高中数学 第三章 函数的应用 3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点课件4 新人教A版必修1.ppt

第三章函数的应用 3 1函数与方程3 1 1方程的根与函数的零点 1 方程的根与函数的零点 1 函数零点的概念 对于函数y f x 我们把使f x 0的实数x叫函数y f x 的零点 函数的零点是一个实数 2 方程的根与函数零点的关系 求函数y f x 的零点 就是求方程f x 0的实数根 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 2 函数零点的判断如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 1 函数的零点就是点 任何函数都有零点 对吗 提示 函数的零点不是点 而是对应方程的根 并不是任何函数都有零点 如函数y x2 x 1就没有零点 2 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且有f a f b 0 在区间 a b 上就没有零点吗 提示 当f a f b 0时 在 a b 上就没有零点 当f a f b 0时 a b 上亦可能有零点 并且当f a f b 0时 a b 上也不一定只有一个零点 若另有f x 在 a b 上单调 可说明f x 在 a b 上有一个零点 答案 b 2 函数y x2 3x 1的零点个数是 a 0b 1c 2d 不确定答案 c3 已知函数f x 在区间 a b 上单调 且f a f b 0 则函数f x 在区间 a b 上 a 至少有三个零点b 可能有两个零点c 没有零点d 必有唯一的零点答案 d 4 若函数f x x2 2x a没有零点 则实数a的取值范围是 a a1c a 1d a 1解析 函数f x x2 2x a没有零点 就是方程x2 2x a 0没有实数根 故判别式 4 4a1 答案 b 5 已知函数f x 为偶函数 其图象与x轴有四个交点 则该函数所有零点之和为 解析 f x 为偶函数 f x 的图象关于y轴对称 f x 的零点也关于y轴对称 即零点之和为0 答案 0 类型一函数零点的概念及求法 例1 求函数y x2 2x 3的零点 并指出y 0 y 0时 x的取值范围 解 如图1所示 解二次方程 x2 2x 3 0 得x1 3 x2 1 函数y x2 2x 3的零点为 3 1 y x2 2x 3 x 1 2 4 画出这个函数的简图 从图象上可以看出当 30 当x1时 y 0 函数y x2 2x 3的零点是 3 1 当y 0时 x的取值范围是 3 1 当y0 0 的解集 体现了数形结合的思想方法 变式体验1 1 若函数f x x2 ax b的零点是2和 4 求a b的值 2 若f x ax b b 0 有一个零点3 则函数g x bx2 3ax的零点是 类型二函数零点的判断 例2 判断下列函数在给定区间上是否存在零点 1 f x x2 3x 18 x 1 8 2 f x x3 x 1 x 1 2 3 f x log2 x 2 x x 1 3 分析 零点的存在性判断可依据零点的存在性定理 有时也可以结合图象进行判断 解 1 法1 f 1 200 f 1 f 8 0 f 1 f 2 0 函数f x 在 1 2 内存在零点 变式体验2求函数f x 2x lg x 1 2的零点个数 解 解法1 f 0 1 0 2 10 f x 在 0 2 上必定存在实根 又显然f x 2x lg x 1 2在 1 上为增函数 故f x 有且只有一个实根 解法2 在同一坐标系下作出h x 2 2x和g x lg x 1 的叠合图 由图象知y lg x 1 和y 2 2x有且只有一个交点 即f x 2x lg x 1 2有且只有一个零点 点评 判断函数零点个数的方法主要有 用计算器或计算机计算并描点作出函数f x g x h x 的图象 由图象 函数的单调性及零点的判断方法作出判定 如本例法一 由f x g x h x 0 得g x h x 在同一坐标系下作出y1 g x 和y2 h x 的叠合图 利用图象判定方程根的个数 如本例法二 在实际运用中 大多数选用法二 类型三函数零点的应用 例3 函数y x2 2px 1的零点一个大于1 一个小于1 求p的取值范围 分析 二次函数的零点即函数图象与x轴的交点 因此借助二次函数图象 利用数形结合法来研究 解 解法1 记f x x2 2px 1 则函数f x 的图象开口向上 当f x 的零点一个大于1 一个小于1时 即f x 与x轴的交点一个在 1 0 的左方 另一个在 1 0 的右方 必有f 1 0 即12 2p 1 0 p 1 p的取值范围为 1 变式体验3已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的值 分析 设出二次方程对应的函数 画出相应的示意图 然后用函数的性质加以限制 通过解不等式组来解决 1 对于函数零点的概念 应注意以下几点问题 1 函数的零点是一个实数 当函数的自变量取这个实数时 其函数值等于零 2 函数的零点也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 2 对函数零点的判定定理的理解 1 函数零点的判定定理是一个存在性定理 也就是说 当函数y f x 在区间 a b 上是一条连续不断的曲线 并且有f a f b