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目 录 第一部分 高等数学 目 录 第一部分 高等数学 第一讲 函数 极限 连续性 2 第二讲 导数与微分 7 第三讲 微分中值定理及导数的应用 10 第四讲 一元函数积分学 14 第五讲 微分方程 19 第六讲 多元函数微分学 23 第七讲 重积分 27 第八讲 曲线积分与曲面积分 31 第九讲 无穷级数 37 第二部分 线性代数 第二部分 线性代数 第一讲 行列式 44 第二讲 矩阵 47 第三讲 线性方程组 50 第四讲 向量 53 第五讲 特征值与特征向量 57 第六讲 二次型 60 第三部分 概率论与数理统计 第三部分 概率论与数理统计 第一讲 概率论的基本概念 63 第二讲 随机变量及其分布 66 第三讲 多维随机变量及其分布 69 第四讲 随机变量的数字特征 73 第五讲 大数定律及中心极限定理 75 第六讲 样本及抽样分布 76 第七讲 参数估计 80 注 仅对数一要求的部分标有 仅对数二 数三要求的部分相应标有 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 1 第一部分 第一部分 高等数学 高等数学 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 2 第一讲 函数 极限 连续性 第一讲 函数 极限 连续性 一 函数 一 函数 1 函数 1 函数的定义 设数集DR 则称映射 fDR 为定义在D上的函数 简记为 yf xxD 其中x 称为自变量 y称为因变量 D称为定义域 记为 f D f D为值域 记为 f R 2 函数定义的两要素 定义域 对应法则 2 函数的特性 1 有界性 若 0 M 对于 Ix 都有Mxf 则称 xf在I上有界 2 单调性 设函数 xf的定义域为D 区间DI 若对于 Ixx 21 当 21 xx 时 有 21 xfxf 则称 xf在区间I上单调增加 单调减少 3 奇偶性 设函数的定义域为I 对于Ix 若 xfxf 则称 xf是奇函数 若 xfxf 则称 xf是偶函数 注注 任何一个定义域关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和的形式 即 2 2 xfxfxfxf xf 4 周期性 设 xf的定义域为I 若0 T 对于Ix 使得 xfTxf ITx 则称 xf为周期函数 T为 xf的周期 通常周期是指最小正周期 3 反函数 1 反函数的定义 设函数 fDf D 是单射 则它存在逆映射 1 ff DD 则称映射 1 f 为函数f的反函数 2 结论 1 ff xx xxff 1 3 单调函数存在反函数 反之不成立 4 复合函数 1 复合函数的定义 设函数 yf x 的定义域为 f D 函数 ug x 的定义域为 g D 且其值域 gf RD 则函数 g yf g xxD 称为由函数 ug x 与函数 yf u 构成的复合函数 2 只有当函数 xu 的值域与 ufy 的定义域的交非空时 才能将它们复合成复合函数 5 初等函数 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 3 1 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数 2 初等函数 由常数和五类基本初等函数进行有限次的四则运算和复合构成的可用一个式子表示的 函数 3 初等函数必须能用一个式子表示 不能用一个式子表示的函数不能称为初等函数 故分段函数一 般不是 初等函数 二 极限 二 极限 1 数列极限 1 数列极限的定义 设 n x为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正数 总存在正整数N 使得当nN 时 有 n xa M 使得n 有Mxn 保号性 如果axn n lim 且0 a 或0时 有0 n x 或 0 n x 3 数列极限的四则运算法则 设有数列 n x n y 如果Axn n lim Byn n lim 则 BAyx nn n lim BAyx nn n lim 当0 n y且0 B时 B A y x n n n lim 4 数列极限存在的判定 夹逼法则 如果数列 n x n y n z满足 1 nnn yxz 3 2 1 n 2 ayn n lim azn n lim 那么数列 n x的极限存在 且axn n lim 单调有界准则 单调增加 或单调减少 且有上界 或有下界 的数列 n x必定存在极限 2 函数极限 1 0 xx 时 函数极限的定义 设函数 f x在点 0 x的某一去心邻域内有定义 如果存在常数A 对于任意给定的正数 总存在 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 4 正数 使得当x满足 0 0 xx 时 有 f xA 时 有 f xA M和0 使得当 A 或0 使得当 xf 或0 A 推论 1 如果 lim 0 xf xx 存在 c为常数 则 lim lim 00 xfcxcf xxxx 推论 2 如果 lim 0 xf xx 存在 而n是正整数 则 n xx n xx xfxf lim lim 00 5 函数极限存在的判定准则 夹逼法则 如果函数 f x g x h x满足 1 当 0 xUx 时 g xf xh x 2 Axg xx lim 0 Axh xx lim 0 那么 lim 0 xf xx 存在 且Axf xx lim 0 单调有界准则 设 xf在 0 x的某左邻域内单调有界 则 xf在 0 x的左极限 0 f x 必定存在 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 5 6 复合函数的极限 设 yf g x 是由函数 xgu 和 ufy 复合而成的 yf g x 在 0 x 的 某 去 心邻 域 有 定 义 若 0 lim 0 uxg xx Auf uu lim 0 且 在 0 x的 邻 域 内 0 uxg 则 00 lim lim xxuu f g xf uA 7 两个重要极限 1 sin lim 0 x x x ex x x 1 0 1 lim或 1 lim 1 x x e x 1 lim 1 n n e n 3 无穷小与无穷大 1 无穷小量的定义 如果函数 f x当 0 xx 或x 时的极限为零 那么称函数 f x为当 0 xx 或x 时的无穷小 2 无穷小的性质 有限个无穷小的和仍是 无穷小 有限个无穷小的乘积仍是 无穷小 有界函数与无穷小的乘积是 无穷小 3 无穷小的比较 设 是在自变量的同一变化过程中的无穷小 且0 则 如果0lim 称 是 的高阶无穷小 记作 o 如果 lim 称 是 的低阶无穷小 0lim c 称 是 的同阶无穷小 0lim c k 称 是 的k阶无穷小 1lim 称 与 是等价无穷小 记作 4 等价无穷小替换定理 设在自变量x的同一变化过程中 1 2 1 2 都是无穷小 而且 21 21 如果A 1 1 lim 则A 1 1 2 2 limlim 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 6 三 函数的连续性 三 函数的连续性 1 函数连续性的定义 1 函数 xf在 0 x点连续的定义 设函数 f x在点 0 x的某一邻域内有定义 如果 0 0 lim xx f xf x 那么称函数 f x在点 0 x连续 2 函数 xf在 0 x处连续 000 xfxfxf 2 间断点及其分类 1 间断点的定义 若函数 f x在点 0 x不连续 则点 0 x称为函数 f x的间断点 2 间断点的分类 不存在左 右极限至少有一个第二类间断点 右极限左极限跳跃间断点 右极限左极限可去间断点 左 右极限都存在第一类间断点 间断点 3 闭区间上连续函数的性质 1 有界性定理 若函数 xf在 ba上连续 则它在 ba上有界且一定能取到最大值和最小值 即 0 K 使得 bax 有 f xK 以及在 ba上有 1 2 使得mf 1 Mf 2 其中m M分别为 xf在 ba上的最大值和最小值 2 零点定理 设函数 xf在 ba上连续 且0 u 如果 xvvxuu 都可导 则 ln v vu yuvu u 二 微分 二 微分 1 函数的微分 1 微分的定义 设函数 yf x 在某区间内有定义 0 x及 0 xx 在这区间内 如果增量 00 yf xxf x 可表示为 yA xox 其中 A是不依赖于x 的常数 那么称函数 yf x 在点 0 x是可微 的 而A x 叫做函数 yf x 在点 0 x相应于增量x 的微分 记作dy 即dyA x 2 函数连续 可导与可微之间的关系 函数 xfy 在点x处可微的充要条件是 xf在x处可导 此时 xfA 即dxxfdy 因此要计算函数的微分 只要计算函数的导数 再乘以自变量的微分 函数 xf在 0 xx 可导 xf在 0 xx 可微 xf在 0 xx 连续 3 微分的几何意义 00 xfxxfy 是曲线 xfy 在 0 xx 处 对应于自变量的增量x 的纵坐标的增量 而微分 0 xx dy 是曲线 xfy 在点 00 xfx处的切线的纵坐标相应的增量 2 复合函数的微分法则 设 ufy 及 xgu 都可导 则复合函数 xgfy 的微分为 dxxgufdxydy x 由于dudxxg 所以复合函数 xgfy 的微分也可以写为 duufdy 或 u dyy du 因此 无论u是自变量还是中间变量 微分形式duufdy 保持不 变 该性质称为一阶微分形式不变性 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 10 第三讲 微分中值定理及导数的应用第三讲 微分中值定理及导数的应用 一 微分中值定理 一 微分中值定理 1 罗尔定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间 a b上连续 2 在开区间 a b内可导 3 在区间端点处的函数值相等 f af b 那么在 a b内至少存在一点 ab 使得 0f 2 几何意义 曲线 xfy 在点A和点B之间至少有一点 它的切线平行于x轴 3 拉格朗日中值定理 如果函数 f x满足 1 在闭区间 a b上连续 2 在开区间 a b内可导 那么在 a b内至少存在一点 ab 使等式 f bf afba 成立 4 几何意义 曲线 xfy 在A B之间 至少有点 它的切线与割线AB是平行的 5 柯西中值定理 如果函数 f x及 F x满足 1 在闭区间 a b上连续 2 在开区间 a b内可导 3 对任一 xa b 0F x 那么在 a b内至少存在一点 ab 时 xf 和 xg 都存在 且0 xg 3 lim xg xf x 存在 或为无穷大 则 lim lim xg xf xg xf xx 3 仅当 0 0 型或 型才可以考虑用洛比达法则 当然 对于 0 0 0 1 0 型的未定 型可以通过转化成为 0 0 型或 型后 再考虑使用洛比达法则 三 泰勒公式 三 泰勒公式 1 泰勒中值定理 设 xf在含有 0 x的某开区间I内有直到 1 n阶导数 则对于任意Ix 则 2 0 0 2 0 0 000 xRxx n xf xx xf xxxfxfxf n n n 其中 1 0 1 1 n n xx n nf xR 介于 0 x与x之间 2 麦克劳林公式 设 xf在含有0 x的某开区间I内有直到 1 n阶导数 则对于任一Ix 则 1 21 0 0 0 0 2 1 nn nn fffx f xffxxxx nn 01 xf 那么 xfy 在 ba内单调增加 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 12 2 如果在在 ba内0 xf xf单调 而不能由 xf单调 0 xf 只能得到0 xf 五 曲线的凸凹性和拐点 五 曲线的凸凹性和拐点 1 曲线的凸凹性 1 定义 设函数 f x在区间I上连续 如果对I上任意两点 12 x x恒有 1212 22 xxf xf x f 那么称 f x在I 上的图形是 向上 凸的 或凸弧 2 判别法 设函数 xfy 在 ba上连续 在 ba内具有一阶和二阶导数 那么 若在 ba内0 xf 则 xf在 ba上图形是凹的 若在 ba内0 xf 则 xf在 ba上图形是凸的 2 拐点 1 定义 设 yf x 在区间I上连续 如果点 0 x为I的内点 如果曲线 yf x 在经过 00 xf x时 曲 线的凹凸性改变了 那么就称点 00 xf x为曲线的拐点 2 拐点的判定 若0 0 x f 或 0 x f 不存在但 xf在 0 x点连续 则当在 0 x点的左 右邻域 内 xf 异号时 00 xfx是曲线的 xfy 的一个拐点 3 渐近线 1 水平渐近线 若cxf x lim 则直线cy 是曲线 xfy 的一条水平渐近线 2 垂直渐近线 如果 lim 0 xf xx 则直线 0 xx 是曲线 xfy 的一条垂直渐近线 3 斜渐近线 如果存在直线 Lbkxy 使得当 x 或 x x 时 曲线 xfy 上的动点 yxM到直线L的距离0 LMd 则称直线L为曲线 xfy 的渐近线 若直线L 的斜率0 k 则称L为斜渐近线 4 直线 Lbkxy 是曲线 xfy 的渐近线 则 x xf k x x x lim kxxfb x x x lim 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 13 六 函数的极值与最值 六 函数的极值与最值 1 函数的极值 1 函数极值的定义 设函数 f x在点 0 x的某邻域 0 U x内有定义 如果对去心邻域 0 o U x内的任一点x 有 00 f xf xf xf x或那么就称 0 f x是函数 f x的一个极大值 或极小值 2 函数的极大 小 值只是它的局部的最大 小 值 不一定 是它的全局的最大 小 值 3 必要 条件 设函数 f x在 0 x点可导 且在 0 x处取得极值 则必有0 0 x f 称0 0 x f的 点 0 x为驻点 驻点不一定 是极值点 极值点不一定 是驻点 但在可导 的条件下 极值点一定是驻点 2 判定极值充分条件 1 第一充分条件 设函数 xf在 0 x处连续 且在 0 x的某去心邻域 0 xU 内可导 若 00 xxx 时 0 xf 而 00 xxx时 0 xf 则 xf在 0 x处取得极大值 若 00 xxx 时 0 x f 则 xf在 0 x处取得极小值 若 0 xUx 时 x f 的符号保持不变 则 xf在 0 x处不取极值 2 第二充分条件 设函数 xf在 0 x处具有二阶导数且 0 0fx 0 0fx 则 当0 0 x f时 函数 xf在 0 x处取得极小值 3 函数的最大 小 值不一定 是它的极大 小 值 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 14 第四讲 一元函数积分学 第四讲 一元函数积分学 一 不定积分 一 不定积分 1 原函数的定义 如果在区间I上 可导函数 F x的导函数为 f x 即对任一xI 都有 F xf x 那么函数 F x就称为 f x 或 f x dx 在区间I上的原函数 2 若函数 xf在区间I上连续 则它在区间I上存在原函数 3 不定积分的定义 在区间I上 函数 f x的带有任意常数项的原函数称为 f x在区间I上的不定积分 记作 f x dx 其中 记号 称为积分号 f x称为被积函数 f x dx称为被积表达式 x称为积 分变量 4 基本积分公式 1 kdxkxC k是常数 2 1 1 1 x x dxC 3 ln dx xC x 4 2 arctan 1 dx xC x 5 2 arcsin 1 dx xC x 6 cossinxdxxC 7 sincosxdxxC 8 2 2 sectan cos dx xdxxC x 9 2 2 csccot sin dx xdxxC x 10 sec tansecxxdxxC 11 csc cotcscxxdxxC 12 xx e dxeC 13 ln x x a a dxC a 二 不定积分的积分法 二 不定积分的积分法 1 第一换元积分法 凑微分法 设 uf具有原函数 xu 可导 则 xdxfdxxxf xu 令 CxFCuFduufdxxxf 2 第二换元积分法 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 15 设 xt 单调的可导函数 且 0t 若 ftt dtG tC 则 1 xt f x dxftt dtG tCGxC 令 其中 1 tx 为 xt 的反函 数 3 分部积分法 设 xuu xvv 具有连续导数 则 dxxuxvxvxudxxvxu 四 定积分 四 定积分 1 定积分的定义 设函数 f x在 a b上有界 在 a b中任意插入若干个分点把区间 a b分成n个小区间 01 x x 12 x x 1 nn xx 各个小区间的长度依次为 110 xxx 221 xxx 1nnn xxx 在每个小区间 1 ii xx 上任取一点 i 1iii xx 作函数值 i f 与小区间长度 i x 的乘积 ii fx 1 2 in 并作出和 1 n ii i Sfx 记 12 max n xxx 如果不论对 a b怎么样划分 也不论在小区间 1 ii xx 上 i 怎样选取 只要当0 时 和S总 趋于确定的极限I 那么称这个极限I为函数 f x在 a b上的定积分 记作 b a f x dx 即 0 1 lim n b ii a i f x dxfx 其中 f x叫做被积函数 f x dx称为被积表达式 x称为积分变量 a叫做积分下限 b叫做 积分下限 a b叫做积分区间 2 定积分的几何意义 函数 xf在 ba上的定积分是曲线 xfy 与直线ax bx x轴 所围成的曲边梯形面积的代数和 3 定积分的性质 1 两条规定 0 a a dxxf a b b a dxxfdxxf 2 定积分的性质 b a b a b a dxxgdxxfdxxgxf 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 16 b a b a dxxfkdxxkf k是常数 设bca 则 b c c a b a dxxfdxxfdxxf 如果在区间 ba上1 xf 则 b a abdxxf 如果在区间 ba上 0 xf 则 b a dxxf0 ba 推论 1 如果在区间上 xgxf 则 b a b a dxxgdxxf ba qp特征方程有两个不同的实根 21 则方程的通解为 xx eCeCy 21 21 当04 2 qp 特征方程有二重根 21 则方程的通解为 x exCCy 1 21 当 04 2 qp特征方程有共轭复根i 则方程的通解为 sincos 21 xCxCey x 2 n阶常系数齐次线性方程 1 0 1 2 2 1 1 ypypypypy nn nnn 其中 1 2 i p in 为常数 2 解法 由特征方程0 1 2 2 1 1 nn nnn pppp 的根写出微分方程的通解中含有 的对应项如下 若特征方程有n个不同的实根 n 21 则方程通解 x n xx n eCeCeCy 21 21 若 为特征方程的k重实根 kn 则方程通解中含有 1 12 kx k CC xC xe 若 i 为特征方程的k重共轭复根 2 kn 则方程通解中含有 11 1212 cos sin xkk kk eCC xC xxDD xD xx 七 二阶常系数非齐次线性方程 七 二阶常系数非齐次线性方程 方程的形式 ypyqyf x 其中qp 为常数 特征方程为0 2 qp 1 x n f xP x e 其中 n P x为n次多项式 为实常数 则方程的特解y 的形式为 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 22 1 若 不是特征根 则令 x n yR x e 2 若 是特征方程单根 则令 x n yxR x e 3 若 是特征方程的重根 则令 2 x n yx R x e 其中 n R x为n次多项式 将y 代入原方程求 出 n R x的各系数得到原方程的特解 2 cos sin x nl f xeP xxPx 其中 n P x l P x分别为n l次多项式 则方程的特 解y 的形式为 1 若i 不是 特征方程的根 则令 1 2 cos sin x mm yeRxxRxx 2 若i 是 特征方程的根 则令 1 2 cos sin x mm yxeRxxRxx 其中 1 m Rx 2 m Rx是m次多项式 max mn l 将y 代入原方程求出 1 m Rx 2 m Rx的各系数 从而 得原方程的特解 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 23 第六讲 多元函数微分学 第六讲 多元函数微分学 一 多元函数的概念 一 多元函数的概念 1 二元函数的定义 设D是 2 R的 一 个 非 空 子集 称 映射 fDR 为 定 义在D上 的 二元 函 数 通 常记为 zf x yx yD 或 zf P PD 其中点集D称为该函数的定义域 x y称为自变量 z称为因变量 2 二元函数的极限 1 二元函数的极限的定义 设二元函数 f Pf x y 的定义域为D 000 P xy是D的聚点 如果存在常数A 对于任意给 定的正数 总存在正数 使得当点 0 o P x yDU P 时 都有 f PAf x yA 成立 那么就称常数A为函数 f x y当 00 x yxy 时的极限 记作 00 lim x yxy f x yA 3 二元函数的连续性定义 设二元函数 f Pf x y 的定义域为D 000 P xy是D的聚点 且 0 PD 如果 00 00 lim x yxy f x yf xy 则称函数 f x y在点 000 P xy连续 二 偏导数 二 偏导数 1 偏导数的定义 设二元函数 zf x y 在点 00 xy的某一邻域有定义 当y固定在 0 y而x在 0 x处有增量x 时 相应的函数有增量 0000 f xx yf xy 如果 0000 0 lim x f xx yf xy x 存在 则称此 极限为函数 zf x y 在点 00 xy处对x的偏导数 记作 00 x fxy 0 0 x x y y f x 0 00 0 x x x y yx x y y z z x 或 类似地 函数 zf x y 在点 00 xy处对y的偏导数定义为 0000 0 lim y f xyyf xy y 记 作 0 000 00 00 x xyy y yx xx x y yy y fz fxyz yy 或 2 偏导数的几何意义 00 x fxy 表示曲面 zf x y 与平面 0 yy 的截线在点 0000 xyf xy 处 的 切 线 关 于x轴 的 斜 率 00 y fxy 表 示 曲 面 zf x y 与 平 面 0 xx 的 截 线 在 点 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 24 0000 xyf xy处的切线关于y轴的斜率 3 二元函数的二阶偏导数 设 yxfz 2 2 x z x yxf x z xx 2 x z y yxf yx z xy 2 y z x yxf xy z yx 2 2 y z y yxf y z yy 4 如果函数 yxfz 的两个二阶混合偏导数 yx z 2 和 xy z 2 都在区域D内连续 那么在该区域内 这两个二阶混合偏导数必 相等 三 全微分 三 全微分 1 全微分的定义 设 函 数 zf x y 在 点 x y的 某 邻 域 内 有 定 义 如 果 函 数 在 点 x y的 全 增 量 zf xx yyf x y 可表为 zA zB y 其中 A B不依赖于 xy 而仅与 x y相关 22 xy 则称函数 zf x y 在点 x y可微分 而A zB y 称为函数 zf x y 在点 x y的全微分 记作dz 即dzA zB y 2 可微的必要条件 如果函数 yxfz 在点 yx可微分 则该函数在点 yx的偏导数 x z y z 必定 存在 且函数 yxfz 在点 yx的全微分为y y z x x z dz 3 可微的充分条件 如果函数 yxfz 的偏导数 x z y z 在点 yx连续 则函数在该点可微分 4 函数 yxfz 在 00 yx处的几个概念的关系 0000 yxfyxf yx 连续 yxf在 00 yx可微 反之不成立 yxf在 00 yx可微 0000 yxfyxf yx 存在 反正不成立 yxf在 00 yx可微 yxf在 00 yx连续 反正不成立 0000 yxfyxf yx 连续 yxf在 00 yx连续 反之不成立 四 多元复合函数的求导法则 四 多元复合函数的求导法则 1 多元复合函数的求导法则 链式法则 1 一元函数与多元函数复合的情形 如果函数 tu 及 tv 都在点t可导 函数 vufz 在 对应点 vu具有连续偏导数 则复合函数 ttfz 在点t可导 且有 dt v v z dt u u z dt dz 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 25 2 多元函数与多元函数复合的情形 如果函数 yxu 和 yxv 在点 yx具有对x及对y 的偏导数 函数 vufz 在对应点 vu具有连续偏导数 则复合函数 yxyxfz 在 点 yx的两个偏导数都存在 且有 x v v z x u u z x z y v v z y u u z y z 2 全微分形式的不变性 dv v z du u z dz 不管u v是中间变量还是自变量都成立 该性质叫全微分形式的不变性 五 隐函数的求导 五 隐函数的求导 1 由方程确定的隐函数 1 一元隐函数 设函数 yxF在点 00 yxP的某邻域内具有连续偏导数 且0 00 yxF 0 00 yxFy 则方程0 yxF在点 00 yx的某邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导 数的函数 xfy 它满足条件 00 xfy 且 y x F F dx dy 2 二 元 隐 函 数 设 函 数 zyxF在 点 000 zyxP的 某 邻 域 内 具 有 连 续 偏 导 数 且 0 000 zyxF 0 000 zyxFy 则方程0 zyxF在点 000 zyx的某邻域内恒能唯一 确定一个连续且具有连续导数的函数 yxfz 它满足条件 000 yxfz 且 z x F F x z z y F F y z 2 由方程组确定的隐函数 设 vuyxF vuyxG在点 0000 vuyxP的某邻域内具有对 各个变量的连续偏导数 又0 0000 vuyxF 0 0000 vuyxG 且偏导数所组成的函数行 列式 v G u G v F u F vu GF J 在点 0000 vuyxP不等于零 则方程组0 vuyxF 0 vuyxG在点 0000 vuyx的某邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 yxuu yxvv 它们满足条件 000 yxuu 000 yxvv 并有 vu vu vx vx GG FF GG FF vx GF Jx u 1 vu vu xu xu GG FF GG FF xu GF Jx v 1 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 26 vu vu vy vy GG FF GG FF vy GF Jy u 1 vu vu yu yu GG FF GG FF yu GF Jy v 1 六 多元函数的极值及其求法 六 多元函数的极值及其求法 1 多元函数的极值的定义 设函数 f x y的定义域为D 000 P xy为D的内点 若存在 000 P xy的某个邻域 0 U PD 使 得对于该邻域内异于 0 P的任何点 x y 都有 00 f x yf xy则称函数 f x y在点 00 xy有极 小值 00 f xy 点 00 xy称为函数 f x y的极小值点 2 必要条件 设函数 yxfz 在点 00 yx具有偏导数 且在点 00 yx处有极值 则 00 0 x fxy 00 0 y fxy 3 函数的驻点不一定 是极值点 4 充分条件 设函数 yxfz 在点 00 yx的某邻域内连续 且有一阶及二阶连续偏导数 又 00 0 x fxy 00 0 y fxy 令Ayxfxx 00 Byxfxy 00 Cyxfyy 00 则 yxf 在点 00 yx处是否取得极值的条件如下 1 0 2 BAC时具有极值 且当0A时有极小值 2 0 2 BAC时没有极值 3 0 2 BAC时可能有极值 也可能没有极值 需另作讨论 5 二元函数的极值点不一定 是驻点 6 函数的最大值与最小值 函数在有界闭区域D上的最大值与最小值用比较法求 即比较驻点 偏 导数不存在但连续点处的函数值及在区域D的边界上函数的最大 最小值而得 7 条件极值 拉格朗日数乘法 求 yxFz 在0 yx 条件下的极值点 先构造辅助函数 yxyxfyxF 解方程组 yxF yxyxfF yxyxfF yyx xxx 求驻点 由问题的实际意义确 定极值 此法叫拉格朗日数乘法 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 27 第七讲 重积分 第七讲 重积分 一 二重积分 一 二重积分 1 二重积分的定义 设函数 f x y是有界闭区域D上的有界函数 将闭区域D任意分成n个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i个小闭区域 也表示它的面积 在每个 i 上任取一点 ii 作乘积 iii f 1 2 in 并作和 1 n iii i f 如果各个小闭区域的直径中的最大值 趋于 零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f x y在闭区域D上的二重积分 记作 D f x y d 即 0 1 lim n iii i D f x y df 其中 f x y叫做被积函数 f x y d 叫做被积表达 式 d 叫面积元素 x与y叫做积分变量 D叫做积分区域 1 n iii i f 叫做积分和 2 二重积分的几何意义 当 yxf为闭区域D上的连续函数 且0 yxf 则二重积分 D dyxf 表示以曲面 yxfz 为顶 侧面以D的边界曲线为准线 母线平行于z轴的曲顶柱体的体积 3 二重积分的性质 1 DD dyxfkdyxkf k为常数 2 dyxgdyxfdyxgyxf DDD 3 如果区域D分为两个闭区域 21 D D 则 12 DDD dyxfdyxfdyxf 4 如果在区域D上 f x yg x y 则 DD dyxgdyxf 特殊情况有 dyxfdyxf DD 5 设Mm 分别为 yxf在闭区域D上的最小值和最大值 是D的面积 则 D Mdyxfm 6 积分中值定理 设 f x y在有界闭区域D上连续 为D的面积 则存在 D 使得 fdyxf D 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 28 二 二重积分的计算 二 二重积分的计算 1 在直角坐标系中 模型模型 I 设有界闭区域 12 Dx y axbxyx 其中 12 xx 在 a b上连续 f x y在D上连续 则 2 1 bx ax DD f x y df x y dxdydxf x y dy 模型模型 II 设有界闭区域 dycyxyyxD 21 其中 12 yy 在 c d上连续 f x y在D上连续则 DD f x y df x y dxdy 2 1 dy cy dyf x y dx 2 在极坐标系中 模型模型 I 设有界闭区域 12 D 其中 12 在 上连续 cos sin f x yf 在D上连续 则 cos sin DD f x y dfd d 2 1 cos sin dfd 模型模型 II 设有界闭区域 0 D 其中 在 上连续 cos sin f x yf 在 D上连续 则 cos sin DD f x y dfd d 0 cos sin dfd 3 对称区域上二重积分的性质 1 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于x轴对称 则 1 0 2 D D f xyf x y f x y d f x y df xyf x y 其中 1 D为D在x轴的上半平面部分 2 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于y轴对称 则 2 0 2 D D fx yf x y f x y d f x y dfx yf x y 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 29 其中 2 D为D在y轴的右半平面部分 3 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于原点对称 则 3 0 2 D D fxyf x y f x y d f x y dfxyf x y 其中 3 D为D的上半平面或右半平面 4 设 yxf 在有界闭区域D上连续 若D关于直线xy 对称 则 DDD dxyfyxfdxyfdyxf 2 1 三 三重积分 三 三重积分 1 三重积分的定义 设函数 f x y z是有界闭区域 上的有界函数 将闭区域 任意分成n个小闭区域 1 v 2 v n v 其中 i v 表示第i个小闭区域 也表示它的体积 在每个 i v 上任取一点 iii 作乘积 iiii f 1 2 in 并作和 1 n iiii i fv 如果各个小闭区域的直径中的最大值 趋于零时 这和的极限总存在 则称此极限为函数 f x y z在闭区域D上的三重积分 记作 f x y z dv 即 0 1 lim n iiii i f x y z dvfv 其中 dv叫体积元素 2 三重积分的性质 1 dvzyxfkdvzyxkf k为常数 2 dvzyxgdvzyxfdvzyxgzyxf 3 21 dvzyxfdvzyxfdvzyxf其中 21 除公共边界外 1 与 2 不重叠 4 若 zyxgzyxf zyx 则 dvzyxgdvzyxf 5 若Mzyxfm zyx 则MVdvzyxfmV 其中V为区域 的体积 6 dvzyxfdvzyxf 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 30 7 积分中值定理 设 zyxf在空间有界闭区域 上连续 V为 的体积 则存在 使得 f x y z dvfV 3 三重积分的计算 1 直角坐标系中三重积分化为累次积分 设 是空间的有界闭区域 xy Dyxyxzzyxzzyx 21 其中 xy D是xy平面 上的有界闭区域 21 yxzyxz在 xy D上连续函数 在 zyxf上连续 则 2 1 zx y zx y D f x y z dvdxdyf x y z dz 然后计算 2 1 zx y zx y F x yf x y z dz 在闭区域 xy D上的二重积分 若闭区域 bxaxyyxyyxDxy 21 则把前述二重积分化为二 次积分 于是得到三重积分的计算公式 dzzyxfdydxdvzyxf yxz yxz xy xy b a 2 1 2 1 2 柱坐标系中三重积分的计算 直角坐标系与柱面坐标系的关系为 zz ry rx sin cos dzrdrdzrrfdxdydzzyxf sin cos 3 球坐标系中三重积分的计算 直角坐标系与球面坐标系的关系为 cos sinsin cossin rz ry rx 20 0 0r dxdydzzyxf ddrdrrrrfsin cos sinsin cossin 2 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 31 第八讲 曲线积分与曲面积分 第八讲 曲线积分与曲面积分 一 对弧长的曲线积分 一 对弧长的曲线积分 第一类曲线积分第一类曲线积分 1 对弧长的曲线积分的定义 设L为xOy面 内 的 一 条 光 滑 曲 线 弧 函 数 f x y在L上 有 界 在L上 任 意 插 入 一 列点 1 21 n MMM 把L分成n个小段 设第i个小段的长度为 i s 又 ii 为第i个小段上任意取定 的一点 作乘积 1 2 iii fs in 并作和 1 n iii i fs 如果当各小弧段的长度的最大值 0 时 这和的极限总存在 称此极限为函数 f x y在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分 记作 L f x y ds 即 0 1 lim n iii i L f x y dsfs 其中 f x y叫做被积函数 L叫做积分弧段 2 对弧长的曲线积分的性质 1 设 为常数 则 LLL dsyxgdsyxfdsyxgyxf 2 若积分弧段L可分成光滑的曲线 1 L和 2 L 则dsyxfdsyxfdsyxf LLL 21 3 设在L上 yxgyxf 则 LL dsyxgdsyxf 特别地 有 LL f x y dsf x y ds 3 对弧长的曲线积分的计算 1 设 yxf在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 ty tx t 其中 t t 在 上具有一阶连续导数 且0 22 tt 则曲线积分 L dsyxf 存在 且 dtttttfdsyxf L 22 2 设空间曲线L的参数方程 tx ty tz t 则 dtttttttfdszyxf L 222 二 对坐标的曲线积分二 对坐标的曲线积分 第二类曲线积分第二类曲线积分 1 对坐标的曲线积分的定义 设L为xOy面内从A点到B点的一条有向光滑曲线弧 函数 P x y Q x y在L上有界 在L上沿 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 32 L的方向任意插入一点列 1 11222111 nnn Mx yMxyMxy 把L分成n个有向小弧段 10 1 2 iin MM in MA MB 设 iij xxx iij yyy 点 ii 为 1ii MM 上任意 取定的点 如果当各小弧段的长度的最大值0 时 1 n iii i Px 的极限总存在 称此极限为函数 P x y在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 记作 L P x y dx 类似地 如果 0 1 lim n iii i Qy 总 存在 则此极限为函数 Q x y在有向曲线L上对坐标y 记作 L Q x y dy 即 0 1 lim n iii i L P x y dxPx 0 1 lim n iii i L Q x y dyQy 其中 P x y Q x y叫做被积函数 L叫做积分弧段 以上两个积分也称为第二类曲线积分 2 对坐标的曲线积分的性质 1 dryxFdryxFdryxFyxF LLL 2121 2 若有向曲线弧L可分为两段光滑的有向曲线弧 1 L和 2 L 则 dryxFdryxFdryxF LLL 21 3 设L是有向光滑曲线弧 L是L的反向曲线弧 则dryxFdryxF LL 3 对坐标的曲线积分的计算 1 设 yxP yxQ在有向曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 ty tx 当参数t单 调地由 变到 时 点 yxM从L的起点沿L运动到终点 tt 在以 及 为端点的闭区 间上具有一阶连续导数 且0 22 tt 则曲线积分 L dyyxQdxyxP 存在 且 L dyyxQdxyxP dttttQtttP 2 空间曲线L的参数方程 tx ty tz t 则dzzyxRdyzyxQdxzyxP L dtttttRttttQttttP 三 两类曲线积分之间的关系 三 两类曲线积分之间的关系 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 33 1 dsQPQdyPdx LL coscos 其中 yx yx 为有向曲线弧L在点 yx处 的切向量的方向角 2 空间曲线弧L上的两类曲线积分之间的关系为 dsRQPRdzQdyPdx LL coscoscos 其中 zyx zyx zyx 为有向曲线弧L在点 zyx处的切向量的方向角 四 格林公式 四 格林公式 1 格林公式 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数 yxP及 yxQ在D上具有一阶连续 偏导数 则 L D QP dxdyPdxQdy xy 其中L是D的取正向的边界曲线 2 平面上曲线积分与路径无关 设区域G是一个单连通域 函数 yxP yxQ在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 L QdyPdx在G内与路径无关 或沿G内任意闭区域的曲线积分为零 的充分必要条件是 x Q y P 在G内恒成立 3 设区域G是一个单连通域 函数 yxP yxQ在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 dyyxQdxyxP 在G内为某一函数 yxu的全微分的充分必要 条件是 x Q y P 在G内恒 成立 4 设区域G是一个单连通域 函数 yxP yxQ在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分 L QdyPdx在G内与路径无关的充分必要 条件是 在G内存在函数 yxu使QdyPdxdu 五 对面积的曲面积分 五 对面积的曲面积分 第一类曲面积分第一类曲面积分 1 对面积的曲面积分的定义 设曲面 是光滑的 函数 f x y z在 上有界 把 任意分成n小块 i S i S 同时也代表第i小块 曲面的面积 设 iii 是 i S 上任意取定的一点 作乘积 1 2 3 iiii fS in 并作和 1 n iiii i fS 如果当小块曲面的直径的最大值0 时 这和的极限总存在 则称此极限为函 数 f x y z在曲面 上对面积的曲面积分或第一类曲面积分 记作 f x y z dS 即 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 34 0 1 lim n iiii i f x y z dSfS 2 对面积积分的计算 1 化为二重积分 若曲面 的方程为 yxzz 单值函数 则 dxdyzzyxzyxfdSzyxf xy D yx 22 1 其中 xy D是曲面 在xy平面上的投影 2 若曲面 的方程为 zxyy zyxx 也可类似地把对面积的曲面积分化成二重积分 六 对坐标的曲面积分 六 对坐标的曲面积分 第二类曲面积分第二类曲面积分 1 对坐标的曲面积分的定义 设 是光滑的有向曲面 函数 R x y z在 上有界 把 任意分成n块小曲面 i S i S 同时也代表 第i块小曲面的面积 i S 在xOy面上的投影为 ixy S iii 是 i S 上任意取定的一点 如果 当各小块曲面的直径的最大值0 时 0 1 lim n iiiixy i RS 的极限总存在 则称此极限为函 数 R x y z在有向曲面 上对坐标 x y的曲面积分 记作 R x y z dxdy 即 0 1 lim n iiiixy i R x y z dxdyRS 其中 R x y z叫做被积函数 叫做积分曲面 类似地可以定义函数 P x y z在有向曲面 上对坐标 y z的曲面积分 P x y z dydz 及函数 Q x y z在有向曲面 上对坐标 x z的曲面积分 Q x y z dzdx 分别为 0 1 lim n iiiiyz i P x y z dydzPS 0 1 lim n iiiizx i Q x y z dzdxQS 以上三个曲面积分称为第二类曲面积分 2 对坐标的面积积分的性质 1 如果 21 则 RdxdyQdzdxPdydz 21 RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz 2 设 是有向曲面 表示与 取相反侧的有向曲面 则 2014 考研数学基础过关班辅导讲义 35 dydzzyxPdydzzyxP dzdxzyxQdzdxzyxQ dxdyzyxRdxdyzyxR 3 对坐标的曲面积分的计算 1 若曲面 的方程为 yxzz xy Dyx yxz在 xy D上连续 zyxR在 上连续 则 xy D R x y z dxdyR x y z x ydxdy 其中 xy D是 在xy平面的投影 若曲面 指定一 侧的法向量与z轴的正向成锐角取正号 成钝角取负号 2 若曲面 的方程为 zyxx yz Dzy zyx在 yz D上连续 zyxP在 上连续 则 yz D dydzzyzyxPdydzzyxP 其中 yz D是 在yz平面的投影 若曲面 指定一侧 的法向量与x轴的正向成锐角取正号 成钝角取负号 3 若曲面 的方程为 xzyy zx Dxz xzy在 zx D上连续 zyxQ在 上连续 则 zx D dzdxzxzyxQdzdxzyxQ 其中 zx D是 在zx平面的投影 若曲面 指定一侧 的法向量与y轴的正向成锐角取正号 成钝角取负号 七 两类曲面积分之间的关系 七 两类曲面积分之间的关系 d