清华大学量子力学讲义 庄鹏飞教授.pdf

1 2 Schroedinger 绘景与绘景与 Heisenberg 绘景绘景 1 么正变换的两种方式 么正变换的两种方式 前面讨论的空间平移变换前面讨论的空间平移变换 U dx和时间平移变换和时间平移变换 U dt都是对态的作用 都是对态的作用 1 1 i U dxp dx i U dtHdt 而力学量保持不变 可观测量 即而力学量保持不变 可观测量 即力学量矩阵元的力学量矩阵元的时间时间变化是由态的变化因起变化是由态的变化因起 的的 AUA UU AU 这一这一时间时间变化既可以看成变化既可以看成 U 力学量力学量 A保持不变 保持不变 也可以看成也可以看成 AU AU 态态 保持不变 保持不变 两种形式完全等价 不影响力学量的矩阵元两种形式完全等价 不影响力学量的矩阵元的时间变化的时间变化 特别是不影响力学量 特别是不影响力学量 的平均值 例如 空间平移的作用也可以表示为的平均值 例如 空间平移的作用也可以表示为 不变 不变 11 iii xUdx xU dxp dx xp dxxp dxxxdx 2 时间演化的 时间演化的 Schroedinger 绘景与绘景与 Heisenberg 绘景绘景 Schroedinger 绘景 绘景 态随态随时间演化时间演化 0 i Ht SS tU tU te 力学量保持不变力学量保持不变 S A Heisenberg 绘景 绘景 力学量的时间演化力学量的时间演化 0 HH AtUt AU t 态保持不变态保持不变 H 2 考虑相同的初始条件 考虑相同的初始条件 0 0 HS SH AA 这也是两个绘景的联系 这也是两个绘景的联系 注意 注意 1 内积 包括矩阵元 内积 包括矩阵元 几率几率幅和平均值 与绘景无关 幅和平均值 与绘景无关 0 0 0 0 SSSH SSSH ttU U 2 由于么正变换不改变对易关系 如果在 由于么正变换不改变对易关系 如果在 Schroedinger 绘景有对易绘景有对易 关系关系 SSS ABC 即 即 Heisenberg 绘景的初绘景的初始对易关系始对易关系 0 0 0 HHH ABC 则 则 容易证明容易证明有等时对易关系有等时对易关系 HHH AtBtCt 3 上面时间演化算符 上面时间演化算符 i Ht U te 中的哈密顿算符是在中的哈密顿算符是在 Schroedinger 绘景引入的 绘景引入的 S HH 但是 但是 SS ii H tH t HSSS HtUt H U teH eHH 上面只讨论了态和力学量的时间演化 基矢是否也象一般矢量一样随时间上面只讨论了态和力学量的时间演化 基矢是否也象一般矢量一样随时间 变化 变化 基矢是力学量的本征态 随时间的变化由力学量确基矢是力学量的本征态 随时间的变化由力学量确定 定 在在 Schroedinger 绘景 绘景 SSS A aa a 力学量力学量 S A不含时间 基矢不含时间 基矢 S a也不随时间变化 也不随时间变化 在在 Heisenberg 绘景 绘景 HHH At a ta a t 因为因为 H A依赖时间 故依赖时间 故 H a必依赖于时间 必依赖于时间 由由 SHHSHH Ut AU t a ta a tAU t a taU t a t 与与 Schroedinger 绘景的本征方程比较 有绘景的本征方程比较 有 0 HSHSH U t a taa tUt aUt a 3 总结 总结 Schroedinger 绘景绘景 Heisenberg 绘景绘景 态态 0 SS tU t H 与时间无关与时间无关 力力学量学量 S A与时间无关与时间无关 0 HH AtUt AU t 基矢基矢 S a与时间无关与时间无关 0 HH a tUt a 3 Heisenberg 绘景中的运动方程绘景中的运动方程 由于经典力学中只有力学量随时间演化 不引入态矢量的概念 因此 量由于经典力学中只有力学量随时间演化 不引入态矢量的概念 因此 量 子力学的子力学的 Heisenberg 绘景更容易与经典力学比较 绘景更容易与经典力学比较 对对 0 ii HtHt HH AteAe 求时间微分 得到求时间微分 得到 Heisenberg 运动方程运动方程 1 H H dAt At H dti 其地位类似于其地位类似于 Schroedinger 绘景中的态方程绘景中的态方程 SS itHt t 比较经典分析力学中的运动方程比较经典分析力学中的运动方程 poisson dA A H dt 得到从经典力学到量子力学的方法 即得到从经典力学到量子力学的方法 即正则量子正则量子化化 1 poisson i 经典力学量子力学 4 Ehrenfest 定律定律 如何构造如何构造 H 有经典对应的量子体系 分析力学的 有经典对应的量子体系 分析力学的 H x p 量子力学的量子力学的 H x p 对于对于自由粒子 自由粒子 2 2 p H m 4 Heisenberg 运动方程运动方程 下面忽略力学量的下标 下面忽略力学量的下标 2 1 0 0 11 0 0 0 2 dp p Hp tp dti dxp tpp x Hx px txt dtii mmmm 对于一般体系对于一般体系 2 2 p HV x m Heisenberg 运动方程运动方程 11 dp p Hp V x dtii 将将 V x按按 x的级数展开 并应用的级数展开 并应用 ijij x pi 有 有 dp V x dt 2 2 2 11 2 dxp x Hx p dtii mm d xdp mV x dtdt 两边求两边求平均 平均 2 2 dd mxpV x dtdt 此即此即 Ehrenfest 定律 对应经典力学中的牛顿定律 由于内积与绘景无关 关定律 对应经典力学中的牛顿定律 由于内积与绘景无关 关 于平均值的于平均值的 Ehrenfest 定律与绘景无关 定律与绘景无关 以下没有特殊说明 一般是在以下没有特殊说明 一般是在 Schroedinger 绘景讨论问题 绘景讨论问题 3 一维线性谐振子一维线性谐振子 对于任意势 在最小点对于任意势 在最小点 0 x 附近按附近按 Taylor 展开 展开 2 00000 1 2 V xV xVxxxVxxx 5 其中 常数项其中 常数项 0 V x可以归并到能量中去 在可以归并到能量中去 在势势最小值点 有最小值点 有 0 0Vx 略去高 略去高 阶项 有阶项 有 2 00 1 2 V xVxxx 近似为谐振子势 故研究谐振子问题具有普遍意义 近似为谐振子势 故研究谐振子问题具有普遍意义 经典 经典 2 22 1 22 p Hmx m 量子 量子 2 22 1 22 p Hmx m x pi 由于由于 1 22 mii Hxpxp mm 定义新算符定义新算符 2 mi axp m 2 mi axp m 则则 1 2 1 Ha a a a 显然 显然 a 不是厄米算符 不是厄米算符 aa 但 但 a a 是厄米算符 是厄米算符 a aa a 由于由于 a a 与与 H只只差一个常数 故差一个常数 故 a a 与与 H有共同本征态 有共同本征态 设设 a a nn n 则则 1 2 H nnn 6 1 2 n En 问题 本征值问题 本征值 n 坐标表象坐标表象本征态本征态 x n 1 设设 a nb 则则 n ab n a a nb b n n nb b 因为因为 0 0b bn n 故故 0n 2 因为因为 111a a a na aa na a anna n 11a a ana aanaa annan 故 故 如果如果n是是 a a 的本征态 则的本征态 则 a n a n 也是也是 a a 的本征态 并有下列关系 的本征态 并有下列关系 故称故称 a 为下降为下降 消灭 消灭 算符 算符 a 为上升为上升 产生 产生 算符 结合算符 结合0n 的的结论结论 a a 的的 本征值为本征值为 3 对于最小值对于最小值 0 n 必必有有 0 0a n 否则由于否则由于 a a 000 1 a nna n 本征值为 本征值为 0 1n 与 与 0 n为最小本征值的假设矛盾 为最小本征值的假设矛盾 由由 000 0a a nn n 故故 0 0n 结论 结论 2 2 2 1 1 a a ann ann nn a nn an 本征态 的本征值 2n 0000 1 2 0nn nnn 7 1 0 1 2 2 n Enn 注意 到此仅仅用到了对易关系 没有进入具体表象 注意 到此仅仅用到了对易关系 没有进入具体表象 4 由于由于 a n 对应的本征值也为对应的本征值也为1n 如果无简并 一维束搏态无简并 有 如果无简并 一维束搏态无简并 有 1 n a na n 同理 同理 1 n anb n 因为因为 1 1 nn n anan anb 故故 22 11 nnn n a a nannnaan 222 11 1 1 1 nnnn n aanbnnn a anbnbbn 取取 1 nn anbn 1 11 a nn n annn 5 进入进入 H与与 a a 的共同表象的共同表象 mn mn a am a a nn m nn 1 2 mnmn Hm H nn 均为对角矩阵 这不难理解 因为是在自身表象 均为对角矩阵 这不难理解 因为是在自身表象 1 1 mnm n am a nn m nn 1 111 mnm n am annm nn 因为因为 2 xaa m 2 m piaa 则则 1 1 1 22 mnmnmnm nm n xaann mm 1 1 1 2 mnm nm n m pinn 均不是对角阵 均不是对角阵 注意 注意 0n x nn p n 8 6 进入坐标表象进入坐标表象 对于基态对于基态0 0 0a 即即 00 i xp m 0 0 i x xp m 00 i dx x xp xx m 因为因为 d x x xxxxx p xixx dx 0 0 xx 故故 0 0 d xx mdx 一阶常微分方程的解一阶常微分方程的解为为 2 2 0 m x xCe 考虑到归一化条件考虑到归一化条件 2 0 1xdx 有有 2 1 4 2 0 m x m xe 激发态激发态 211 12 1 n xx nx anx an nn n 2 11 00 2 n n nmi x axxp mnn 2 11121 1 0 2 n nnnn miii dxdxx xp xx xp xxxp xx mmmn 代入代入 d x x xxxxx p xixx dx 有有 2 0 1 2 n n n md xxx mdxn 至此 一维谐振子问题全部解决 至此 一维谐振子问题全部解决 9 7 a a 的物理意义的物理意义 谐振子的能量 谐振子的能量 1 0 1 2 3 2 n Enn 其中基态能量其中基态能量 0 1 0 2 E 是零点能 是零点能 对于激发态 对于激发态 存在一种量子 能量为存在一种量子 能量为 当谐振子处于第当