数学与人类文明期末论文.docx

数学，在危机中成长！姓名：余朝宇 班级：混合班1005 学号：3100000185 联系电话要：本文将以第二次数学危机为讨论对象，通过对它的爆发至解决的过程的分析，对数学危机提出自己的看法。从几个角度讨论数学危机对数学理论发展的必要性，并分析其对人类文明发展的重大意义。并通过危机的爆发，探究理论数学与应用数学的平衡性。总结危机爆发过程各种现象给我们带来的启示。关键词： 第二次数学危机 分析学严密性 微积分 无穷小 理论/应用数学 一、 第二次数学危机的爆发十七世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨等人创立了微积分学。人们发现这是一个强有力的工具，我们可以用它来解决众多诸如求解曲线长度，瞬时速度之类的问题。于是各路科学家们开始大量使用微积分来解决问题，但是人们发现微积分的基础并不严密，很多问题是模糊的，并不能给出确切的严密的证明。它只是强调形式计算，尽管它的基础的严密性还有待考究。比如对无穷小和无穷大的概念就及其模糊，而求导的时候也未判断函数时候连续。这些问题逐渐积累，微积分学这一成套的、被广泛运用的理论便因此遭受到了普遍的质疑，这就引发了第二次数学危机。第二次数学危机在科学界哲学界影响巨大，从爆发到解决持续了很长一段时间牵扯到众多基本理论的证明与建立。是数学史上不得不提的一件大事！二、 哲学数学的良师益友哲学具有指导科学发展方向的作用，这在本次数学危机中显露无疑。当数学家们沉浸与微积分理论得以完善的喜悦之中的时候，当数学家们大量应用微积分理论来解决各类问题时，哲学家给他们敲响了警钟，把迷糊的他们惊醒。著名哲学家、宗教学家贝克莱曾经在1734年出版过一本书，专门讽刺了分析数学家对于无穷小量“招之即来，挥之即去”的做法，他认为分析数学家时而可以把无穷小量当成是0，时而又不当其是0的做法已经是违背了哲学中的同一律的，他把无穷小量讽刺成“已死量的幽灵”。另外一位荷兰哲学家尼文太也曾经对微积分学做出强烈抨击。微积分基础严密性的问题就这样公开暴露出来了，本来数学家们不愿意提及的这些含糊的问题在哲学家们的猛烈抨击下，成了大家关注的焦点。危机彻底爆发，数学家们瞬间意识到，如果想要更好的发展微积分学，必须先把它的基础问题搞清楚。于是各路数学家们开始提出各类方案，着手解决这场数学的危机。所谓患难见真情，危机中哲学和数学这一对良师益友又再次紧紧相连在一起。哲学一直以一种冷静的方式在旁边审视着数学的发展，当数学正向歪路走去时，哲学家们就以一种激烈的方式给数学敲响警钟。有些人认为哲学是无病呻吟，有些人则认为哲学只说空话大话，实际上这些见解都是片面的。哲学家们总是以一种批判的态度来看待数学中的新生事物并不是为了看数学家们在危急中忙得团团转的笑话，而是希望数学家们能够弄清、解释清自己现在做的是什么，因为每当科学认为找到了分析世界、解决问题的方法的时候他们总是过于兴奋以至于不顾这些理论时候本身就是有矛盾的，如果这些将得到广泛应用的理论在基础阶段就是有问题的话，那么等日后它在广泛运用与现实生活中去的时候问题再爆发出来就为时已晚了。著名数学史专家克莱因（Kline）认为数学家经常会有一些“家丑”，而哲学家这需要大胆批判这些“家丑”，使得它们以危机的形式爆发出来，到达非解决不可的地步，这样在哲学与数学的争论之中，我们的数学才会发展得更加完善。所以无论是哲学还是数学，它们都是为了人类社会的文明与发展在做不懈努力的学科，它们应该在任何时候都是互相促进，共同发展的学科。它们是一对良师益友，而不是互相攻击的敌人！三、 危机的必要性能够称得上危机，说明这个问题并不小。只有在最基础的问题上出了矛盾，才有可能爆发危机，动摇整个表面上严密的数学大厦。第二次数学危机就牵扯到了实数基本理论、符号使用的规范性、函数的连续性等基本问题。倘若危机不爆发出来，数学家们任由这些漏洞自生自灭不去管它的话，那么就不会有后面的这些严密而基础的理论出来，数学的发展将是一片混沌，停滞不前。而且数学大危机的爆发，让这些严重而基础的问题公诸于世，各路数学家们都不再犹豫等待，大量的数学家们开始投身于解决危机的工作之中。危机的爆发也吸引了官方和平民百姓对于数学的关注与兴趣，比如1786年柏林科学院数学分部就无穷小的问题进行悬赏，号召广大数学家以及数学爱好者参与到这次危机的解决队伍来中来。因此危机的爆发，把数学界的眼光聚集到了一起，大家开始齐心协力，问题终究会被解决的。哲学理论告诉我们矛盾是无处不在的，数学这门严谨的学科同样存在着许多矛盾，如果这些矛盾不爆发出来而是一直在数学理论里悄悄潜伏，那么这将是数学学科心腹中永远的毒瘤。所以，我说当数学的发展速度缓慢停滞不前，或者研究数学的潮流开始走向弯路的时候，危机是必要的！在第二次数学危机爆发之后，波尔查诺、阿贝尔和柯西等数学家开始着手完善数学分析的严密性，后来魏尔斯特拉斯在前人的努力之后继续深入研究，并得到了我们今天十分熟悉的定义。再加上后来的戴德金等人的不懈努力，为建立实数理论打下了坚实的基础。还有黎曼、达布，在这些伟大的数学家的努力下，微积分的严密化的任务终于得以完成，第二次数学危机也就此得以化解！纵观整个危机化解的过程，我们看到数学家们得到的数学成果已经远远超出了仅仅解决微积分严密性这个课题本身了。解决危机的过程中，我们还得到了诸如实数理论这种十分重要而又基础的理论，这些对数学的发展都是及其重要的。所以危机对于数学的发展的必要性可见一斑。值得一提的是，当微积分的严密性得以完善的时候，法国著名数学家庞加莱就大胆宣布：数学的严密性已经达到！然而，就在此时过去不到两年，英国数学家、逻辑学家罗素就提出了震惊数学界的“罗素悖论”，他认为：集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！第三次数学危机又爆发了！新的数学体系又将被建立，可见但数学家认为理论已经严密的时候，数学危机又起到了提醒数学家的作用，告诉数学家们数学离完善还距离很远，大家还需努力。然后在新的危机的解决过程中，数学继续飞速成长、完善。四、 从危机的角度看理论数学与应用数学前面我们已经说明了数学危机对于理论数学发展的必要性了。或许会有人认为，数学危机的爆发是理论数学家的悲哀。其实不然，理论一定是处于一个不断发展完善的过程，不管你有再大的本事再严密的思想，对于数学这个庞大的体系都不可能做到一步到位。我们不能因为先前理论存在漏洞而否定它，数学是一栋逐渐积累的大厦。所以对于之前的理论数学家，危机的爆发完全不能否定他们伟大的成就。而对于之后的数学家来说，危机更是一次机遇、一次挑战，使他们大展宏图的绝佳机会。或许危机发生的时候是一次剧痛，但是危机过后便是又一片充满希望的、宽广的新天地！这里我愿意用蚕的蜕皮过程来比喻数学危机，每当春蚕生长到一定程度仿佛已经没有余地再长大的时候，它需要蜕皮，蜕皮的过程是痛苦的，但是在这过程中它的血液在他的挣扎下输送至身体各个部位，让它新的身体充满活力，蜕皮之后的蚕长着一层新皮，在新皮下迅速生长，当它长到一定程度时，生长又开始缓慢，它又需要脱皮了！数学危机正像这一次次的脱皮，每次危机解决的过程中无数优秀理论的发现与建立，就犹如蚕挣扎过程中，无数新的血管里面重新充盈满血液一样，而危机后数学新的发展则和有着新皮的春蚕快速生长有着相似性。但数学理论发展到一定高度时，新的危机即将出现，蚕也在长到一定程度时即将蜕皮。所以危机对于理论数学家来说是件好事。对于第二次数学危机的爆发来说，一定程度上，理论数学和应用数学天平的失衡是一个重要原因。但是数学家们奉行所谓的将数学工具化，认为只要这个数学工具可以用来解决实际中存在的问题并不出现错误，数学就完成了他的任务了。很多人认为过多的关注数学的基本理论是不明智的，应用数学才是值得推崇的。因此，第二次数学危机爆发了，我们看到过分重视数学的应用方面而不是让其与理论数学相互平衡是目光短浅的行为。理论数学应该是以一种先行者的姿态出现，一套理论，由理论数学家发展完善了才能被应用数学家拿来做各种研究，如果理论数学永远走在应用数学的后面，那么数学会一直处于一种修补的状态，它的发展也将变得缓慢。公元前四百年前，在欧洲就爆发了第一次数学危机，而后的第二次第三次都是以欧洲为中心说爆发的。我忽然想起为什么我们中国的古代数学没有爆发过数学危机？难道是由于我们国家古代的数学体系非常严密？或者说我们国家的古代数学发展水平太低所以也就没有什危机可言了？我想以上两点猜测都是错误的，首先我国古代数学发展水平绝对不低，但是必然没有达到完全严密的高端水平。那么为什么我们不爆发数学危机？我想这和我们中国古代数学基本上是应用数学而非理论数学有着极大关系。虽然我们中国古代数学研究水平很高，但是不得不承认古时候很多数学家研究新的理论只是为了让其应用于现实生活中，更好的解决一些问题而已。由于没有纯理论数学的发展，所以所谓危机也就无从爆发。可以说，在一次次的危机中，西方数学迅速成长，而中国却在波澜不惊中停滞不前。所以没有爆发危机实际上本身就是一个隐藏在深处的巨大危机，就像小孩会大哭让家长觉得很头痛，但是如果小孩真的永远不哭、一直非常安静，你才会感觉到这才是真正的可怕，你可能不得不这个小孩可能身体内隐藏着什么重大的问题。所以，有危机并不是坏事，甚至是好事！片面注重应用数学是很不明智的，当应用数学和理论数学的天平发生了偏差之后会爆发数学危机，数学家们会通过危机来弥补之前的漏洞。然而如果长期忽视理论数学，数学危机就无从爆发，最后导致数学理论一直不成系统，整个数学学科无法继续发展。所以表面上抽象不实用的理论数学是非常需要我们的重视，也非常有必要优先于应用数学发展的，因为更严密的理论是为了更广泛的应用而铺垫的。 数学危机的爆发暴露了理论数学上的种种不足，但是数学危机却又是拥有相当理论数学积淀的数学环境下的特殊产物，纯粹的应用数学大环境是不会爆发数学危机的！话到这里，我想说说我心目中关于数学这门学科定位的问题。很多人说数学是一门“工具学科”，我对此有些不赞同。我觉得“工具”这个词语有点小看数学的意思在。十七世纪，第二次数学危机爆发前的数学界对数学的定位就是一种“工具”，一种可以用来解决其他学科中复杂问题的强有力工具。历史告诉我们，这种定位是大错特错的，它一度让但是得数学大厦岌岌可危。当然，这里我们首先必须承认数学对于其它学科的作用的确非常广大。无论是物理、化学、还是计算机、美术。而物理、化学等这些学科研究的东西都是我们可以感知到的，直接和我们人类及我们可见可感知的环境息息相关的。所以说到数学对人类文明的贡献，很多人会首先想到数学在物理等学科里面的应用，似乎数学只是其它学科帮助人类文明飞速进步的一块垫脚石，它只是一门一直在服务与其它学科的学科。当人们在研究一个实际的科学问题，比如物理上的一个课题的时候，如果数学能够在需要时能够产生专门的理论来解决问题，似乎它的职责也就完成了。这是一个很片面的认识，是对数学这门学科的亵渎。永远不要认为大力发展、完善数学理论对人类的文明发展是件吃力不讨好的事情。在和其它科目处理关系时，我认为数学应该以一种统领科学的姿态示人，而不是“呼之即来，挥之即去”的一个好用的“工具”，仅仅沦为其他学科的工具会使数学“功利化”，这样一门优雅严谨的学科如果套上“急功近利”的帽子，那将是多么可怕的事情啊！如果我们总是忽略数学理论，只在研究问题遇到困难的时候忽然想起来那么最后将导致整个数学体系凌乱而没有根基，越到后面，新的数学“工具”就越难产生，最后整个数学体系将变得瘫痪起来。拿本次数学危机的主角微积分来说说，牛顿在遇到物理实际问题想要解决它的时候想到了数学，于是在他的努力下创建了微积分学，后来微积分学被广泛的应用到物理及其他科学领域中去。试想，如果牛顿之前的数学家都自顾自的想着能为物理等其他学科提供什么强有力工具，而不致力于发展理论的话，那牛顿研究微积分学的基础哪里来？如果没有费尔马、笛卡尔、巴罗他们这些前辈奠定的理论基础，牛顿想要从零做起创立微积分学说谈何容易？所以牛顿有句名言“如果我看得更远，那是因为我站在巨人的肩膀上。”真是一代又一代的理论数学家在前面做铺垫，才会有今天数学的发展，才能有数学在其它应用学科上取得的骄人成绩。所以研究理论数学永远是必要的，有意义的！ 当然这里并不是在否认应用数学的重要意义，更没有在质疑其它学科的地位。反之，其它学科对数学研究的启发同样十分重要，但我要声明的是，当其它学科给予数学发展的灵感的时候，数学家们首先应该紧紧抓住的是新的数学理论的发展与完善工作。而不是片面的把目光集中在它未来在其它学科应用的潜能上，然后将未成熟的理论四处使用，这样是急功近利的，对于数学本身的发展和其它学科的发展都有着不利影响。我相信严密、完善的数学理论对人类文明的发展意义远远大于工具型数学对于人类文明发展的意义。五总结第二次数学危机中，我们看到了哲学对于数学发展的重大作用，它时刻起着提醒数学、为数学指明发展方向的作用。我们还看到了数学危机并不是可怕的有危害的事件，相反在数学走向歪路、理论存在漏洞的时候，可以起到重新振作数学界、集中大家力量解决数学中重大问题、完善数学理论的作用。所以说，在数学发展出现病态的时候，有必要爆发数学危机！纵观整场危机，我们可以发现理论数学