“哥德巴赫猜想”讲义(第19讲).doc

“哥德巴赫猜想”讲义（第19讲）“哥德巴赫猜想”证明（14）主讲 王若仲有了前面的知识准备，接下来我们就开始探讨“哥德巴赫猜想”问题的证明。哥德巴赫猜想：任何一个不小于6的偶数均可表为两个奇素数之和。探讨证明：我们在前面第4讲和第5讲中阐述了解决“哥德巴赫猜想”最新的基本思想方法，以及阐述了克服埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛这两种配合筛法的技术难题的巧妙思想方法。因为对于“33106以内的偶数均可表为两个奇素数之和”已经被前人验证。现在我们不妨设有一个非常大的偶数2m，偶数2m不小于33106。我们又设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于2m的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN。 因为当m为奇数时，偶数2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=7+（2m-7）=（m-2）+（m+2）=m+m=（2m-7）+7=（2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1。当m为偶数时，偶数2m=1+（2m-1）=3+（2m-3）=5+（2m-5）=7+（2m-7）=（m-3）+（m+3）=（m-1）+（m+1）=（2m-7）+7=（2m-5）+5=（2m-3）+3=（2m-1）+1。所以对于“偶数2m=奇数+奇数”来说，就只有下面几种情形：偶数2m=奇合数+奇合数，偶数2m=奇合数+奇素数，偶数2m=奇素数+奇素数，偶数2m=1+奇合数，偶数2m=1+奇素数。对于“偶数2m=奇数+奇数”的情形，我们下面一步一步具体分析：（）、对于偶数2m，当m为奇素数时，我们不妨令m=p，p为奇素数，那么2m=p+p，这种情形下，显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。（）、对于偶数2m，假如集合（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），（2m-pt）中至少有一个奇数为奇素数，我们不妨令（2m-pi）为奇素数，pip1，p2，p3，pt，那么2m=（2m-pi）+pi，显然偶数2m可表为“奇素数+奇素数”。“哥德巴赫猜想针对的是无穷的偶数，为了解决无穷的问题，一般情况下，我们设定一个非常大的偶数2m，设奇素数p1，p2，p3，pt均为不大于2m的全体奇素数（pi pj ，ij，i、j=1，2，3，t），tN；并且假设偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，pt，为了解保奇素数p1，p2，p3，pt均要被筛除，我们还要假设集合（2m-p1），（2m-p2），（2m-p3），（2m-pt）中的奇数均为奇合数；因为偶数2m=（2m-p1）+ p1，2m=（2m-p2）+ p2，2m=（2m-p3）+ p3，2m=（2m-pt）+ pt。在说上面这样的情形在无穷多的偶数中是必然存在的。说明白了就是对偶数2m对应的集合1，3，5，7，9，（2m-3），（2m-1）中的奇数，要达到筛除的最大化，即达到筛除的极限。如果我们设集合A=1，3，5，7，9，（2m-3），（2m-1），又设集合A1= p1，3p1，5p1，7p1，9p1，（2m1-1）p1，集合A1=（2m-p1），（2m-3p1），（2m-5p1），（2m-7p1），（2m-9p1），（2m-11p1），2m-（2m1-1）p1，集合A2=p2，3p2，5p2，7p2，9p2，（2m2-1）p2，集合A2=（2m-p2），（2m-3p2），（2m-5p2），（2m-7p2），（2m-9p2），（2m-11p2），2m-（2m2-1）p2，集合A3=p3，3p3，5p3，7p3，9p3，（2m3-1）p3，集合A3=（2m-p3），（2m-3p3），（2m-5p3），（2m-7p3），（2m-9p3），（2m-11p3），2m-（2m3-1）p3，集合At=pt，3pt，5pt，7pt，9pt，（2mt-1）pt，集合At=（2m-pt），（2m-3pt），（2m-5pt），（2m-7pt），（2m-9pt），（2m-11pt），2m-（2mt-1）pt；其中奇数（2m1-1）p1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m2-1）p2为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2m3-1）p3为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1-1）pt-1为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数，奇数（2mt-1）pt为该表达形式下不大于奇数（2m-1）的最大奇数。对于偶数2m以内的全体奇数，偶数2m对应的集合1，3，5，7，9，（2m-3），（2m-1），我们在集合A=1，3，5，7，9，（2m-3），（2m-1）中进行埃拉托斯特尼顺筛和埃拉托斯特尼逆筛这两种筛法配合筛：1在集合A中筛除属于集合A1中的奇数，又在集合A中筛除属于集合A1中的奇数，得到集合B1；因为我们设偶数2m均不含有奇素数因子p1，p2，p3，pt。所以集合A和集合A1无公共元素。2在集合B1中筛除属于集合A2中的奇数，又在集合B1中筛除属于集合A2中的奇数，得到集合B2；3在集合B2中筛除属于集合A3中的奇数，又在集合B2中筛除属于集合A3中的奇数，得到集合B3；t-1在集合Bt-2中筛除属于集合At-1中的奇数，又在集合Bt-2中筛除属于集合At-1中的奇数，得到集合Bt-1；t在集合Bt-1中筛除属于集合At中的奇数，又在集合Bt-1中筛除属于集合At中的奇数，最终得到集合Bt。最后在集合Bt中再筛除奇数1和（2m-1）得到集合H，如果我们能判定集合H中确实有奇数，那么集合H中的奇数必定为奇素数，同时还能判定偶数2m可表为两个奇素数之和。因为集合1，3，5，7，9，（2m-3），（2m-1）中的奇数经过上面的配合筛后，如下情形中的奇数被全部筛除：偶数2m=奇合数+奇合数，偶数2m=奇合数+奇素数，偶数2m=1+奇合数，偶数2m=1+奇素数。说明最后在集合H中的奇数必定为奇素数，并且集合H中的奇数必定只满足“偶数2m=奇素数+奇素数”的情形。参考文献1戎士奎，十章数论（贵州教育出版社