中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.3 类比拓展探究型（试卷部分）课件.ppt

第八章专题拓展 8 3类比拓展探究型 中考数学 河南专用 解答题1 2018湖北武汉 23 10分 在 abc中 abc 90 1 如图1 分别过a c两点作经过点b的直线的垂线 垂足分别为m n 求证 abm bcn 2 如图2 p是边bc上一点 bap c tan pac 求tanc的值 3 如图3 d是边ca延长线上一点 ae ab deb 90 sin bac 直接写出tan ceb的值 好题精练 解析 1 证明 m n abc 90 mab mba nbc mba 90 mab nbc abm bcn 2 过点p作pm ap交ac于点m 过点m作mn pc交bc于点n 则 pmn apb tan pac 设pn 2t 则ab t bap apb mpc apb 90 bap c mpc c cn pn 2t 易得 abp cba ab2 bp bc t 2 bp bp 4t bp t bc 5t tanc 3 在rt abc中 sin bac tan bac 过点a作ag be于点g 过点c作ch be交eb的延长线于点h deb 90 ch ag de 同 1 的方法得 abg bch 设bg 4m ch 3m ag 4n bh 3n gh bg bh 4m 3n ab ae ag be eg bg 4m n 2m eh eg gh 4m 4m 3n 8m 3n 8m 6m 14m 在rt ceh中 tan ceb 思路分析 1 利用同角的余角相等判断出 mab nbc 即可得出结论 2 作pm ap mn pc 先判断出 pmn apb 得出 设pn 2t 则ab t 再判断出 abp cba 设pn 2t 根据相似三角形的性质可求得bp t 则bc 5t 即可得出结论 3 作ag be ch be 先判断出 同 1 的方法得 abg bch 所以 设bg 4m ch 3m ag 4n bh 3n 进一步得出关于m n的等式 解得n 2m 最后得出结论 方法指导几何中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法 本题涉及的相似三角形 要寻找的比例关系或添加的辅助线均类似 同时要注意挖掘题干中不变的几何特征 根据特征寻方法 2 2018陕西 25 12分 问题提出 1 如图 在 abc中 a 120 ab ac 5 则 abc的外接圆半径r的值为 问题探究 2 如图 o的半径为13 弦ab 24 m是ab的中点 p是 o上一动点 求pm的最大值 问题解决 3 如图 所示 ab ac 是某新区的三条规划路 其中 ab 6km ac 3km bac 60 所对的圆心角为60 新区管委会想在路边建物资总站点p 在ab ac路边分别建物资分站点e f 也就是 分别在 线段ab和ac上选取点p e f 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按p e f p的路径进行运输 因此 要在各物资站点之间规划道路pe ef和fp 为了快捷 环保和节约成本 要使得线段pe ef fp之和最短 试求pe ef fp的最小值 各物资站点与所在道路之间的距离 路宽均忽略不计 解析 1 5 2分 详解 如图 设o是 abc的外接圆的圆心 oa ob oc 又ab ac aob aoc bao cao bac 120 bao 60 abo是等边三角形 ab oa ob 5 即 abc的外接圆半径r的值为5 2 如图 连接mo 并延长与 o相交于点p 连接oa op m是弦ab的中点 om ab am ab 12 在rt aom中 om 5 4分 pm om op om op mp 18 当点p运动到p 时 pm取得最大值 为18 5分 3 如图 设p 为上任意一点 分别作点p 关于直线ab ac的对称点p 1 p 2 连接p 1p 2 分别与ab ac相交于点e f 连接p e p f p e f 的周长 p 1e e f p 2f p 1p 2 对于点p 及分别在ab ac上的任意点e f 有 p ef的周长 p e f 的周长 p 1p 2 即 p ef周长的最小值为p 1p 2的长 7分 连接ap 1 ap ap 2 则ap 1 ap ap 2 p 1ab p ab p 2ac p ac p 1ap 2 2 bac 120 p 1p 2 ap 1 ap 8分 要使p 1p 2最短 只要ap 最短即可 设o为所在圆的圆心 连接ob oc op oa 且oa与相交于点p 则ap p o ao ap ap 9分 连接bc 易证 acb为直角三角形 且 abc 30 acb 90 bc ac tan60 3km boc 60 ob oc bo bc 3km obc 60 abo abc obc 90 在rt abo中 ao 3km 11分 ap ao op 3 3 3 9 km p 1p 2的最小值为ap 3 9 km pe ef fp的最小值为 3 9 km 12分 思路分析 1 设o是 abc的外接圆的圆心 根据全等三角形的判定与性质和圆的半径相等可证 abo是等边三角形 所以ab oa ob 5 2 当pm ab时 pm有最大值 根据垂径定理可得am ab 12 再根据勾股定理求得om 5 进而由pm om op om op mp 18得解 3 分别以ab ac所在的直线为对称轴 作出p 关于ab的对称点为p 1 关于ac的对称点为p 2 易得 p e f 的周长为p 1p 2的长 根据p 1p 2 ap 可知要使p 1p 2最短 只要ap 最短 oa与交于点p 此时使得线段pe ef fp之和最短 然后先判定 abc为直角三角形 求出bc的长 在rt abo中由勾股定理求出ao的长 进而求出ap的值 最后求得pe ef fp的最小值 难点分析本题难点在于第 3 问如何确定p点的位置及何时pe ef fp取得最小值 读懂题目信息也就明确了可以利用轴对称确定最短路线问题 同时结合圆半径和线段oa的长度求出ap的最小值 3 2017四川成都 27 10分 问题背景 如图1 等腰 abc中 ab ac bac 120 作ad bc于点d 则d为bc的中点 bad bac 60 于是 图1迁移应用 如图2 abc和 ade都是等腰三角形 bac dae 120 d e c三点在同一条直线上 连接bd 图2 求证 adb aec 请直接写出线段ad bd cd之间的等量关系式 拓展延伸 如图3 在菱形abcd中 abc 120 在 abc内作射线bm 作点c关于bm的对称点e 连接ae并延长交bm于点f 连接ce cf 图3 证明 cef是等边三角形 若ae 5 ce 2 求bf的长 解析迁移应用 证明 abc和 ade都是等腰三角形 ad ae ab ac 又 dae bac 120 dae bae bac bae 即 dab eac adb aec sas dc ad bd 详解 由问题背景可知 在 ade中 有de ad 由 可知 bd ec dc de ec ad bd 拓展延伸 证明 如图所示 连接be c e关于bm对称 be bc fe fc ebf cbf efb cfb 四边形abcd是菱形 且 abc 120 ab bc be 过b作bg ae 则ag ge abg gbe gbf gbe ebf abc 120 60 cfb efb 30 即 efc 60 cef为等边三角形 ae 5 ge ga ef ce 2 gf ge ef 在rt gbf中 gfb 30 bf 3 思路分析迁移应用 根据sas证全等 由问题背景可知 de ad 由 可得 ec bd dc de ec ad bd 拓展延伸 要证明 cef为等边三角形 根据对称性可知 fe fc efb cfb 那么我们只需证明 efb 30 即可 在 的基础上 易得ge ae ef 2 则gf ge ef 在rt gbf中 bf 3 4 2017江西 23 12分 我们定义 如图1 在 abc中 把ab绕点a顺时针旋转 0 180 得到ab 把ac绕点a逆时针旋转 得到ac 连接b c 当 180 时 我们称 ab c 是 abc的 旋补三角形 ab c 边b c 上的中线ad叫做 abc的 旋补中线 点a叫做 旋补中心 特例感知 1 在图2 图3中 ab c 是 abc的 旋补三角形 ad是 abc的 旋补中线 如图2 当 abc为等边三角形时 ad与bc的数量关系为ad bc 如图3 当 bac 90 bc 8时 则ad长为 猜想论证 2 在图1中 当 abc为任意三角形时 猜想ad与bc的数量关系 并给予证明 拓展应用 3 如图4 在四边形abcd中 c 90 d 150 bc 12 cd 2 da 6 在四边形内部是否存在点p 使 pdc是 pab的 旋补三角形 若存在 给予证明 并求 pab的 旋补中线 长 若不存在 说明理由 图4 解析 1 1分 4 3分 2 猜想 ad bc 4分 证明 证法一 如图 延长ad至e 使de ad 连接b e c e ad是 abc的 旋补中线 b d c d 四边形ab ec 是平行四边形 ec b a ec b a ac e b ac 180 由定义可知 b ac bac 180 b a ba ac ac ac e bac ec ba ac e cab ae cb 6分 ad ae ad bc 7分 证法二 如图 延长b a至f 使af b a 连接c f b ac c af 180 由定义可知 b ac bac 180 b a ba ac ac cab c af ab af abc afc bc fc 6分 b d c d b a af ad是 b fc 的中位线 ad fc ad bc 7分 证法三 如图 将 ab c 绕点a顺时针旋转 c ac的度数 得到 aec 此时ac 与ac重合 设d的对应点为d 连接ad 由定义可知 b ac bac 180 由旋转得 b ac eac bac eac 180 e a b三点在同一直线上 6分 ab ab ae ed d c ad 是 ebc的中位线 ad bc ad bc 7分 注 其他证法参照给分 3 存在 8分 如图 以ad为边在四边形abcd的内部作等边 pad 连接pb pc 延长bp交ad于点f 则有 adp apd 60 pa pd ad 6 cda 150 cdp 90 过点p作pe bc于点e 易知四边形pdce为矩形 ce pd 6 tan 1 1 30 2 60 9分 pe bc 且易知be ec pc pb 3 2 60 apd bpc 60 120 180 又pa pd pb pc pdc是 pab的 旋补三角形 10分 3 60 dpe 90 dpf 30 adp 60 bf ad af ad 3 pf ad 3 在rt pbe中 pb 4 bf pb pf 7 在rt abf中 ab 2 11分 pdc是 pab的 旋补三角形 由 2 知 pab的 旋补中线 长为ab 12分 求解 旋补中线 补充解法如下 如图 分别延长ad bc相交于点g adc 150 bcd 90 gdc 30 gcd 90 在rt gdc中 gd 2 4 gc gd 2 ga 6 4 10 gb 2 12 14 过a作ah gb交gb于点h 在rt gah中 ah ga sin60 10 5 gh ag 5 hb gb gh 14 5 9 在rt abh中 ab 2 10分 pdc是 pab的 旋补三角形 由 2 知 pab的 旋补中线 长为ab 12分 注 其他解法参照给分 5 2016四川达州 24 10分 某数学兴趣小组在数学课外活动中 研究三角形和正方形的性质时 做了如下探究 在 abc中 bac 90 ab ac 点d为直线bc上一动点 点d不与b c重合 以ad为边在ad右侧作正方形adef 连接cf 1 观察猜想如图 当点d在线段bc上时 bc与cf的位置关系为 bc cd cf之间的数量关系为 将结论直接写在横线上 2 数学思考如图 当点d在线段cb的延长线上时 结论 是否仍然成立 若成立 请给予证明 若不成立 请你写出正确结论再给予证明 3 拓展延伸如图 当点d在线段bc的延长线上时 延长ba交cf于点g 连接ge 若ab 2 cd bc 请求出ge的长 解析 1 bc cf bc cd cf 2 结论 仍然成立 不成立 证明 bac daf 90 bad caf 又 ab ac ad af abd acf acf abd 180 45 135 acb 45 bcf 90 即bc cf 结论为bc cd cf 证明 abd acf bd cf bc cd bd bc cd cf 3 过点e作em cf于点m 作en bd于点n 过点a作ah bd于点h 如图 ab ac 2 bc 4 ah bc 2 cd bc cd 1 bac daf 90 bad caf 又 ab ac ad af abd acf acf abc 45 acb 45 bcf 90 abc agc 45 bc cg 4 ade 90 adh edn edn den 90 adh den 又 ahc dne ad de ahd dne dn ah 2 en dh 3 cm en 3 me cn 3 则gm cg cm 4 3 1 eg 6 2015湖北随州 24 10分 问题 如图 1 点e f分别在正方形abcd的边bc cd上 eaf 45 试判断be ef fd之间的数量关系 发现证明 小聪把 abe绕点a逆时针旋转90 至 adg 从而发现ef be fd 请你利用图 1 证明上述结论 类比引申 如图 2 四边形abcd中 bad 90 ab ad b d 180 点e f分别在边bc cd上 则当 eaf与 bad满足关系时 仍有ef be fd 探究应用 如图 3 在某公园的同一水平面上 四条道路围成四边形abcd 已知ab ad 80米 b 60 adc 120 bad 150 道路bc cd上分别有景点e f 且ae ad df 40 1 米 现要在e f之间修一条笔直道路 求这条道路ef的长 结果取整数 参考数据 1 41 1 73 解析发现证明 将 abe绕点a逆时针方向旋转90 至 adg abe adg bae dag b adg ae ag be dg eaf 45 bae fad 45 fag 45 在正方形abcd中 b adc 90 adg adf 180 即点g d f在一条直线上 在 eaf和 gaf中 eaf gaf ef gf 又gf dg df be df ef be fd 类比引申 eaf bad 理由如下 如图 将 abe绕点a逆时针方向旋转至 adg 使ab与ad重合 abe adg bae dag b adg ae ag be dg 在四边形abcd中 b adf 180 adg adf 180 即点g d f在一条直线上 在 eaf和 gaf中 eaf gaf ef gf 又gf dg df be df ef be fd 探究应用 连接af 延长ba cd交于点o 在rt aod中 易得 oda 60 oad 30 又ad 80米 ao 40米 od 40米 of od df 40 40 1 40米 ao of oaf 45 daf 45 30 15 eaf 90 15 75 eaf bad 由类比引申的结论可得ef be df 40 1 109米 7 2014江苏镇江 28 10分 我们知道平行四边形有很多性质 现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折 会发现这其中还有更多的结论 发现与证明 abcd中 ab bc 将 abc沿ac翻折至 ab c 连接b d 结论1 b d ac 结论2 ab c与 abcd重叠部分的图形是等腰三角形 请利用图1证明结论1或结论2 只需证明一个结论 应用与探究 在 abcd中 已知 b 30 将 abc沿ac翻折至 ab c 连接b d 1 如图1 若ab ab d 75 则 acb bc 2 如图2 ab 2 bc 1 ab 与边cd相交于点e 求 aec的面积 3 已知ab 2 当bc长为多少时 ab d是直角三角形 解析 发现与证明 证明 如图1 设ad与b c相交于点f abc沿直线ac翻折至 ab c abc ab c acb acb bc b c 四边形abcd为平行四边形 ad bc ad bc 图1 b c ad acb cad acb cad af cf 1分 b f df cb d b da afc b fd acb cb d b d ac 2分 应用与探究 1 45 3分 4分 2 过点c分别作cg ab ch ab 垂足分别为g h cg ch 在rt bcg中 bgc 90 bc 1 b 30 cg bg ch cg ab 2 ag 由 agc ahc 得ah ag 设ae x 则ce x 由ce2 ch2 he2 得x2 解得x 则ae 5分 ace的面积 ae ch 6分 按 ab d中的直角分类 当 b ad 90 时 如图3 acb 30 bc 6 如图4 bac 30 bc 2 当 ab d 90 时 如图5 acb 60 bc 4 当 adb 90 时 如图6 acb 90 bc 3 综上 bc的长为6 2 4或3 10分图3图4 图5图6 8 2016浙江湖州 24 10分 数学活动课上 某学习小组对有一内角为120 的平行四边形abcd bad 120 进行探究 将一块含60 角的直角三角板如图放置在平行四边形abcd所在平面内旋转 且60 角的顶点始终与点c重合 较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段ab ad于点e f 不包括线段的端点 1 初步尝试如图1 若ad ab 求证 bce acf ae af ac 2 类比发现如图2 若ad 2ab 过点c作ch ad于点h 求证 ae 2fh 3 深入探究如图3 若ad 3ab 深究得 的值为常数t 则t 解析 1 证明 平行四边形abcd中 bad 12