证明(三)-平行四边形复习讲义.doc

戴氏教育蜀汉路校区 学生： 教师： 江老师 时间： 北师大版数学九年级上第三章、证明（三）-平行四边形、梯形复习讲义1、 要点概况1、平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。平行四边形是 对称图形，其对称中心是 。2、平行四边形的特征（性质定理及推论）（1）性质1：平行四边形的对边平行且相等。（2）性质2：平行四边形的邻角互补，对角相等。（3）性质3：平行四边形的对角线互相平分。（4）推论1：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。（5）推论2：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积。（6）推论3： 夹在两条平行线间的平行线段相等。 3、平行四边形的识别（判定定理及推论） （1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）判定1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（3）判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（4）判定3：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（5）判定4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。4、梯形的定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形。5、等腰梯形的性质定理：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；（2）从边看：等腰梯形两腰相等； （3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等 6、等腰梯形的判定定理： （1）在同一底上的两个角相等的梯 形是等腰梯形。 （2）对角线相等的梯形是等腰梯形。 （3）两条腰相等的梯形是等腰梯形6、 等腰梯形的推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。7、 梯形的中位线： （1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。 （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）2 S=Lh 8、梯形常见辅助线的作法：作法图形延长两腰，转化为三角形平移一腰，转化为三角形、平行四边形作高，转化为两直角三角形和一矩形(平移一对角线，转化为三角形、平行四边形倍长中线，构造全等三角形1倍长中线，构造全等三角形2梯形内平移两腰,转化为两个平行四边形和一三角形作中位线（两腰的中点的连线）二、典例精讲及变式训练（一）平行四边形中命题的判断例1：下列说法中，错误的是（ ）A、 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B、 两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C、 四个角都相等的四边形是矩形D、邻边相等的矩形是正方形 变式训练1：如图，在平行四边形 ABCD中(ABBC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：AO=BO；OE=OF； EAMEBN；EAOCNO，其中正确的是A. B. C. D.（二）平行四边形性质的运用与考查例2：如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点若ABE=EBC，AB=2， 则平行四边形ABCD的周长是 。变式训练2-1：如图，在平行四边形ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分BAD交BC于点E，则EC是多少长？变式训练2-2：在ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF（ ） A1：2B1：3C2：3D2：5 （三）平行四边形判定定理的运用与考查例3-1：四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：ABCD，ADBC；AB=CD，AD=BC；AO=CO，BO=DO；ABCD，AD=BC其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 A1组 B2组 C3组 D4组 变式训练3-1：已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）ABCD，（2）ADBC，（3）AB=CD，（4）AD=BC，（5）A=C，（6）B=D，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形：这一结论的情况有（ ）A、4种 B、9种 C、13种 D、15种例3-2：如图，BD是ABCD的对角线，AEBD于E，CFBD于F，求证：四边形AECF为平行四边形.变式训练3-2：如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD、等边ABE，已知BAC=，EFAB，垂足为F，连结DF。（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形。（四）平行四边形判定定理、性质定理及推论的综合运用与考查例4-1：如图，E、F为平行四边形ABCD一组对边AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点H。求证：四边形GEHF为平行四边形。变式训练4-1：已知DAB，EAC, FBC都是等边三角形，求证：四边形ADFE为平行四边形。例4-2：如图，已知平行四边形ABCD，AD=a，BEAC，DE交AC的延长线于点F，交BE于E点。（1）求证：DF=FE；（2）AC=2CF，ADE=60，ACDC，求BE的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABED的面积。变式训练4-2：如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，过点P作直线，交AD于点E，交BC于点F。若PE=PF，且AP+AE=CP+CF。证明：四边形ABCD为平行四边形。(五)梯形中常见辅助线的作法例5：延长两腰,将梯形转化成三角形如图，梯形ABCD中，ADBC，AD5，BC9，B80，C50.求AB的长. 变式训练5-1：如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，ACBD，ADBC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 例5-2：平移一腰,梯形转化成:平行四边形和三角形A、把上下底之差、两腰转化到同一个三角形中。可利用三角形知识解决问题例2如图，梯形ADCB中，ADBC，BC8cm，AB7cm，AD6cm，求DC的取值范围.变式训练5-2：如图所示，在直角梯形ABCD中，A90，ABDC，AD15，AB16，BC17. 求CD的长. 例5-3：平移两腰腰,梯形转化成:平行四边形和三角形 B、平移两腰，将两腰转化到同一个三角形中 在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，E、F分别为AD、BC的中点，且EF BC，梯形ABCD是等腰梯形吗？为什么？变式训练5-3：在梯形ABCD中,ADBC,ADBC,E、F分别为AD、BC的中点，且EFBC，试说明B=C。例5-4：作梯形的高,梯形转化成矩形与直角三角形如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=AD=5，BC=11；求梯形ABCD的面积。变式训练5-4：已知：梯形ABCD中，ABC=90，C=45，BECD，AD=1，CD=2 求：BE例5-5：利用中点，割补三角形 如图梯形ABCD中，ADBC，E为AB的中点，DECE， 试说明CDBCAD。变式训练5-5：如图,在梯形ABCD中，ADBC，E是DC的中点，EFAB于点F。求证：S梯形ABCD=ABEF。 例5-6：案例说明：平移对角线,将梯形转化成：平行四边形、三角形.A、把上下底之和，两对角线转移到同一个三角形BDE中B、ABD与CDE面积相等 S梯形ABCDSBDE C、 BDAC推出BDDE得到直角三角形BDE 如图所示，在梯形ABCD中，上底AD1cm，对角线BDAC，且BD3cm，AC4cm. 求下底BC以及梯形的高。（6） 等腰梯形的性质与判定的综合运用例6：在梯形ABCD中，AD/BC, E为BC中点，EFA B，EGCD，EF=EG。求证：梯形ABCD为等腰梯形。变式训练6-1：在梯形ABCD中，AD/BC，ACB=DBC。求证：梯形ABCD是等腰梯形。变式训练6-2：如图，在ABC中，ADBC于点D，E、F、G分别是BC、AB、AC的中点。求证：四边形DEFG为等腰梯形。（七）梯形中位线的运用与考查例7：（2010中考复习）顺次连接等腰梯形两底的中点及两对角线的中点，所组成的四边形