领域 x0 x0 中有定义 且中有定义 且 极限极限 00 00 limlim xx yf xxf x xx 存在 则称这个极限为函数存在 则称这个极限为函数y f x 在在x0处的右导数 记 为 即 处的右导数 记 为 即 0 fx 00 0 00 limlim xx yf xxf x fx xx 类似可定义函数类似可定义函数y f x 在在x0处的左导数 处的左导数 0 fx 00 0 00 limlim xx yf xxf x fx xx 定理函数定理函数y f x 在在x0处可导 函数处可导 函数y f x 在在x0处的左右处的左右 导数存在并相等 导数存在并相等 例例6 求函数在求函数在x 0处的导数 处的导数 2 1 0 0 x ex f x xx 解注意到解注意到 f 0 0 2 00 0 0 1 0 limlim2 x xx fxfe f xx 00 0 0 0 limlim1 xx fxfx f xx 因 故不存在 因 故不存在 0 0 ff 0 f 3 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 性质若函数性质若函数y f x 在在x0处可导 则函数在处可导 则函数在x0处连续 处连续 证因函数证因函数y f x 在在x0处可导 故极限处可导 故极限 00 00 limlim xx yf xxf x xx 存在 由极限与无穷小的关系 得存在 由极限与无穷小的关系 得 0 y fx x 其中 为其中 为Dx 0时的无穷小 时的无穷小 即有即有 0 yfxxx 故 故 0 00 limlim 0 xx yfxxx 故故 f x 在在x0处连续 处连续 由上目的例由上目的例7 知函数连续 未必可导 知函数连续 未必可导 x y o y x y y x ox 二 求导法则二 求导法则 函数的和 积 商的求导法则 函数的和 积 商的求导法则 设函数设函数u u x v v x 在点在点x处可导 考虑这两个函数处可导 考虑这两个函数 的线性组合 积 商在点处的导数 的线性组合 积 商在点处的导数 1 设设f x u x v x 则 则 f x 可导 且有可导 且有 fxu xv x 2 设函数设函数f x u x v x 则 则f x 可导 且有可导 且有 fxu x v xu x v x 事实上 事实上 00 0 00 limlim lim lim lim xx x xx f xxf xu xx v xxu x v x f x xx u xx v xxu x v xxu x v xxu x v x x u xxu xv xxv x v xxu x xx u x v xu x v x 3 设 则设 则 f x 可导 且可导 且 0 u x f xv x v x 2 u x v xu x v x fx vx 2 2 2 coscossinsinsin coscos 1 sec cos xxxxx y xx x x 反函数的导数 反函数的导数 给给x以增量以增量Dx Dx 0 x Dx Ix 由的单调 性 知函数 设函数 由的单调 性 知函数 设函数x y 在区间在区间Iy内单调 连续 则其反函数 在对应的区间 内单调 连续 则其反函数 在对应的区间I x x y y Iy 内单调 连 续 若设在区间 内单调 连 续 若设在区间Iy内可导 且 今来讨论 内可导 且 今来讨论 y f x 的可导性 的可导性 0y yf x xy yf x 0 yf xxf x 故 故 1 y x x y 又由函数的连续性 当时必有从而有又由函数的连续性 当时必有从而有0 x 0 y 0 11 limlim xx y x xy y 由此说明了函数在处可导 且有由此说明了函数在处可导 且有 yf x x 1 fx y 简单地说 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数 简单地说 反函数的导数等于直接函数的导数的倒数 arcsinyx 例例1 求反正弦函数的导数 求反正弦函数的导数 解是的反函数 而在区间内单调 可导 并且 解是的反函数 而在区间内单调 可导 并且 arcsin11yxx sinxy sinxy 2 2 y I sincos0 yy arcsinyx 1 arcsin cos yx x 注意到在区间内 从而有注意到在区间内 从而有 2 2 y I 2 cos1 yx 所以 在区间所以 在区间 1 1 内点点可导 且有内点点可导 且有 2 1 arcsin 1 x x 例例2 求反正切函数的导数 求反正切函数的导数 arctanyx 解函数是在解函数是在 arctanyxx 所以在内每一点可导 且 有 所以在内每一点可导 且 有 arctan yx 2 arctan sec tan yx 11 y y 注意到 从而有注意到 从而有 222 sec1tan1 yyx 2 1 arctan 1 x x 同理可得其它几个反三角函数的导数公式 同理可得其它几个反三角函数的导数公式 2 2 11 arccos arccot 1 1 xx x x 例例3 求对数函数的导数 求对数函数的导数 log0 1 a yx aa 解是的反 函数 且直接函数在定义域内单调 可导 且 解是的反 函数 且直接函数在定义域内单调 可导 且 log0 a yxx y x ay ln0 xx aaa 注意到 从而有注意到 从而有 y ax 1 log ln a x xa 特别地 当时 有特别地 当时 有ae 1 ln x x 复合函数的求导法则 复合函数的求导法则 前面我们讨论了基本初等函数的导数 但实际上我们前面我们讨论了基本初等函数的导数 但实际上我们 所遇见函数的绝大部分是初等函数 因而掌握复合函数所遇见函数的绝大部分是初等函数 因而掌握复合函数 的求导法则实际上就是函数求导的一个最重要的环节 的求导法则实际上就是函数求导的一个最重要的环节 复合函数求导法则如果函数在点可导 而函数在处可导 则复合函数 在处可导 并且有关系 复合函数求导法则如果函数在点可导 而函数在处可导 则复合函数 在处可导 并且有关系 ux yf x 00 ux 0 x yfx 0 x 0 00 x x dy f ux dx 证设自变量在处有增量 则函数 有增量 证设自变量在处有增量 则函数 有增量 0 x 0 xx ux 00 uxxx 函数有增量函数有增量 yf x 00 yf uuf u 当时 有当时 有0u yyu xux 由函数的可导性 得函数在是连续的 因 此当时 有由此得 由函数的可导性 得函数在是连续的 因 此当时 有由此得 ux 0 x 0 x 0 u 0 00 limlim xu yy f u uu 又又 0 0 lim x u x x 由此得到 由此得到 0 00 00 limlim x x xx dyyyu f ux dxxux 注此定理的证明是在条件下取得的 而当增 量为零时 注此定理的证明是在条件下取得的 而当增 量为零时 这是可能出现的这是可能出现的 上式不成立 关于该公式 的进一步证明 有兴趣的读者可以查看有关资料 上式不成立 关于该公式 的进一步证明 有兴趣的读者可以查看有关资料 0u 此公式可以作进一步的推广 若此公式可以作进一步的推广 若 yf u uv vx 均为可导函数 则相应的复合函数 的导数为 均为可导函数 则相应的复合函数 的导数为 yfx dydy du dv dxdu dv dx 例例4 求函数的导数 求函数的导数 lncosyx 解可以看成由复合 而成 故此由复合函数的求导公式 得 解可以看成由复合 而成 故此由复合函数的求导公式 得 lncosyx ln cosyu ux 1 sintan dydy du xx dxdu dxu 例例5 求函数的导数 求函数的导数 arsinhyx 解由得解由得 2 arsinhln1 yxxx 2 2 222 12 1 1 21 1 111 x xx x y xxxxx 例例6 求函数的导数 求函数的导数 21 cos 2 x y 解解 22 11 coscos 2 2 111 2cosln2sin 22ln2 xx y xxx 高阶导数 高阶导数 若函数在区间若函数在区间I 中点点可导 即 则很自然地会考虑函数的可导性 若在处可导 则称在处的导数为在处的二阶导数 中点点可导 即 则很自然地会考虑函数的可导性 若在处可导 则称在处的导数为在处的二阶导数 yf x fD I f f 0 x fx 0 x f x 0 x 0 fx 0 0 22 22 xx xx d ydfx y dxdx 若在处都可导 则由极限若在处都可导 则由极限 xI fx x 0 lim x fxxfx xI x 确定了一个以确定