考研数学 线性代数讲义第4章向量组的线.pdf

水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 第 4 章 向量组的线性相关性 第 4 章 向量组的线性相关性 4 1 向量的线性组合与线性表示 4 1 向量的线性组合与线性表示 由 由n个实数组成的有序数组称 个实数组成的有序数组称 n aaa 21 L 为为n维向量 记作 维向量 记作 n a a a M 2 1 其中其中 i a称为向量称为向量 的第 个分量 这个向量是一 的第 个分量 这个向量是一 i 个列向量 行向量记作 个列向量 行向量记作 n T aaa 21 L 分量全为 的向量称为零向量 分量全为 的向量称为零向量 记作 记作 T0000 L 两个 两个n维向量维向量 T n aaa 21 L T n bbb 21 L 若它们的对应分量全相等 若它们的对应分量全相等 即即 ii ba 则称向量 则称向量ni 2 1L 和和 相等 相等 记作记作 设两个 设两个n维向量维向量 T n aaa 21 L T n bbb 21 L 定义 定义 1 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 T nn bababa 2211 L 称为向量称为向量 与与 的和 的和 设 设 T n aaa 21 L 称为向量称为向量 T n aaa 21 L 的负向量 的负向量 于是定义向量的减法 于是定义向量的减法 设 设 T n aaa 21 L k是实数 定义 是实数 定义 T n kakakak 21 L 称为数称为数k与向量与向量 的数量乘法 简称数乘 的数量乘法 简称数乘 对任意 对任意n维向量维向量 及任意实数及任意实数lk 向量的加法及数量乘法满足以下 个性质 向量的加法及数量乘法满足以下 个性质 0 0 1 kllk kkk lklk 2 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 设 设 s 21 L是维向量 是维向量 n s kkk 21 L是数 则 是数 则 ss kkk L 2211 称为向量称为向量 s 21 L的一个线性组合 的一个线性组合 若 若 ss kkk L 2211 称 称 可由可由 s 21 L线性表示或线性表出 线性表示或线性表出 例1 设 例1 设 T3 2 1 1 T4 1 0 2 T6 3 2 3 T5 1 1 试用 试用 321 线性表示线性表示 例 设 例 设 T2 0 4 1 1 T3 1 7 2 2 T2 1 1 0 3 T a4 10 3 a取何值时 取何值时 可由 可由 321 线性表示 写出表示式 线性表示 写出表示式 2 向量组的线性相关与线性无关 2 向量组的线性相关与线性无关 设 设 s 21 L是维向量 若存在不全为 是维向量 若存在不全为 n 零的数 使得 零的数 使得 s kkk 21 L 0 2211 ss kkk L 成立 则称向量组成立 则称向量组 s 21 L线性相关 否则 线性相关 否则 3 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 称为线性无关 称为线性无关 只有一个向量的向量组 只有一个向量的向量组 如果 如果0 则 则 向量组是线性相关的 如果向量组是线性相关的 如果0 则向量组是 则向量组是 线性无关的 线性无关的 一个不少于 个向量的向量组若线性相关 一个不少于 个向量的向量组若线性相关 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 则必定有一个向量可以由这个向量组中的其余 向量线性表示 反之 若一个向量组中 有一个 向量线性表示 反之 若一个向量组中 有一个 向量可以由其余向量线性表示 那么这个向量组 向量可以由其余向量线性表示 那么这个向量组 是线性相关的 是线性相关的 这个命题的等价命题就是 向量组线性无关 这个命题的等价命题就是 向量组线性无关 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 的充分必要条件是向量组中任意向量都不能由 其余向量线性表示 其余向量线性表示 按定义 向量组 按定义 向量组 s 21 L线性无关当且 线性无关当且 仅当向量方程 仅当向量方程 0 2211 ss kkk L 只有零解 只有零解 将向量 将向量 s 21 L按列排成一个矩阵 按列排成一个矩阵 记作 即 记作 即 AA s 21 L 则向量组 则向量组 s 21 L线性相关的充分必要条件是齐次 线性相关的充分必要条件是齐次 线性方程组 线性方程组 0 Ax 有非零解 有非零解 4 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 向量个数大于向量维数时向量组线性相关 向量个数大于向量维数时向量组线性相关 任何任何1 n个维向量线性相关 个维向量线性相关 n n个个n维向量维向量 n 21 L线性相关的充分 线性相关的充分 必要条件是由向量排成的行列式等于 即 必要条件是由向量排成的行列式等于 即 n 21 L 向量组的线性相关性的定理很多 其中最重 向量组的线性相关性的定理很多 其中最重 要的是这几个 要的是这几个 若 若 s 21 L线性无关 而 线性无关 而 21s L线性相关 则线性相关 则 可由 可由 s 21 L线性表出 且表示法惟一 线性表出 且表示法惟一 若 若 s 21 L可由可由 t 21 L线性 线性 表出 且表出 且ts 则 则 s 21 L线性相关 线性相关 若 若 s 21 L线性无关且可由 线性无关且可由 t 21 L线性表出 则线性表出 则ts 以下这些性质也是很有用的 以下这些性质也是很有用的 包含零向量的向量组必线性相关 包含零向量的向量组必线性相关 一个向量组中如果有部分向量线性相关 一个向量组中如果有部分向量线性相关 则整个向量组线性相关 则整个向量组线性相关 一个线性无关的向量组其中任何部分向 一个线性无关的向量组其中任何部分向 量组都线性无关 量组都线性无关 一个线性相关的向量组 如果每一个向 一个线性相关的向量组 如果每一个向 量都删去同一序号的分量 得到一个维数较低的 量都删去同一序号的分量 得到一个维数较低的 5 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 向量组 则新的向量组也线性相关 向量组 则新的向量组也线性相关 一个线性无关的向量组 如果每一个向 一个线性无关的向量组 如果每一个向 量在同一位置增加分量 得到维数更高的向量组 量在同一位置增加分量 得到维数更高的向量组 则新向量组也线性无关 则新向量组也线性无关 例 向量组例 向量组 s 21 L线性无关的充分条件是 线性无关的充分条件是 A s 21 L都不是零向量 都不是零向量 B s 21 L除去向量组本身的任意部分 除去向量组本身的任意部分 向量组都线性无关 向量组都线性无关 C向量组向量组 s 21 L的秩等于 的秩等于 s D s 21 L中任意两个向量都线性无关 中任意两个向量都线性无关 例 设 例 设 11 1 T t 11 2 T t Tt11 3 问问t为何值时为何值时 321 线性相关 线性相关 例5 设例5 设 21 是维向量 令是维向量 令n 211 2 212 213 25 则 则 321 A必线性无关 必线性无关 321 B必线性相关 必线性相关 C仅当仅当 21 线性无关时 线性无关时 321 线性 线性 无关 无关 D仅当仅当 21 线性相关时 线性相关时 321 线性 线性 相关 相关 6 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例 已知例 已知 321 线性无关 试判断 线性无关 试判断 133221 54 23 是否线性无关 是否线性无关 例 已知向量组例 已知向量组 321 线性相关 线性相关 432 线性无关 问 线性无关 问 1 能否由能否由 32 线性表示 证明你的结论 线性表示 证明你的结论 4 能否由能否由 321 线性表示 证明你的 线性表示 证明你的 结论 结论 例 设线例 设线 性无关 又设性无关 又设0 线性相关 线性相关 也线性相关 证明也线性相关 证明 k 其中常数 其中常数 0 k 例 已知例 已知 4 R中 中 321 线性无关 线性无关 321 线性无关 线性无关 若不能由 若不能由 4 R 321 线性表出 则 线性表出 则 321 线性无关 线性无关 证明 证明 4 R 使得使得 321 与 与 321 均线性无关 均线性无关 例 设是矩阵 是例 设是矩阵 是Amn Bnm 矩阵 矩阵 满足满足EAB 试证明的列向量线性无关 试证明的列向量线性无关 B 例 设例 设BA 为满足为满足0 AB的任意两个非零 的任意两个非零 矩阵 则必有 矩阵 则必有 A 的列向量组线性相关 的行向量组线 A 的列向量组线性相关 的行向量组线 AB 性相关 性相关 7 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 B 的列向量组线性相关 的列向量组线 B 的列向量组线性相关 的列向量组线 AB 性相关 性相关 C 的行向量组线性相关 的行向量组线 C 的行向量组线性相关 的行向量组线 AB 性相关 性相关 D 的行向量组线性相关 的列向量组线 D 的行向量组线性相关 的列向量组线 AB 性相关 性相关 例 设是例 设是n阶方阵 阶方阵 A 是维列向量 是维列向量 n 若若0 1 n A 而 而0 n A 试证明 试证明 1 n AAL线性无关 线性无关 4 3 极大线性无关组 4 3 极大线性无关组 设有两个向量组 设有两个向量组 s 21 L t 21 L 如果向量组 中每个 如果向量组 中每个 向量都能由向量组 线性表出 则称向量组 向量都能由向量组 线性表出 则称向量组 能由向量组 线性表出 能由向量组 线性表出 如果向量组 能由向量组 线性表 如果向量组 能由向量组 线性表 出 且向量组 也能由向量组 线性表 出 且向量组 也能由向量组 线性表 出 则称这两个向量组等价 记作 出 则称这两个向量组等价 记作 向量组的等价是向量组之间的一种等价关系 向量组的等价是向量组之间的一种等价关系 具有以下性质 具有以下性质 反身性 反身性 对称性 若 对称性 若 8 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 则 则 传递性 若 传递性 若 则 则 设向量组 设向量组 r iii 21 L是向量组 是向量组 s 21 L的一个部分组 满足 的一个部分组 满足 r iii 21 L线性无关 线性无关 向量组 向量组 s 21 L的每一个向量都可以 的每一个向量都可以 由向量组由向量组 r iii 21 L线性表出 则称部分组 线性表出 则称部分组 r iii 21 L是向量组是向量组 s 21 L的一个 的一个 极大线性无关组 极大线性无关组 显然 向量组的一个极大线性无关组与向量 显然 向量组的一个极大线性无关组与向量 组本身是等价的 组本身是等价的 一般地 向量组的极大线性无关组不是惟一 一般地 向量组的极大线性无关组不是惟一 的 按照定义 一个向量组的任意两个极大线性 的 按照定义 一个向量组的任意两个极大线性 无关组可以互相线性表出 因此 它们是等价的 无关组可以互相线性表出 因此 它们是等价的 根据定理 两个等价的线性无关的向量组各 根据定理 两个等价的线性无关的向量组各 自所含的向量的个数必定相等 这就是说一个向 自所含的向量的个数必定相等 这就是说一个向 量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不 量组的极大线性无关组中所含向量的个数是个不 变量 它由向量组本身所确定 变量 它由向量组本身所确定 满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形 满足以下条件的矩阵称为简化行阶梯形 Reduced Row Echelon Form RREF Reduced Row Echelon Form RREF 所有零行都在矩阵的底部 所有零行都在矩阵的底部 9 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 非零行的主元在前一行主元的右方 非零行的主元在前一行主元的右方 主元为 1 主元为 1 主元所在列除主元外的其它元素全为零 主元所在列除主元外的其它元素全为零 例如 例如 00000 00000 22100 11021 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化 任何矩阵都可以通过矩阵的行初等变换化 作简化的行阶梯形 作简化的行阶梯形 利用简化行阶梯形可以解决的问题有 利用简化行阶梯形可以解决的问题有 求极大线性无关组 求极大线性无关组 求向量间的线性关系 求向量间的线性关系 求齐次线性方程组基础解系 求齐次线性方程组基础解系 求非齐次线性方程组特解 求非齐次线性方程组特解 求极大线性无关组的步骤 求极大线性无关组的步骤 将向量依次按列写成矩阵 将向量依次按列写成矩阵 对矩阵施行行初等变换 化作简化行阶 对矩阵施行行初等变换 化作简化行阶 梯形 梯形 主元所在列向量构成一个极大线性无关 主元所在列向量构成一个极大线性无关 组 组 非主元所在列向量和主元所在列向量的 非主元所在列向量和主元所在列向量的 关系由非主元列各分量表示 关系由非主元列各分量表示 10 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 例如简化行阶梯形为 例如简化行阶梯形为 00000 21000 10210 20101 其中主元所在列是第 列 第 列 第 列 因 其中主元所在列是第 列 第 列 第 列 因 此一个极大线性无关组是此一个极大线性无关组是 421 第 列无 第 列无 主元 主元 3 0 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 0 1 1 21 2 同理 同理 5 0 2 1 2 0 1 0 0 2 0 0 1 0 0 0 0 1 2 321 22 例 1 求向量组例 1 求向量组 T0 0 1 1 1 T1 1 1 0 2 11 水木艾迪 www etsinghua org 电话 010 62701055 82378805 地址 清华同方科技广场 B 座 503 室 12 T1 1 2 1 3 T1 2 3 1 4 1 4 6 2 5 的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组 并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出 并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出 例 1 例 1 s 21 可被可被 t 21 线性 线性 表出 且秩相等 证明 表出 且秩相等 证明 t 21 也可被 也可被 s 21 线性表出 线性表出 4 4 向量组的秩 4 4 向量组的秩 向量组的极大线性无关组中所含向量的个 向量组的极大线性无关组中所含向量的个 数称为这个向量组的秩 数称为这个向量组的秩 只含零向量的向量组的秩规定为 只含零向量的向量组的秩规定为 向量组的秩有两个重要性质 向量组的秩有两个重要性质 设向量组 I 的秩为 向量组 II 设向量组 I 的秩为 向量组 II 1 r 的秩为 若向量组 I 可以由向量组 II 的秩为 若向量组 I 可以由向量组 II 2 r 线性表示 则 线性表示 则 21 rr 等价的向量组有相同的秩 等价的向量组有相同的秩 设 设A是矩阵 将矩阵的每个行 列 看作 行 列 向量 矩阵的个行 列 向量构成一个向 量组 该向量组的秩称为矩阵的行 列 秩 是矩阵 将矩阵的每个行 列 看作 行 列 向量 矩阵的个行 列 向量构成一个向 量组 该