自考04184线性代数讲义.doc

第一部分行列式本章概述 行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例远大于13%。1.1行列式的定义1.1.1二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1.求二元一次方程组的解。解：应用消元法得当时。得同理得定义 称为二阶行列式。称为二阶行列式的值。记为。于是 由此可知。若。则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的值。二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。使得当后将消去。得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出。在（6），（7）的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组。 定义1.1.1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为;类似地得 这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。例3 计算例4 （1）（2）例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。1.1.2阶行列式的定义定义1.1.2 当n时，一阶行列式就是一个数。当时，称为n阶行列式。定义（其所在的位置可记为的余子式的代数余子式。定义 为该n阶行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代数余子式都与第j列元素无关；类似地，第i行元素的余子式和代数余子式都与第i行元素无关。n阶行列式为一个数。例6 求出行列式第三列各元素的代数余子式。例7 （上三角行列式）1.2行列式按行（列）展开定理1.2.1（行列式按行（列）展开定理）例1 下三角行列式主对角线元素的乘积。例2 计算行列式例3 求n阶行列式小结 1.行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。2.二阶行列式的定义。3.阶行列式的定义。即。4.行列式按行（列）展开的定理和应用这个定理将行列式降阶的方法。作业p8 习题1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3作业 p11习题1.2 1，2，3（1），（2），41.3行列式的性质及计算1.3.1行列式的性质给定行列式将它的行列互换所得的新行列式称为D的转置行列式，记为或。性质1 转置的行列式与原行列式相等。即性质2 用数k乘行列式D的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。性质3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例设推论3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。证 设中，第i行与第j行元素完全相同，则所以，D=0。性质4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个行列式的和，即只要看注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。可见性质6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不变。证.1.3.2行列式的计算人们认识事物的基本方法是化未知为已知。对行列式，先看何为已知，（1）二，三阶行列式的计算；（2）三角形行列式的计算。因此，我们计算行列式的基本方法是利用行列式的性质把行列式化为三角形，或降阶。例1 计算在行列式计算中如何造零是个重要技巧，主要是应用性质6。例2 计算例3 计算例4 计算例5 计算扩展计算【答疑编号12010209】例6 计算【答疑编号12010301】方法1方法2扩展：计算【答疑编号12010302】例7 计算【答疑编号12010303】例8 计算【答疑编号12010304】扩展：计算【答疑编号12010305】例9 计算n阶行列式 【答疑编号12010306】解 按第一列展开，得例10 范德蒙行列式【答疑编号12010307】.【答疑编号12010308】例11 计算【答疑编号12010309】例12 证明【答疑编号12010310】小结1.准确叙述行列式的性质；2.应用行列式的性质计算行列式的方法（1）低阶的数字行列式和简单的文字行列式；（2）各行元素之和为相同的值的情况（3）有一行（列）只有一个或两个非零元的情况作业 p22 习题1.3 1（1）（3），2，5，6（1）（3）（4）（5）（10）（11）（12） 1.4克拉默法则这一节将把二元一次方程组解的公式推广到n个未知数，n个方程的线性方程组。为此先介绍下面的定理。定理1.4.1 对于n阶行列式证 由定理1.2.1知 ，注意改变第二列的元素，并不改变第二列元素的代数余子式类似地，可证明该定理的剩余部分。定理1.4.2 如果n个未知数，n个方程的线性方程组 的系数行列式 则方程组有惟一的解: 其中 证明从略例1.求解【答疑编号12010401】把克拉默法则应用到下面的齐次方程组有定理1.4.3 如果n个未知数n个方程的齐次方程组的系数行列式D0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式D=0。事实上，以后我们将证明对于由n个未知数n个方程的齐次方程组，系数行列式D=0，不仅是该齐次方程组有非零解的必要条件，也是充分条件,即若系数行列式D=0,则齐次方程组必有非零解。例2判断线性方程组是否只有零解【答疑编号12010402】例3当k为何值时，齐次方程组没有非零解？【答疑编号12010403】例4问当 取何值时,齐次方程组有非零解?【答疑编号12010404】1.定理1.4.1 对于，有2.n个未知数,n个方程的线性方程组的克拉默法则。以及n个未知数, n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件。作业 p28 习题1.4 1（1）（2）（3）3第一章小结基本概念1.行列式中元素的余子式和代数余子式。2.行列式的定义基本公式1.行列式按一行(一列)展开的定理；2.行列式的性质；3.行列式中任一行(列)与另一行(列)的代数余子式乘积的和=0；4.克拉默法则5.n个未知数,n个方程的齐次方程组有非零解的充分必要条件是它的系数行列式=0。重点练习内容1.行列式中元素的余子式和代数余子式的计算；2.行列式的计算及重点例题（1）二、三阶行列式的计算；方法：利用行列式的性质降阶。（2）各行元素之和为常数的情况(重点例题：1.3节中例5及其扩展)；（3）特殊的高阶行列式。第二部分矩阵本章概述矩阵是线性代数的重要内容，也是研究线性方程组和其它各章的主要工具。主要讨论矩阵的各种运算的概念和性质。在自学考试中，所占比例是各章之最。按考试大纲的规定，第二章占26分左右。而由于第三，四，五，六各章的讨论中都必须以矩阵作为主要工具，故加上试题中必须应用矩阵运算解决的题目的比例就要占到50分以上了。以改版后的三次考试为例，看下表按考试大纲所占分数07.407.707.10直接考矩阵这一章的26分左右31分34分38分加上其它章中必须用矩阵运算的所占分数51分53分67分由此矩阵这一章的重要性可见一般。2.1线性方程组和矩阵的定义2.1.1线性方程组n元线性方程组的一般形式为 特别若，称这样的方程组为齐次方程组。称数表为该线性方程组的系数矩阵；称数表为该线性方程组的增广矩阵。事实上，给定了线性方程组，就惟一地确定了它的增广矩阵；反过来，只要给定一个m(n+1)阶矩阵，就能惟一地确定一个以它为增广矩阵的n个未知数，m个方程的线性方程组。例1 写出下面线性方程组的系数矩阵和增广矩阵【答疑编号12020101】例2 写出以下面矩阵为增广矩阵的线性方程组 【答疑编号12020102】2.1.2矩阵的概念一、矩阵的定义定义2.1.1 我们称由mn个数排成的m行n列的数表 为mn阶矩阵，也可记为为矩阵A第i行，第j列的元素。 注意:矩阵和行列式的区别。二、几类特殊的矩阵1.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O。例如都是零矩阵。2.若A的行数m=1，则称 为行矩阵，也称为n维行向量。若A的列数n=1，则称为列矩阵，也称为m维列向量。3.若矩阵A的行数=列数=n，则称矩阵A为n阶方阵，或简称A为n阶阵。如n个未知数，n个方程的线性方程组的系数矩阵。4.称n阶方阵为n阶对角阵。特别若上述对角阵中，称矩阵为数量矩阵，如果其中=1，上述数量阵为，称为n阶单位阵。5.上(下)三角阵称形如的矩阵为上(下)三角矩阵。2.2矩阵的运算 这节介绍（1）矩阵运算的定义，特别要注意，矩阵运算有意义的充分必要条件；（2）矩阵运算的性质，要注意矩阵运算与数的运算性质的异同，重点是矩阵运算性质与数的运算性质的差别。2.2.1矩阵的相等为建立矩阵运算的概念，先说明什么叫两个矩阵相等。定义2.2.1如果矩阵A，的阶数相同，即行数、列数都相同，则称矩阵与B同型；若A与B同型，且对应元素都相等，则称矩阵A与B相等，记为A=B。请注意区别两个矩阵相等和两个行列式相等例如 虽然行列式有但矩阵；。2.2.2矩阵的加减法 定义2.2.2 设A与B都是mn阶矩阵(即A与B同型)，则矩阵A与B可以相加(相减)，其和(差)定义为mn阶矩阵 例1设求A+B、A-B。【答疑编号12020103】例2则A与B不能相加(减)，或说AB无意义。 加法运算的性质设A，B，C都是mn阶矩阵，O是mn阶零矩阵，则1.交换律 A+B=B+A。2.结合律 (A+B)+C=A+(B+C)。3.负矩阵 对于任意的mn阶矩阵定义，显然A+(-A)=O；A-B=A+(-B)。2.2.3数乘运算定义2.2.3 数与矩阵A的乘积记作A或A，定义为 例3 设，求3A。 【答疑编号12020104】解例4 设，求3A-2B。 【答疑编号12020105】例5 已知，求2A-3B。 【答疑编号12020106】数乘运算满足：1.1A=A2.设k,l是数，A是矩阵，则k(lA)=(kl)A3.分配律 k(A+B)=Ka+kB；(k+l)A=kA+la例6 已知，且A+2X=B，求X。2.2.4矩阵的乘法先介绍矩阵乘法的定义，后面再介绍为什么这样定义乘法。一、定义定义2.2.4 设矩阵，(注意:A的列数=B的行数)。定义A与B的乘积为一个mn阶矩阵，其中(i=1,2,m,j=1,2, n)可见，矩阵A,B可以相乘的充分必要条件是A的列数B的行数，乘积矩阵C=AB的行数=A的行数；其列数=B的列数。例如则A,B可以相乘，其乘积其中例7设矩阵【答疑编号12020201】问BA有意义吗？无意义。因为第一个矩阵的列数不等于第二矩阵的行数，所以BA无意义。例8(1)设矩阵(2)求AB；BA【答疑编号12020202】此例说明 AB,BA虽然都有意义，但两矩阵不同型，当然不相等。例9设矩阵，求AB,BA。【答疑编号12020203】为什么这样定义乘法？考虑线性方程组设，则，于是线性方程组(1)就可以写成矩阵形式AX=b。这表明，应用这种方法定义矩阵乘法，可以把任意线性方程组写成与一元一次方程ax=b完全相同的形式，使整个的讨论变得简单了。二、性质（1）乘法没有交换律，AB不一定等于BA。（2）结合律 (AB)C=A(BC) （3）分配律 (A+B)C=AC+BC；A(B+C)=AB+AC （4）数乘与乘法的结合律k(AB)=(kA)B=A(kB)（5）单位矩阵的作用。另一部分的证明请同学们自己作。但对于某些特殊的矩阵（方阵）满足AB=BA，我们称它们是乘法可交换的，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换。例10 设矩阵，求出所有与A乘积可交换的矩阵。【答疑编号12020204】2.2.5方阵的幂设A是一个矩阵，何时有意义?当且只当A为n阶方阵时，有意义。这时，对k2定义称为A的k次幂。例11 数学归纳法证明（2）对于数，幂的运算有下列性质：（1）同底幂相乘，指数相加。即；（2）；（3）对于方阵的幂有下列性质：（1）。对于数，为什么所以对于n阶方阵不一定等于。根据矩阵乘法和方阵幂的性质，数的乘法公式有下面的变化：一般不等于。一般不等于。这些变化的原因就在于矩阵乘法没有交换律。但对于某些特殊的矩阵满足AB=BA，例如n阶方阵A与n阶单位阵就可交换，所以请思考例12 设求。例13 设，求。例14 设。小结 矩阵乘法和数的乘法性质的区别：(1)矩阵乘法没有交换律，由此引出乘法公式:如，不一定等于等公式的变化；(2)对于矩阵：两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵；(3)对于方阵，可能可能，(4)不一定等于。2.2.6矩阵的转置一、定义定义2.2.5设。将其行列互换，所得的矩阵记为称它为A的转置，即显然，mn阶矩阵A的转置是nm阶。二、性质1.；2.；3.；现看下面的例例15 设，求；问哪个有意义，若有意义，求它的乘积矩阵。解没有意义。有意义，且所以一般，则AB是mn阶的。是km阶，为nk阶，故不一定有意义。但 有意义。可以证明4.(反序律)。三、对称阵和反对称阵定义 设A为n阶实方阵。如果满足，则称A为实对称(反对称)阵。例16 为实对称阵；为反对称阵。例17 证明:任意n阶方阵A都可以惟一地分解为一个对称阵和一个反对称阵的和。例18证明:设A,B都是n阶对称阵，证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。 扩展 改为 设A,B都是n阶反对称阵， 证明AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA。 2.2.7方阵的行列式一阶方阵和一阶行列式都是数，但当n2以后，矩阵和行列式是两个不同的概念，矩阵是一个数表，可以是方的也可以是长方的。对于n阶方阵，可以对它取行列式，但行列式已不仅是数表，而它的值是一个数。性质:1.；2.；3.。于是容易看出，虽然AB不一定等于BA，但。例19 证明奇数阶的反对称阵的行列式等于零。2.2.8方阵多项式任意给定多项式和一个n阶方阵A。定义称f(A)为A的方阵多项式。例20 设求f(A)。小结1.矩阵各种运算的定义(包括运算有意义的充分必要条件)；2.各种运算的性质(特别是与数的运算性质的相同点和不同点，尤其是不同点)作业 p47 习题2.2 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，122.3方阵的逆矩阵2.3.1逆矩阵的定义定义2.3.1 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得。则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称。若这样的B不存在，则称A不可逆。定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。证 设都是A的逆矩阵。则。例1 ，验证A可逆，且。只要看容易看出，这时B也可逆，且。例2 不可逆。解 设，则。故不可逆。2.3.2n阶方阵可逆的充分必要条件为讨论n阶方阵可逆的充分必要条件，现引入方阵的伴随矩阵的概念定义 设，为的代数余子式，则称 为A的伴随矩阵，记为。下面计算类似地，有。若，有。于是有下面的定理。定理2.3.2 n阶方阵A可逆的充分必要条件是，且当时，。证 充分性已经得证。只要证必要性。设n阶方阵A可逆，据定义知，存在n阶方阵B使得AB=BA=E取行列式得，故，必要性得证。推论 设A，B均为n阶方阵，并且满足AB=E，则A,B都可逆，且。推论的意义是，不必验证两个乘积AB，BA，而只要验证一个即可。证 因为 AB=E，故，所以。故A，B都可逆。由 AB=E 两边左(右)乘，得，于是有。2.3.3可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶可逆矩阵。常数k0。则1.可逆，且。2.AB可逆，。3. 也可逆，且。4.kA也可逆，且。5.消去律 设P是与A，B同阶的可逆矩阵，若PA=PB，则A=B。若a0，ab=ac则b=c。但而6.设A是n阶可逆方阵。定义 ，并定义。则有，其中k，l是任意整数。7.设 是 阶可逆方阵，则。例3 设，问a，b，c，d满足什么条件A可逆？这时求【答疑编号12020403】例4 判断矩阵是否可逆？若可逆，求出它的逆矩阵。【答疑编号12020501】例5 设A是n阶方阵，则。例6 设A为n阶方阵，则当P为可逆矩阵时，A为对称矩阵为对称矩阵。例7 设n阶方阵A满足，求和的逆矩阵。例8 设A是三阶 矩阵，其行列式，求行列式的值。例9 设n阶方阵A满足，证明例10 设n阶方阵A满足，其中m为正整数，求出的逆矩阵。例11 设A为n阶可逆阵，证明：（1）（2）小结1.n阶方阵A可逆的充分必要条件是。2.A的伴随矩阵的定义及重要公式(1)，(2)当时。3.重要结果 若n阶方阵A，B满足AB=E，则A，B都可逆，且。4.逆矩阵的性质(主要是说明求逆运算与矩阵其他运算的关系)2.4分块矩阵2.4.1分块矩阵的概念对于行数列数较高的矩阵A，为运算方便，经常采用分块法处理。 即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。每个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。例1 对34阶矩阵，可以采用很多方法分块。如:分成 ，这时可记为，其中也可以分成；称为列分块矩阵。例2 对于，可按下面方法分块，记成其中，2.4.2分块矩阵的运算1.加减法 同型矩阵A，B采用相同的分块法，有 则2.分块矩阵的数乘设，则。3.分块矩阵的转置例3 一般，如果4.分块矩阵的乘法设矩阵A的列数=B的行数，如果对A，B适当分块，使。则其中。所谓适当分块是指保证上述出现的所有乘法都有意义。例4 设A为mk阶矩阵，B为kn阶矩阵，则AB为mn阶矩阵。若把矩阵B分成2.4.3几个特殊的分快矩阵的运算（1）准对角矩阵方阵的特殊分块矩阵形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。（2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积则（3）准对角矩阵的逆矩阵 若均为可逆阵。可逆，且。例5 求的逆矩阵。（4）准上（下）三角矩阵的行列式。可以证明例6 设A，D是任意可逆矩阵，验证例7 求矩阵的逆矩阵。小结 分块的原则，保证运算有意义。2.5矩阵的初等变换和初等矩阵2.5.1矩阵的初等变换 一、背景例1 解线性方程组解(2)+(1)(1)；(3)+(1)(1)；(4)+(2)(1)得(3)+(-1)(2)；(4)+(-1)(2)得(2)+(-2)(3)得(1)+(-1)(2)+(-3)(3)得上述解方程的过程可改为只对方程的增广，以为增广矩阵的方程组的解即为矩阵做相应的行变换来实现。定义2.5.1（线性方程组的初等变换）称下列三种变换为线性方程组的初等变换。（1）两个方程互换位置；（2）用一个非零的数乘某一个方程；（3）把一个方程的倍数加到另一个方程上。显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。二、矩阵初等变换的定义定义2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变（1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）上去。把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。定义2.5.3如果一个矩阵A经过有限次的初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记为AB。等价具有反身性 即对任意矩阵A，有A与A等价；对称性 若A与B等价，则B与A等价传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。三、矩阵的行最简形式和等价标准形简单地说，就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型，进而化成行最简形，而经过初等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。例2 对矩阵A作初等行变换，其中。阶梯形矩阵的定义：满足（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j随着行指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行）行最简形式以称满足（1）它是阶梯形；（2）各行的第一个非零元都是1；（3）第一个非零元所在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。例3（1）是阶梯形；（2）这不是阶梯形。如上例中最后所得的矩阵。若允许再作初等列变换可继续得这最后的式子就是A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵，也可能为或。定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。 例4 将矩阵化成行最简形式和标准形。2.5.2初等方阵定义2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种: 显然，初等阵都是非奇异阵。注意 所以初等阵的逆矩阵为同类的初等阵。初等矩阵与初等变换之间有密切的联系。例5 对于 定理2.5.3设A是一个mn阶的矩阵，则（1） 对A做一次初等行变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘A；（2） 对A做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘A；推论1 方阵经初等变换其奇异性不变。定理2.5.4对于任意的mn阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得 证 因为mn阶矩阵A，总可以经过有限限次的初等行变换和初等列变换化成标准型，又因为初等变换和矩阵乘法的关系，容易证明此定理。推论2n阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。因为否则，其等价标准形不可逆。定理2.5.5n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成若干个初等阵的乘积。证 充分性是显然的。下面证必要性。“”已知A为n阶可逆阵，则A与等价，故存在有限个n阶初等阵，即 ，亦即A能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。推论3任意可逆阵A（非奇异阵）只经过有限次的初等行（列）变换就能化成单位阵。证因为A可逆，故存在可逆阵使得，从而存在有限个初等阵使得，故。所以A只经过有限次的初等行变换就能化成单位阵。2.5.3用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即则 这表明，当对A作初等行变换将A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵E将变成。于是有求逆矩阵的初等变换法:写出分块矩阵作初等行变换，当A化成单位阵时，E就化成为。例6 求方阵的逆矩阵。 2.5.4用初等变换法求解矩阵方程一元一次方程的标准形 ax=b（a0） 矩阵方程的三种标准形（1）AX=B（2）XA=B（3）AXB=C则解法：对第一类作分块矩阵对A作初等行变换，当A变成单位阵时，由于B做的是同样的初等行变换，则得到的是。例7求解矩阵方程 解 ：所以。对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由两边转置得按上例的方法求出进而求出X例8求解矩阵方程 思考 如何解方程 AXB=C 设 Y=XB，得方程AY=C，解出Y，进一步解方程XB=Y （这时Y为已知。）小结 本节主要内容:1.矩阵初等变换的定义；2.初等矩阵的定义和性质:（1）初等矩阵必可逆；（2）初等矩阵之积为可逆阵；（3）n阶方阵A可逆的充分必要条件是A能表示成有限个初等矩阵之积。3.初等变换的性质（1）定理2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与为增广矩阵的方程组同解。（2）定理2.5.2任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无关。（3） 定理2.5.3设A是一个mn阶的矩阵，则对A做一次初等行（列）变换，就相当于用一个m（n）阶的与这个初等变换相对应的初等矩阵左乘（右乘）A；（4）定理2.5.4对于任意的mn阶矩阵A，总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得。（5）对n阶方阵A，初等变换不改变其奇异性。习题类型:1.熟练掌握用行变换将矩阵化为阶梯形，行最简形和用初等变换化成标准形的方法；2.熟练掌握用初等变换法求逆矩阵和求解矩阵方程作业 p69 1,2（1）（3）（5）,3（2）（3）（4）,42.6矩阵的秩先介绍矩阵的k阶子式的概念给定矩阵 A的每个元素都是它的一阶子式，定义2.6.1 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为r（A），有时也记为 秩（A）。事实上，如果A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零，则r（A）例1求矩阵的秩。上述求秩的方法很繁，是否有更简便的方法求矩阵的秩。例2显然的秩等于r。例3，则r（A）=2。定理2.6.1 初等变换不改变矩阵的秩。推论设A为mn阶矩阵，P，Q分别为m，n阶可逆矩阵，则r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A），r（PAQ）=r（A）。例4求矩阵的秩。 此例说明可以用初等变换法求矩阵的秩（只要经初等变换化成阶梯形，其秩就等于非零行的个数）。例5求矩阵的秩。 一般，如果n阶方阵A的秩等于它的阶数，则称该矩阵是满秩的，否则称它为降秩的。显然，n阶方阵A满秩的充分必要条件是A可逆。（可逆阵的各种说法：可逆，非异，满秩）。小结这一节主要是掌握矩阵秩的概念和用初等变换法求矩阵的秩。说明2.7的内容放到第四章讲。作业 p75 习题2.6 1（2）（3）（4）,3第二章总结1.矩阵运算有意义的充分必要条件；矩阵运算的定义；2.矩阵运算的性质，特别是比较矩阵运算性质与数的运算性质的相同点和不同点，特别是不同点；3.方阵可逆的充分必要条件以及判断方阵可逆的方法；4.矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，用初等变换法求逆矩阵和矩阵方程的解；5.矩阵的秩的概念和求矩阵秩的方法。第三部分向量空间本章将把三维向量推广，建立n维向量的概念和运算，研究向量组的线性相关、无关性，进而引入向量组的极大无关组和向量组的秩。这些是研究线性方程组的重要工具。3.1n维向量的概念及其线性运算3.1.1n维向量的概念在解析几何中，已知二维向量和三维向量在实际问题中，光有二维，三维向量还不够，如要刻画一个球的位置，需四个数。推广二维，三维向量，有下面n维向量的定义。定义3.1.1由n个有顺序的数组成的数组称为一个n维向量，数称为该向量的第i个分量n维向量既可以用一行n列的行矩阵来表示，也可以用n行一列的列矩阵来表示。我们分别称它们为行向量，列向量。定义3.1.2称所有分量都为零的向量0=（0,0,0）为零向量。称为的负向量。定义3.1.3如果n维向量的对应分量都相等，即则称向量,相等，记为=。3.1.2n维向量的线性运算一、向量线性运算的定义定义3.1.4 设定义为 的和（差）向量。定义3.1.5 设k为一个数。则定义为数k与向量的数乘。二、向量线性运算的性质设,都是n维向量，k、1是数，则加法与数乘满足：（1）加法交换律 +=+（2）结合律 （+）+=+（+）（3）零向量满足 +0=0+=（4）负向量满足 +（-） =0（5）1=（6）分配律 k （+）=k+k（7）（k+1） =k+1（8）k（1）=（kl）=1（k）例1.设=（2,1,3）, =（-1,3,6）,=（2,-1,4）,求2+3-。例2.设=（1,0,-2,3）, =（4,-1,-2,3），求满足2+3=0的。解：3.1.3向量的线性组合一、定义定义3.1.6 设是一组n维向量，是一组常数，则称为的一个线性组合，常数称为该线性组合的组合系数。设是一个n维向量，若存在一组数使得则称是的线性组合，也称能由线性表出（或线性表示）。称为组合系数或表出系数。因为所以零向量可以由任意向量组线性表出。例3.设n维向量组（称为基本单位向量组）是任意n维向量。则即任意n维向量组都能由基本单位向量组线性表示。二、线性组合的几何意义三、组合系数的求法 例4.设问能否表示成的线性组合？由此例可见，问能否由线性表示的问题就是问相应的线性方程组是否有解的问题。请同学们务必掌握这二者之间的转化方法。事实上，对任意一个线性方程组若令则线性方程组的向量表示法为方程（这是方程组的第三种表示法，其系数矩阵，增广矩阵是什么样?）则线性方程组是否有解的问题就是能否由向量组线性表示的问题，表示法是否惟一的问题就是方程组的解是否惟一的问题。例5.问能否由线性表示？表示法是否唯一？【答疑编号12030202】解：此例说明能由线性表示，且表示法不惟一。小结： 1.n维向量及其线性运算的定义和性质;2.向量组的线性组合，向量由向量组线性表示的概念3.线性方程组的三种表示方法：矩阵表示法：AX=B向量表示法：作业 p86 习题3.1 1，2，3（2），63.2线性相关与线性无关3.2.1线性相关与线性无关的定义定义3.2.1设是一组n维向量。如果存在一组不全为零的数使得则称向量组线性相关。否则，称向量组线性无关。即如果必有则称向量组线性无关。事实上，线性无关，就是零向量由线性表示的表示法惟一。所以，向量组线性相关即齐次方程组有非零解；向量组线性无关即齐次方程组只有零解，没有非零解。例1.一个向量构成的向量组线性相关的充分必要条件是=0。因为10=0。所以，=0时，向量组线性相关；反之，如果向量组线性相关，据定义存在0，使得，k=0，必有=0。例2.讨论的线性相关性。解：例3.n维基本向量组必线性无关下面的定理说明向量组线性相关的实际含义。定理3.2.1向量组线性相关的充分必要条件是存在一个，使得它能由该向量组的其它向量线性表示。例4.向量组，线性相关的充分必要条件是存在数k，使得=k或=k。重要结论（1）n个n维向量线性无关的充分必要条件是其构成的行列式其中为列向量。（2）一个向量线性相关的充分必要条件是=0，两个向量线性相关的充分必要条件是存在数k，使得=k或=k。3.2.2向量组线性相关性的若干基本定理这部分的重点是准确地理解和叙述定理，而不是证明。定理3.2.2设向量组线性无关，向量组线性相关，则能由向量组线性表出，且表示法惟一。定理3.2.3设向量组线性相关，是任意一个n维向量。则向量组必线性相关。推论1含有零向量的向量组必线性相关。推论2设线性相关，则任意扩充后所得的向量组必线性相关。（部分相关，则整体相关）推论3设向量组线性无关，则它的任何一个部分组必线性无关。（整体无关，则部分无关）定理3.2.4设向量组线性无关。则由它生成的接长向量组必线性无关，其中推论4若接长向量组线性相关，必有原向量组线性相关。例5.向量组线性无关，知必线性无关。例6. 由前例知线性相关，所以必线性相关。请注意区分“接长向量组与截短向量组”和“向量组（扩充向量组）与向量组的部分组（向量组）”。小结：1.向量组线性相关性与齐次方程组有非零解的关系2.线性相关性的几个定理3.请总结判断向量组线性相关性的方法。作业 p94 习题3.2 1.（1）（2），2。3.3向量组的秩 这一节主要讨论向量组的极大无关组和向量组的秩的概念及其求法3.3.1两个向量组的关系定义3.3.1（向量组的线性表出） 设有两个向量组若向量组R中的每个向量都能由向量组线性表出，则称向量组R能由向量组S线性表出。例1 。则向量组R能由向量组S线性表出。例2 向量组A的任何一个部分组都能由该向量组线性表示。定义3.3.2（向量组的等价）如果向量组R能由向量组S线性表出，反之,向量组S也能由向量组R线性表出，则称向量组R与S等价。例3 ，则向量组R与S等价。证：显然，R中的每一个向量都能由向量组S线性表出。容易看出等价关系具有：反身性；对称性；传递性。3.3.2向量组的极大无关组 设是所有3维向量的全体。，我们已知线性无关，对于任意一个三维向量,能由线性表示。所以,就线性相关了。我们称为的极大线性无关组，简称极大无关组。一般，有定义3.3.3设A是一组n维向量。如果A中存在一组向量满足：（1）线性无关；（2）在A中，任取一个向量，则，必线性相关。则称为A的一个极大线性无关组，简称极大无关组。例4 是的一个极大无关组。定理3.3.1 是向量组T的一个极大无关组，则R与T等价,从而它的任意两个极大无关组也等价。定理3.3.2 向量组A含有r个n维向量，向量组B含有s个n维向量，向量组A能由向量组B线性表示，且向量组A线性无关，则rs。 推论1两个等价的线性无关的向量组所含向量个数相等。推论2向量组的两个极大无关组所含向量个数相等。推论3设A是一个n维向量组。则它的极大无关组的向量个数不超过n （即n）。证 因为是的一个极大无关组，所以任给A，都能由线性表示，所以A的极大无关组也能由线性表示。故它的极大无关组的向量个数不超过n。推论4 如果向量组A所含向量个数大于其维数n,则向量组A必线性相关。3.3.3向量组的秩定义3.3.4（向量组的秩）设A是一个向量组。称A的极大无关组所含向量个数为该向量组的秩，记为r(A)（我们规定只含零向量的向量组的秩为0）。容易看出，当向量组A所含向量个数= r(A)时，A线性无关；若当向量组A所含向量个数r(A)时，A线性相关。定理3.3.3 如果向量组S可以由向量组T线性表出，则r(S)r()。推论5 等价的向量组必有相等的秩。在矩阵一章，我们讨论过矩阵的秩。一个自然的问题是矩阵的秩和向量组的秩之间有何关系？有下面的定理。定理3.3.4矩阵A的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩。（今后统称为矩阵A的秩。）于是我们可以通过求矩阵的秩来求向量组的秩。例5 求向量组的秩。3.3.4求向量组的极大无关组的方法注意：对于列向量组构成的矩阵因为初等变换不改变矩阵的秩,所以向量组与向量组的线性相关性相同。若线性无关,线性相关,则以为增广矩阵的线性方程组与为增广矩阵的线性方程组同解,所以,若。于是有下面的求极大无关组的方法,并能把其余向量由极大无关组线性表示。例6 求的极大无关组。并将其余向量由该极大无关组线性表示。方法: （1）用列向量做成矩阵A；（2）对A做初等行变换使。例7 （1）求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示（2）这个向量组有几个极大无关组？例8 用矩阵的秩与向量组的秩的关系证明：证 设A为mn阶矩阵，为nk阶矩阵。其中这表明向量组C能由向量组A线性表出。所以R（AB）R（A）。因为。命题得证。小结 向量组的秩的概念以及如何根据秩与向量个数的关系判断向量组的线性相关性。重点是例6,7给出的求极大无关组的方法。作业 p103 1(2)(5)(6),2,4,6,73.4向量空间3.4.1向量空间的概念定义3.4.1 n维实向量的全体构成的集合称为实n维