高一数学春季班教学讲义 学生第十讲.pdf

田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 1 页 高一数学春季班教学讲义高一数学春季班教学讲义第十讲第十讲 等比数列等比数列 一 知识梳理一 知识梳理 知识点一 等比数列 1 定义 如果一个数列从 起 每一项与它前一项之比都等于 这个数列叫做等比数列 常 数 叫做等比数列的 注 等比数列的每一项均不能为 0 公比 q 也不能为 0 2 等比数列的通项公式 n a 3 等比数列的性质 若数列 an 是以 a1为首项 q 为公比 q 0 的等比数列 an 若 p q m n 则有 p q m n N 若 p q 2k 则有 若 an 0 则 lgan 为等差数列 若 bn 是 则 n b a 为 知识点二 等比数列的前 n 项和 1 求和公式 n s 2 等比数列中 当q 1 时 Sn a 1 1 q n 1 q 可以写成 1 1 1 n n a Sq q 即为 1 n n Skq 形式形式 二 基础自测 1 在等比数列 an 中 如果公比q 1 那么等比数列 an 是 A 递增数列B 递减数列C 常数列D 无法确定数列的增减性 2 已知 an 是等比数列 a2 2 a5 1 4 则公比 q等于 A 1 2 B 2C 2D 1 2 3 在等比数列 an 中 a4 4 则a2 a6等于 A 4B 8C 16D 32 4 设Sn为等比数列 an 的前n项和 8a2 a5 0 则S 5 S2 A 11B 8C 5D 11 5 2012 浙江 设公比为q q 0 的等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3a2 2 S4 3a4 2 则q 6 已知等比数列 an 的前n项和为Sn 若S4 3 S12 S8 12 则S8 三三 典例讲解 典例讲解 题型一 等比数列的题型一 等比数列的基本量基本量 例 1 已知等比数列 n a为递增数列 且 2 51021 2 5 nnn aaaaa 则数列的通项公式 n a 练习 1 已 知 等 比 数 列 n a满 足0 1 2 n an 且 2 525 2 3 n n aan 则 当1n 时 2123221 logloglog n aaa A 21 nn B 2 1 n C 2 nD 2 1 n 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 2 页 2 在等比数列 n a中 若 56 0 aaa a 1516 aab 则 2526 aa 的值是 b A a 2 2 b B a 2 b C a 2 b D a 例 2 设 an 是等比数列 公比2q Sn为 an 的前 n 项和 记 2 1 17 nn n n SS TnN a 设 0 n T为数列 n T 的最大项 则 0 n 练习 1 若数列 n a满足 11 1 2 nn aaa nN 则 5 a 前 8 项的和 8 S 2 在等比数列 n a中 n S为其前 n 项和 若140 13 30101030 SSSS 则 20 S的值为 题型二 等差与等比数列综合 例 3 公差不为零的等差数列 n a的前n项和为 n S 若 4 a是 37 aa与的等比中项 8 32S 则 10 S等于 A 18B 24C 60D 90 练习 1 等比数列 n a的前 n 项和为 n s 且 4 1 a 2 2 a 3 a成等差数列 若 1 a 1 则 4 s A 7B 8C 154 16 2 设 n a是公差不为 0 的等差数列 1 2a 且 136 a a a成等比数列 则 n a的前n项和 n S A 2 7 44 nn B 2 5 33 nn C 2 3 24 nn D 2 nn 题型三 等比数列的综合运用题型三 等比数列的综合运用 例 4 已知数列 n a的首项 1 2 3 a 1 2 1 n n n a a a 1 2 3 n 1 证明 数列 1 1 n a 是等比数列 2 数列 n n a 的前n项和 n S 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 3 页 练习 已知数列 n a满足且0 1 a 1 2 1 2 1 NnnnSS nn 1 求 23 a a 并证明 1 2 nn aan nN 2 设 1 Nnaab nnn 求证 12 1 nn bb 3 求数列 Nnan 的通项公式 例 5 设数列的前 n 项和为 n S 11 10 910 nn aaS 1 求证 lg n a是等差数列 2 设 n T是数列 1 3 lglg nn aa 的前 n 项和 求使 2 1 5 4 n Tmm 对所有的n N 都成立的最大 整数 m 的值 练习 已知数列 n a满足 1221 1 3 32 nnn aaaaa nN 1 证明 数列 1nn aa 是等比数列 2 求数列 n a的通项公式 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 4 页 课后练习 一 选择题 1 2010 辽宁 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn为其前n项和 已知a2a4 1 S3 7 则S5等于 A 15 2 B 31 4 C 33 4 D 17 2 2 在各项都为正数的等比数列 an 中 a1 3 前三项的和S3 21 则a3 a4 a5等于 A 33B 72C 84D 189 3 等比数列 an 前n项的积为Tn 若a3a6a18是一个确定的常数 那么数列T10 T13 T17 T25中也是常数 的项是 A T10B T13C T17D T25 4 2011 佛山模拟 记等比数列 an 的前n项和为Sn 若S3 2 S6 18 则S 10 S5 等于 A 3B 5C 31D 33 二 填空题 5 设 an 是公比为正数的等比数列 若a1 1 a5 16 则数列 an 前 7 项的和为 6 2011 平顶山月考 在等比数列 an 中 公比q 2 前 99 项的和S99 30 则a3 a6 a9 a99 7 2010 福建 在等比数列 an 中 若公比q 4 且前 3 项之和等于 21 则该数列的通项公式an 三 解答题 8 已知 n a为等比数列 324 20 2 3 aaa 求 n a的通项式 9 数列 n a前 n 项和记为 n S 1 1 a 1 21 1 nn aSn 1 求 n a 的的通项公式 2 等差数列 n b 的各项为正 其前 n 项和为 n T且 3 15 T 又 11 ab 2233 ab ab 成等比 数列 求 n T 田老师教学资料田老师教学资料启迪思维启迪思维拓展思路拓展思路 第 5 页 参考答案参考答案 1 B an 是由正数组成的等比数列 且a2a4 1 设 an 的公比为q 则q 0 且a 2 3 1 即a3 1 S3 7 a1 a2 a3 1 q 2 1 q 1 7 即 6q 2 q 1 0 故q 1 2或 q 1 3 舍去 a 1 1 q 2 4 S5 4 1 1 2 5 1 1 2 8 1 1 2 5 31 4 2 C由题可设等比数列的公比为q 则3 1 q 3 1 q 21 1 q q 2 7 q2 q 6 0 q 3 q 2 0 根据题意可知q 0 故q 2 所以a3 a4 a5 q 2S 3 4 21 84 3 Ca3a6a18 a 3 1q 2 5 17 a 1q 8 3 a3 9 即a9为定值 所以下标和为 9 的倍数的积为定值 可知T17为定值 4 D因为等比数列 an 中有S3 2 S6 18 即S 6 S3 a1 1 q 6 1 q a1 1 q 3 1 q 1 q 3 18 2 9 故q 2 从而S 10 S5 a1 1 q 10 1 q a1 1 q 5 1 q 1 q 5 1 25 33 5 127解 公比q 4 a5 a1 16 且 q 0 q 2 S7 1 2 7 1 2 127 6 120 7 解 S99 30 即a1 2 99 1 30 数列 a3 a6 a9 a99也成等比数列且公比为 8 a3 a6 a9 a99 4a 1 1 8 33 1 8 4a 1 2 99 1 7 4 7 30 120 7 7 4 n 1解 等比数列 a n 的前 3 项之和为 21 公比q 4 不妨设首项为a1 则a1 a1q a1q 2 a 1 1 4 16 21a1 21 a1 1 an 1 4 n 1 4n 1 8 解 设等比数列 an 的公比为 q 则 q 0 a2 a 3 q 2 q a4 a3q 2q 所以 2 q 2q 20 3 解得 q1 1 3 q2 3 当 q1 1 3 a 1 18 所以 an 18 1 3 n 1 18 3 n 1 2 3 3 n 当 q 3 时 a1 2 9 所以 an 2 9 3n 1 2 3 n 3 9 解 1 由 1 21 nn aS 可得 1 212 nn aSn 两式相减得 11 2 32 nnnnn aaa aan