2011考研数学高等数学基础课程讲义.pdf

1 基础班高等数学讲义 主讲 汪诚 第一章函数 极限 连续 基础班高等数学讲义 主讲 汪诚 第一章函数 极限 连续 1 1函数 甲 内容要点 一 函数的概念 1 函数的定义 设 D 是一个非空的实数集 如果有一个对应规划 f 对每一个xD 都能对应惟一的 一个实数 y 则这个对应规划 f 称为定义在 D 上的一个函数 记以 y f x 称 x 为函数的自 变量 y 为函数的因变量或函数值 D 称为函数的定义域 并把实数集 Zy yf x xD 称为函数的值域 2 分段函数 如果自变量在定义域内不同的值 函数不能用同一个表达式表示 而要用两上或两个以 上的表达式来表示 这类函数称为分段函数 例如 2 11 xx yf xxx xx 是一个分段函数 它有两个分段点 x 1 和 x 1 它们两侧的函数表达式不同 因此讨 论函数 y f x 在分段点处的极限 连续 导数等问题时 必须分别先讨论左 右极限 左 右连续性和左 右导数 需要强调 分段函数一般不是初等函数 不能用初等函数在定义域 内皆连续这个定理 3 隐函数 形如 y f x 有函数称为显函数 由方程 F x y 0 确定的 y y x 称为隐函数 有些隐 函数可以化为显函数 不一定是一个单值函数 而有些隐函数则不能化为显函数 4 反函数 如果 y f x 可以解出 xy 是一个函数 单值 则称它为 f x 的反函数 记以 1 xfy 有时也用 1 yfx 表示 二 基本初等函数 1 常值函数y C 常数 2 幂函数yx 常数 3 指数函数 x ya a 0 a 1 常数 x ye e 2 7182 无理数 2 4 对数函数logayx a 0 a 1 常数 常用对数 10 loglgyxx 自然对数logln e yxx 5 三角函数sin cos tan yx yx yx cot sec csc yx yx yx 6 反三角函数arcsin cos yx yarcx arctan cot yx yarcx 基本初等函数的概念 性质及其图像非常重要 影响深远 例如以后经常会用 lim arctan x x lim arctan x x 1 0 lim x x e 1 0 lim x x e 0 lim ln x x 等等 就需要对arctanyx x ye lnyx 的图像很清晰 三 复合函数与初等函数 1 复合函数 设 yf u 定义域U ug x 定义域X 值域U 如果 UU 则 yf g x 是定义在 X 上的一个复合函数 其中 u 称为中间变量 2 初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个分析表达式表示的函数称 为初等函数 四 函数的几种性质 1 有界性 设函数 y f x 在 X 内有定义 若存在正数 M 使xX 都有 f xM 则 称 f x 在 X 上是有界的 2 奇偶性 设区间X关于原点对称 若对xX 都有 fxf x 则称 fx 在X上是奇函数 若对xX 都有 fxf x 则称 fx在X上是偶函数 奇函 数的图像关于原点对称 偶函数图像关于y轴对称 3 单调性 设 fx在X上有定义 若对任意 1212 xXxXxx 都有 12 f xf x 12 f xf x 则称 f x在X上是单调增加的 单调减少的 若 对任意 1212 xXxXxx 都有 1212 f xf xf xf x 则称 f x在X 3 上是单调不减 单调不增 注意 有些书上把这里单调增加称为严格单调增加 把这里单调不减称为单调增加 4 周期性 设 f x在X上有定义 如果存在常数0T 使得任意xX xTX 都有 f xTf x 则称 f x是周期函数 称T为 f x的周期 由此可见 周期函数有无穷多个周期 一般我们把其中的最小正周期称为周期 乙 典型例题 一 求函数的定义域 例 1 求函数 2 lnlnln100fxxx 的定义域 解lnlnln x要有定义 xe 2 100 x 要有定义 2 10010 xx 因此 fx的定义域为 10e 例 2 求 1 ln5 yxx x 的定义域 解xx 要有定义 1x 和0 x 1 ln5x 要有定义 546xxx 因此 定义域为 014455 66 例 3 设 f x的定义域为 0aaa 求 2 1f x 的定义域 解要求 2 1axa 则 2 11axa 当1a 时 10a 2 1xa 则1xa 当01a 时 10a 11axa 也即11axa 或11axa 例 4 设 102 2 24 x g x x 求 21f xgxg x 的定义域 并求 3 2 f 4 解 g x的定义域为 0 4 要求024x 则02x 要求014x 则15x 于是 fx的定义域为 21 又 31 32 13 22 fgg 二 求函数的值域 例 1 求 1 3 3 1x ye 的值域 解我们先求出反函数 它的定义域就是原来函数的值域 3 3 33 11 ln 1 ln 1 yx y x 3 3 1 1 ln x y 它的定义域0y 且1y 所以原来函数的值域为 0 1 1 三 求复合函数有关表达式 1 已知 f x 和 g x 求 f g x 例 1 已知 1 x f x x 求 1 1 f f x 解 1 11 11 x f x xx 1 1 1 x f x 1x 于是 111 1 1 1 12 xx ff x f xxx 1 2xx 例 2 设 2 1 x f x x 求 n fff xfx n 重复合 解 2 2 2 222 1 1 11 1 2 f xxxx fxff x x xfxx 若 2 1 k x fx kx 则 2 1 2 22 1 1 11 k k k fxxx fx kx kxfx 2 1 1 x kx 5 根据数学归纳法可知 对正整数 n 2 1 n x fx nx 2 已知 g x 和 f g x 求 f x 例 1 设 2 1 xxx f eeex 求 f x 解令1 x eu ln 1 xu 22 1 1 ln 1 ln 1 f uuuuuuu 于是 2 ln 1 f xxxx 例 2 已知 xx fexe 且 1 0f 求 f x 解令 ln x et xt 因此 ln x t fef t t 22 1 1 ln11 1 lnln 22 x xt f xfdttx t 1 0f 2 1 ln 2 f xx 四 有关四种性质 例 1 设 F xf x 则下列结论正确的是 A 若 f x 为奇函数 则 F x 为偶函数 B 若 f x 为偶函数 则 F x 为奇函数 C 若 f x 为周期函数 则 F x 为周期函数 D 若 f x 为单调函数 则 F x 为单调函数 解 B 不成立 反例 3 2 1 3 x f xxF x C 不成立 反例 cos1 sinf xxF xxx D 不成立 反例 2 2 f xx F xx 在内 A 成立 证明 0 0 x F xFf t dt f 为奇函数 00 0 0 xx FxFf t dtFfu du 0 0 x Ff u duF x F x为偶函数 6 例 2 求 1 52 1 ln 1 xx Ix xeexxdx 解 1 xx f xee 是奇函数 2 112 ln 1 xx fxeef xfxxx 是奇函数 22 2 2 2 1 ln 1 ln 1 xx fxxx xx 2 2 ln1ln 1 xxfx 因此 2 ln 1 xx x eexx 是奇函数 于是 11 66 10 2 02 7 Ix dxx dx 例 3 两个周期函数之和是否仍是周期函数 解不一定 1 sincos 23 xx f x 1 sin 2 x fx 周期为 4 2 os 3 x fxc 周期为 6 4 和 6 的最小公倍数为 12 f x是以 12 为周期的函数 2 sin2cosf xxx 1 sin2fxx 周期为 2 osfxcx 周期为2 和 2 没有最小公倍数 f x不是周期函数 3 sin2 1 sin2 f xxx 1 sin2fxx 周期为 2 1 sin2fxx 周期为 虽然 1 f x 2 fx不但都是周期函数 而且它们的周期有最小公倍数 但是 12 1f xf xfx 却不是周期函数 因为没有最小正周期 7 例 4 设 f x g x是恒大于零的可导函数 且 0fx g xf x g x 则 当axb 时 下列结论成立的是 A f x g bf b g x B f x g af a g x C f x g xf b g b D f x g xf a g a 解 2 1 0 f x fx g xf x g x g xgx f x g x 单调减少 于是 xN 时 就有 n xA 2 lim x f xA 任给0 存在正整数 X 当x X 时 就有 f xA 3 lim x f xA 任给0 存在正整数 X 当x X 时 就有 f xA 4 lim x f xA 任给0 存在正整数 X 当 x X 时 就有 f xA 5 0 lim xx fxA 任给0 存在正数 当 0 0 xx 时 就有 f xA 6 0 lim xx fxA 用 0 0fx 表示 任给0 存在正数 当 0 0 xx 时 就有 fxA 7 0 lim xx fxA 用 0 0f x 表示 8 任給0 存在正数 当 0 0 xx 时 就有 f xA 其中 0 0fx 称为 fx在 0 x处右极限值 0 0fx 称为 fx在 0 x处左极限值 有时我们用 lim f xA 表示上述六类函数的极限 它具有的性质 上述六类函数极 限皆具有这种性质 有时我们把 n xf n 即数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特 例 以便于讨论 2 极限的基本性质 定理 1 极限的惟一性 设 lim f xA lim f xB 則AB 定理 2 极限的不等式性质 设 lim f xA limg xB 若x变化一定以后 总有 f xg x 则AB 反之 AB 则x变化一定以后 有 fxg x 注 当 00g xB 情形也称为极限的保号性 定理 3 极限的局部有界性 设 lim f xA 则当x变化一定以后 f x有界 的 定理 4设 lim f xA limg xB 则 1 lim f xg xAB 2 limf xg xAB 3 limf xg xA B 4 lim fxA g xB 0B 5 lim g x B fxA 0A 二 无穷小量 1 无穷小量定义 若 lim0f x 则称 fx为无穷小量 注 无穷小量与x的变化过程有关 1 lim0 x x 当x 时 1 x 为无穷小量 而 0 xx 或其他时 1 x 不是无穷小量 2 无穷大量定义 任給0M 当x变化一定以后 总有 fxM 则称 fx为 9 无穷大量 记 lim f x 3 无穷小量与无穷大量的关系 在x的同一个变化过程中 若 f x为无穷大量 则 1 fx 为无穷小量 若 f x为无穷小量且 0f x 则 1 fx 为无穷大量 4 无穷小量与极限的关系 lim f xAfxAa x 其中 lim0a x 5 两个无穷小量的比较 设 lim0 lim0f xg x 且 lim f x l g x 1 0l 称 fx是比 g x高阶的无穷小量 记以 fxo g x 称 g x是比 fx低阶的无穷小量 2 0l 称 f x与 g x是同阶无穷小量 3 1l 称 f x与 g x是等价无穷小量 记以 f xg x 6 常见的等价无穷小量当0 x 时 sintanarcsinarctanxxxxxxxx 2 1 1 cos1ln 111 2 a x xxexxxxax a为实常数 7 无穷小量的重要性质 有界变量乘无穷小量仍是无穷小量 三 求极限的方法 1 利用极限的四则运算和幂指数运算法则 2 两个准则 准则 1单调有界数列极限一定存在 1 若 1nn xx n为正整数 又 n xm n为正整数 则lim n n xA 存在且Am 2 若 1nn xx n为正整数 又 n xm n为正整数 则lim n n xA 存在且Am 准则 2 夹逼定理 设 g xf xh x 若 limlimg xAh xA 则 lim f xA 10 3 两个重要公式 公式 1 0 sin lim1 x x x 公式 2 1 lim 1 n n e n 1 lim 1 u u e u 1 0 lim 1 v v ve 4 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 5 用泰勒公式 比用等价无穷小量更深刻 当0 x 时 2 1 2 n xn xx exo x n 3521 21 sin1 3 5 21 n n n xxx xxo x n 242 2 cos11 2 4 2 n n n xxx xo x n 23 1 ln 11 23 n n n xxx xxo x n 3521 21 arctan1 3521 n n n xxx xxo x n 2 111 11 2 nn n xxxxo x n 为实常 数 6 洛必达法则 法则 1 0 0 型设 1 lim0f x lim0g x 2 x变化过程中 fx gx 皆存在 3 lim fx A gx 或 则 lim f x A g x 或 注 如果 lim fx gx 不存在且不是无穷大量情形 则不能得出 lim fx g x 不存在且不是 无穷大量情形 11 法则 2 型设 1 lim f x limg x 2 x变化过程中 fx gx 皆存在 3 lim fx A gx 或 则 lim f x A g x 或 7 利用导数定义求极限 基本公式 00 0 0 lim x f xxf x fx x 如果存在 8 利用定积分定义求极限 基本公式 1 1 1 lim 0 n n k k ff x dx nn 如果存在 9 其他综合方法 10 求极限的反问题有关方法 乙 典型例题 一 通过各种基本技巧化简后直接求出极限 例 1 设 n 0 b0 m a 求 1 110 1 110 lim mm mm nn x nn a xaxa xa b xbxb xb 解 1 110 1 110 lim mm mm nn x nn a xaxa xa b xbxb xb 11 110 11 110 lim m nmm mm nn x nn xaaxa xa x bbxb xb x 0 m n mn a mn b mn 当时 当时 当时 例 2 设0a 1r 求 1 lim n n aarar 解 1 1 lim lim 11 n n nn ra aarara rr 12 特例 1 求 23 1 2222 lim 1 3333 n n n 解例 2 中取 2 3 a 2 3 r 可知原式 2 2 3 25 1 3 2 11 1 2422 lim 33 11 1 2 33 n n n 例 3 求 1 1 32 lim 23 nn nn n 解分子 分母用 3 n除之 原式 2 3 3 lim3 2 21 3 n n n 注 主要用当1r 时 lim0 n n r 例 4 设 l 是正整数 求 1 1 lim n n k k kl 解 11 11 k kllkkl 1 111111 1 21 n k k klllnnl 因此原式 1 11 1 2ll 特例 1 1 1 lim1 1 n n k k k l 1 2 1 1113 lim1 2 224 n n kk k l 2 例 6 设 d 0 为常数 求 222 111 1 lim n dnd nnn 13 解原式 2 1 lim11 1 22 n nd nd n 特例 1 d 222 121 lim 2 n n nnn 2 d 222 1321 lim1 n n nnn 例 7 求下列各极限 1 0 11 lim x xx x 2 33 0 11 lim x xx x 解 1 解一原式 0 112 lim1 2 11 x xx xxx 解二原式 0 1111 lim x xx x 0 1 22 lim1 x x x x 等价无穷小量代换 解三用洛必达法则 1 原式 0 1 1 2 12 1 lim1 1 x xx 2 解一原式 22 0 3333 112 lim 3 1111 x xx xxxxx 解二类似 1 中解二用等价无穷小量代换 解三类似 1 中解三用洛必达法则 例 8 求下列极限 1 设1r 22 lim 1 1 1 n n rrr 2 222 111 lim 111 23 n n 解 1 分子分母都乘 1 r 则原式 1 2 11 lim 11 n n r rr 2 原式 111111 lim 111111 2233 n nn 14 1 3 2 41111 limlim 2 2 3 322 nn nnn nnn 二 用两个重要公式 例 1 求limcoscoscos 242n n xxx 解当 x 0 时 原式 1 当 x 0 时 原式 2 sincoscoscos 2242 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x 1 11 2coscoscossin 2422 lim 2 sin 2 n nn n n n xxxx x sinsinsin 2 limlim 2 sinsin 22 n nn n nn x xxx xx xx 2 lim1 sin 2 n n n x x 例 2 求下列极限 1 10 2 lim 1 x x x 2 1 0 1 lim 1 x x x x 解 1 2 10 10 2 22 lim 1lim 1 xx x x nx xx 10 21 2 2 2 lim1 x x x e x 2 解一 11 1 1 1 2 00 1 0 0 lim 1lim 1 1 lim 1 lim 1 xx x xx x x x xx xe e xee x 解二 1211 21 2 000 1122 limlimlim 1 111 x xx xx xxx xxxx e xxx 例 3 求下列极限 1 cot 0 lim 1tan x x x 2 4 1 1 lim x x x 15 3 2 cot 0 lim cos x x x 解 1 令tan xt 则 1 cot x t 当0 x 时0t 于是 1 cot 00 lim 1tan lim 1 x t xt xte 2 令1xt 则1xt 当1x 时 0t 于是 4 44 1 4 1 100 limlim 1 lim1 xt t xtt xtte 3 2 2 2 2 2 cos 1cos cot22 2sin2 sin 000 lim cos lim 1 sin lim 1 sin x x x x x xxx xxx 1 2 e 三 用夹逼定理求极限 例 1 求 1 3 521 lim 2 4 62 n n n 解令 1 3 521 2 4 62 n n x n 2 42 3 521 n n y n 则0 xn yn 于是 2 1 0 21 nnn xx y n 由夹逼定理可知 2 lim0 n x x 于是原极限为 0 例 2 求下列极限 1 2 1 1 lim n n knk 2 2 1 lim n n k k nnk 解 1 222 1 1 1 n k nn nnnkn 而 2 1 limlim1 1 1 nn n nn n 2 2 1 limlim1 1 1 1 nn n n n 由夹逼定理可知 2 1 1 lim1 n n knk 2 222 1 121 2 1 n k nkn nnnnnknn 16 而 2 1 1 1 21 2 limlim 2 2 2 nn n n n nnn n 22 1 1 1 21 2 limlim 112 nn n n n nnnn 则夹逼定理可知 2 1 1 lim 2 n n k k nnk 四 用定积分定义求数列的极限 例 1 求 22 1 lim n n k n nk 分析如果还想用夹逼定理中方法来考虑 22 222222 1 1 n k nnn nnnkn 而 2 22 1 lim 2 n n nn 2 22 lim1 1 n n n 由此可见 无法再用夹逼定理 因此我们改用定积分定义来考虑 解 222 11 11 limlim 1 nn nn kk n nkn k n 1 1 20 0 arctan 14 dx x x 例 2 设1p 求 1 12 lim ppp p n n n 解原式 1 1 lim p n n k k nn 1 0 p x dx 1 1p 五 用洛必达法则求极限 1 0 0 型和 型 17 例 1 求 3 11 sin lim 1 sin n nn n 解离散型不能直接用洛必达法则 故考虑 33 00 sinsin limlim sin xx xxxx xx 等价无穷小代换 2 00 1 cossin1 limlim 366 xx xx xx 原式 1 6 例 2 求 2 1 10 0 lim x x e x 解若直接用 0 0 型洛必达法则 1 则得 2 2 1 1 3 912 00 2 limlim 105 x x xx e ex xx 不好办了 分 母 x 的次数反而增加 为了避免分子求导数的复杂性 我们先用变量替换 令 2 1 t x 于是 2 1 5 105 0 limlimlim t x t xtt eet xte 型 4 55 limlim0 tt tt t ee 2 型和 0 型 例 1 求 0 11 lim 1 x x xe 解 00 11 1 limlim 1 1 x xx xx ex xex e 0 0 型 00 1 limlim 1 xx xxxxx xx ee exeeexe 0 11 lim 22 xx 例 2 求 2 22 0 1cos lim sin x x xx 解原式 222 22 0 sincos lim sin x xxx xx 18 22 4 0 1sin 2 4 lim x xx x 3 0 4 2sin 2 cos2 4 lim 4 x xxx x 3 0 1sin4 4 lim 2 x xx x 2 00 1 cos44sin 44 limlim 6123 xx xx xx 例 3 求 2 0 lim sinln x xx 解原式 2 2 00 ln limlnlim xx x xx x 型 1 3 0 lim0 2 x x x 3 1 型 00 型和 0 型 这类都是 lim g x f x形式 可化为 lim ln g xf x e 而 lim ln g xf x都是 0 型 按 2 的情形处理 例 1 求 2 sin 0 lim x x x 解令 2 sin x yx 2 lnsinlnyxx 2 00 lim lnlim sinln0 xx yxx 见 2 中例 3 0 0 lim1 x ye 例 2 求 2 cot 0 lim cos x x x 前面已用重要公式的方法 解令 2 cot cos x yx 2 lncotlncosyxx 2 22 0000 lncoslncos limlnlimcotlncoslimlim tan xxxx xx yxx xx 0 0 型 0 tan1 lim 22 x x x 1 2 0 lim x ye 例 3 求 11 lim sincos x x xx 解令 11 sincos x y xx 11 lnln sincosyx xx 19 0 11 ln sincos ln sincos limlnlimlim 1 xxt ttxx y t x 0 cossin lim1 sincos t tt tt lim x ye 六 用无穷小量重要性质和等价无穷小量代换 例 1 求 32 2 1 limsin1 31 n nn n n 解 3 32 23 111 1 limlim0 1 31 3 nn nn nnn n n 2 sin11n 根据有界变量乘无穷小量仍是无穷小量 可知原式 0 例 2 求 0 1 cos2 arctan3 lim 1 ln 1 2 sin5 x x xx exx 解用等价无穷小量代换 原式 2 0 1 2 3 3 2 lim 2 5 5 x xx xxx 例 3 求 2 0 1 3sincos lim 1 cos ln 1 x xx x xx 解这个极限虽是 0 0 型 但分子 分母分别求导数后的极限不存在 因此不能用洛 必达法则 原式 0 sin1 3cos 13 lim ln 1 1cos2 x x x xx x x x 七 用泰勒公式求极限 例 1 求 3 5 0 1 sin 6 lim x xxx x 解 35 5 sin 3 5 xx xxo x 当0 x 时 20 原式 5 5 5 0 11 5 lim 5 120 x x o x x 八 用导数定义求极限 例 1 设 0 2fx 求 00 0 3 2 lim x f xxf xx x 解原式 0000 0 3 2 lim x f xxf xf xxf x x 0000 00 3 2 3lim2 lim 32 xx f xxf xf xxf x xx 000 3 2 5 10fxfxfx 例 2 设曲线 yf x 与sinyx 在原点相切 求 2 lim n nf n 解由题设可知 0 0f 0 0 sin 1 x fx 于是 2 0 2 limlim22 0 2 2 0 nn ff n nff n n 九 求递归数列的极限 例 1 设0 a 1 0 xb 21 1 1 2 a xx x 1 1 1 2 nn n a xx x 求lim n n x 解 1 1 0 nn n a xxa x 算术平均值 几何平均值 又 2 1 1 0 22 n nnnn nn axa xxxx xx 则 1nn xx 因此 n x单调减少 又有下界 根据准则 1 lim n n xA 存在 把 1 1 1 2 nn n a xx x 两边取极限 得 1 2 a AA A 2 Aa A 0 取Aa 于是lim n n xa 21 十 求分段函数的极限 例 1 求下列函数在分段点处的极限 2 sin2 0 1 cos x x x f x x x x 解 00 sin2sin2 00 limlim 22 2 xx xx f xx 22 00 2 00 limlim2 1 1 cos 2 xx xx f x x 0 lim 2 x f x 例 2 求 1 4 0 2sin lim 1 x x x ex x e 解 1 4 0 2sin lim2 11 1 x x x ex x e 43 4 0 2sin lim0 11 1 xx x x eex x e 1 4 0 2sin lim1 1 x x x ex x e 十一 求极限的反问题 例 1 设 2 2 1 lim3 sin 1 x xaxb x 求 a 和 b 解由题设可知 2 1 lim 0 x xaxb 1 a b 0 再对极限用洛必达法则 2 22 11 22 limlim3 sin 1 2 cos 1 2 xx xaxbxaa xxx 4 5ab 22 例 2 设 2 00 1 lim1 sin x x t dt bxxat 求 a 和 b 解把极限用洛必达法则 原式左边 2 0 lim cos x xax bx 如果1b 则极限值为 0 今极限为 1 则1b 因此原式左边 2 00 122 limlim 1 cos xx x xaxaxa 由 2 1 a 得出a 4 1 3连续 甲 内容要点 一 函数连续的概念 1 函数在点 0 x处连续 定义 1设函数 yfx 在点 0 x的某个邻域内有定义 如果当自变量的改变量x 初 值为 0 x 趋近于 0 时 相应的函数改变量y 也趋近于 0 即 0 lim0 x y 或 00 0 lim0 x fxxfx 则称函数 yfx 在点 0 x处连续 函数 yf x 在点 0 x处连续也可作如下定义 定义 2设函数 yf x 在点 0 x的某个邻域内有定义 如果当 0 xx 时 函数 f x 的极限值存在 且等于 0 x处的函数值 0 fx 即 0 0 lim xx fxfx 则称函数 yf x 在点 0 x处连续 此时有 00 0 limlim xxxx fxfxfx 并且有 00 0 limlim xxxx f xfxfx 即如果函数在点 0 x处连续 则在点 0 x处可以交换极限号和函数号的顺序 23 定义 3设函数 yfx 如果 0 0 lim xx f xfx 则函数 fx在点 0 x处左连续 如果 0 0 lim xx fxfx 则称函数 fx在点 0 x处右连续 由上述定义 2 可知 如果函数 yf x 在点 0 x处连续 则 f x在 0 x处既左连续也右 连续 2 函数在区间内 上 连续的定义 如果函数 yfx 在开区间 ab 内的每一点都连续 则称 fx在 ab 内连续 如果 yfx 在开区间内连续 在区间端点a右连续 在区间端点b左连续 则称 f x在闭区间 ab 上连续 二 函数的间断点及其分类 1 函数的间断点的定义 如果函数 yfx 在点 0 x不连续 则称 0 x为 fx的间断点 2 函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类 1 第一类间断点 设 0 x是函数 yfx 的间断点 如果 fx在间断点 0 x处的左 右极限都存在 则称 0 x是 f x的第一类间断点 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点 2 第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点 例如0 x 是 sin x f x x 的可去间断点 是 x f x x 的跳跃间断点 是 1 f x x 的 无穷间断点 是 1 sinf x x 的振荡间断点 三 初等函数的连续性 1 在区间I连续的函数的和 差 积及商 分母不为零 在区间I仍是连续的 2 由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数 3 在区间I连续且单调的函数的反函数 在对应区间仍连续且单调 4 基本初等函数在它的定义域内是连续的 5 初等函数在它的定义区间内是连续的 四 闭区间上连续函数的性质 在闭区间 ab 上连续的函数 f x 有以下几个基本性质 这些性质以后都要用到 定理 1 有界定理 如果函数 fx在闭区间 ab 上连续 则 fx必在 ab 上 24 有界 定理 2 最大值和最小值定理 如果函数 f x在闭区间 ab 上连续 则在这个区 间上一定存在最大值M和最小值m 其中最大值M和最小值m的定义如下 定义设 0 fxM 是区间 ab 上某点 0 x处的函数值 如果对于区间 ab 上 的任一点x 总有 fxM 则称M为函数 fx在 ab 上的最大值 同样可以定义 最小值m 定理 3 介值定理 如果函数 fx在闭区间 ab 上连续 且其最大值和最小值分 别为M和m 则对于介于m和M之间的任何实数C 在 ab 上至少存在一个 使得 fC 推论如果函数 fx在闭区间 ab 上连续 且 f a与 f b异号 则在 ab 内 至少存在一个点 使得 0f 这个推论也称为零点定理 思考题 什么情况下能保证推论中的 是惟一的 乙 典型例题 一 讨论函数的连续性 由于初等函数在它的定义区间内总是连续的 所以 函数的连续性讨论多是指分段函数 在分段点处的连续性 对于分段函数在分段点处的连续性 若函数在分段点两侧表达式不同 时 需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论 例 1 讨论函数 1 0 00 1 sin0 x ex fxx xx x 在点0 x 处的连续性 解因 1 00 00limlim0 x xx ffxe 00 1 00limlimsin0 xx ff xx x 00f 25 即有 00000fff 故 fx在点0 x 连续 例 2 讨论函数 ln 1 0 1 0 2 11 0 x x x f xx x x x 在点0 x 的连续性 解 1 00 ln 1 00limlim ln 1 1 x xx x fx x 00 1111 00limlim 211 xx x f xx 因 0000ff 因而 0 lim x fx 不存在 故 fx在点0 x 不连续 二 已知函数的连续性求未知参数 例 1 设 sin 0 0 x x f xx kx 在0 x 处连续 求常数 k 解 00 sin limlim1 xx x f x x 0fk 由连续性可知1k 例 2 如果函数 1sin 0 0 1 sin0 xx x f xpx xqx x 在0 x 处连续 求常数 p 和 q 解 00 1 limlimsin1 0 xx f xxfp x 由 f x在0 x 处连续性可知1p 又 00 1 limlimsin 0 1 xx fxxqq f x 由 f x在0 x 处连续性可知1q 26 三 求函数的间断点并确定其类型 例 1 求函数 3 1 1 x f x x 的间断点 并确定其类型 解显然1x 是间断点 由于 33 1132 33 11 limlim 1 11 xx xx x xxx 3213 11 lim 3 1 x xx 所以1x 是 fx的可去间断点 例 2 求函数 2 2 2 4 xx f x x x 的间断点 并确定其类型 解所给函数在点0 x 2 2 没有定义 因此0 x 2 2 是所给函数的间断点 下面确定它们的类型 对于0 x 由于 0 2 1 00 lim 2 2 2 x x x f x xx 0 2 1 00 lim 2 2 2 x x x f x xx 故0 x 是第一类间断点 且为跳跃间断点 对于2x 由于 2 2 20 20 lim 2 2 x x x ff x xx 故2x 是第二类间断点 且为无穷间断点 对于2x 由于 2 2 1 20 20 lim 2 2 4 x x x ff x xx 故2x 是第一类间断点 且为可去间断点 若补充定义 1 2 4 f 则 f x在2x 连 续 例 3 设 f x在 内有定义 且lim x f xa 1 0 0 0 fx g xx x 则下列结论中正确的是 A 0 x 必是 g x的第一类间断点 27 B 0 x 必是 g x的第二类间断点 C 0 x 必是 g x的连续点 D g x在0 x 处的连续性与 a 的取值有关 解 00 1 lim limlim xxt g xff ta x 0a 时0 x 是 g x的连续点 0a 时 0 x 是 g x的可去间断点故选 D 例 4 设 f x g x在 内有定义 f x为连续 且 0f x g x 有间断点 则下列函数中必有间断点为 A g f x B 2 g x C f g x D g x f x 解 A 不一定有间断点例 1 0 1 ln nxn yaa 3 sinyx sin 2 n n yx p 骣 桫 4 cosyx cos 2 n n yx p 骣 桫 5 lnyx 1 1 1 nnn ynx 例 1 设 k yx k 正整数 求 n y n 正整数 解 1 1 0 kn n k kknxnk y nk L 例 2 设 1 n x y x 求 n y n 正整数 解 12 11 1 1 11 n nn x yxxx xx L 1 1 1 1 n n n n yx x 轾 犏 臌 41 例 3 设 2 1 32 y xx 求 n y n 正整数 解 11111 21 1221 yxx xxxx 22 2 1 yxx 轾 犏 臌 33 1 2 2 1 yxx 轾 犏 臌 1 1 1 2 1 nnnn ynxx 轾 犏 臌 例 4 设 44 sincosyxx 求 n y n 正整数 解 22 1cos21cos2 22 xx y 骣骣 鼢珑 鼢 珑 鼢珑 桫桫 2 131 22cos 2cos4 444 xx 1 1 4 cos 44cos 4 422 nnn nn yxx pp 骣骣 鼢珑 鼢 珑 鼢珑 桫桫 g 42 2 2微分中值定理 本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值 定理和泰勒定理 泰勒公式 这部分有关考题主要是证明题 其中技巧性比较高 因此典型例题比较多 讨论比较详 细 甲 内容要点 一 罗尔定理 设函数 f x满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 f af b 则存在 abx 使得 0fx 几何意义 条件 1 说明曲线 yf x 在 A a f a和 B b f b之间是连续曲线 包 括点A 和点 B 条件 2 说明曲线 yf x 在 A B 之间是光滑曲线 也即每一点都有不垂直于 x 轴 的切线 不包括点 A 和 B 条件 3 说明曲线 yf x 在端点 A 和 B 处纵坐标相等 结论说明曲线 yfx 在 A 点和 B 点之间 不包括点 A 和 B 至少有一点 它的切线 平行于x轴 二 拉格朗日中值定理 设函数 fx满足 1 在闭区间 ab 上连续 2 在开区间 ab 内可导 则存在 ab 使得 f bf a f ba 或写成 f bf afbaab 有时也写成 000 01fxxf xfxxx 43 这里 0 x相当a或b都可以 x 可正可负 几何意义 条件 1 说明曲线 yfx 在点 A af a 和点 Bf bb 之间 包 括点 A 和点 B 是连续曲线 条件 2 说明曲线 yfx 不包括点 A 和点 B 是光滑曲线 结论说明曲线 yfx 在 A B 之间 不包括点 A 和点 B 至少有一点 它的切线与割 线 AB 是平行的 推论 1若 fx在 ab 内可导 且 0fx 则 fx在 ab 内为常数 推论 2若 f xg x 在 ab 内皆可导 且 fxgx 则在 ab 内 f xg xc 其中c为一个常数 注 拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广 当 f af b 时的特殊情形 就是罗 尔定理 三 柯西中值定理 设函数 f x和 g x满足 1 在闭区间 ab 上皆连续 2 在开区间 ab 内皆可导且 0gx 则存在 ab 使得 f bf af ab g bg ag 注 柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广 特殊情形 g xx 时 柯西中值定 理就是拉格朗日中值定理 几何意义 考虑曲线 AB的参数方程 xg t tab yf t 点 A g af a 点 B g bf b 曲线 AB上是连续曲线 除端点处是光滑曲线 那么在曲线上至少有一点 它的切线平行于割线AB 值得注意 在数学理论上 拉格朗日中值定理最重要 有时也称为微分学基本定理 罗 尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理 柯西中值定理虽然更广 但用得不太多 在考研 数学命题中 用罗尔定理最多 其次是用拉格朗日中值定理 而用柯西中值定理也是较少 44 四 泰勒定理 泰勒公式 定理 1 皮亚诺余项的n阶泰勒公式 设 fx在 0 x处有n阶导数 则有公式 2 000 0000 1 2 n n n fxfxfx fxf xxxxxxxRx n 0 xx 其中 00 n n Rxoxxxx 称为皮亚诺余项 0 0 lim0 n n xx Rx xx 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形 根据不同情形取适当的n 所以对常用的 初等函数如sincosln 1 1 xa exxxx 和 a为实常数 等的n阶泰勒公式都要熟记 定理 2 拉格朗日余项的n阶泰勒公式 设 fx在包含 0 x的区间 ab 内有1n 阶导数 在 ab 上有n阶连续导数 则对 xab 有公式 2 000 0000 1 2 n n n fxfxfx fxf xxxxxxxRx n 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 在 0 x与x之间 称为拉格朗日余项 上面展开式称为以 0 x为中心的n阶泰勒公式 当 0 0 x 时 也称为n阶麦克劳林公式 如果 lim0 n n Rx 那么泰勒公式就转化为泰勒级数 这在后面无穷级数中再讨论 乙 典型例题 一 用罗尔定理的有关方法 例 1 设 fx在 0 3上连续 在 0 3内可导 且 0123fff 45 31f 试证 必存在 0 3 使 0f 证 f x 在 0 3上连续 f x 在 0 2上连续 且有最大值M和最小值m 于是 0 mfM 1 mfM 2 mfM 故 1 0 1 2 3 mfffM 由连续函数介值定理可知 至少存在一点 c 0 2 使得 1 0 1 2 1 3 f cfff 因此 3f cf 且 f x在 c 3上连续 c 3内可导 由罗尔定理得出必存 在 0 3 c 3 使得 0f 例 2 设 fx在 0 1上连续 在 01 内可导 且 2 3 1 30fx dxf 求证 存在 0 1x 使 0fx 证由积分中值定理可知 存在 轾 犏 臌 2 1 3 c 使得 2 3 1 2 1 3 f x dxf c 得到 2 3 1 3 0 f cfx dxf 对 f x在 0c 上用罗尔定理 三个条件都满足 故存在 0 01 c x翁 使 0fx 二 用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法 1 用拉格朗日中值定理的有关方法 例 1 设0 x 试证 ln 1 1 x xx x 证令 ln 1 f tt 它在 0 x上满足拉格朗日中值定理条件 1 1 ft t 1 ln 1 ln10 1 xx x 0 xx 因此ln 1 1 x x x 0 xx 于是ln 1 1 x xx x 2 0 x 恒有 1212 f xxf xf x 证不妨假设 12 xx 由拉格朗日中值定理有 1111 0 0 f xf xfxfx 11 0 xx 1221222 f xxf xxxxfx 2212 xxxx 从 而 可 知 12 xx 0fx 这样由 两式可知 1122 f xf xxf x 因此 1212 f xxf xf x 成立 2 用拉格朗日中值定理和柯西中值定理 例 1 设 fx在 ab 上连续 ab 内可导 且0ba 证明 存在 a bx a bh 使 2 ab f f x h x g 证考虑柯西中值定理 g x待定 47 ff bf afba g bg ag bg ag xh x 最后一步是把分子用拉格朗日中值定理 再把欲证的结论变形 22 2 fffba ab ba xhh x 两式比较 看出令 2 g xx 即可 类似地 欲证 22 2 3 fbaba f x h x g 则取 3 g xx 即可 三 用泰勒公式的有关方法 例 1 设函数 fx在 01 上二阶可导 且 0010fff 11f 求证 存在 0 1x 使得 4fx 证先把 f x在0 x 处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式 2 1 1 00 2 fxffxfx 1 0 x 再把 fx在1x 处展成拉格朗日型余项的一阶泰勒公式 2 2 1 1111 2 fxffxfx 2 1 x 在上面两个公式中皆取 1 2 x 则得 1 11 28 ff 1 1 0 2 2 11 1 28 ff 2 1 1 2 两式相减 得 12 8ff 于是 12 8ffxx 因此 12 max 4ffxx 亦即证明存在 0 1x 使 4fx 48 2 3导数的应用