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第三章 量子输运导论 第三章 量子输运导论 第一节 微观器件特性介绍 第一节 微观器件特性介绍 1 上述器件是纳米器件 1 上述器件是纳米器件 纳米器件的最基本单元 三极管 也叫场效应管 Field effect transistor 场效应管的组成 g S VC source D drain G gate 其中是门电压 它可以改变 中电子的浓度 C channel 场效应管的实质 一个可控电阻 加门电压可以调控电流的原因 前面已讲过 sd Jen v 所以门电压控制电子浓度就可以控制电流 加上门电压以后 相当于加上一个势场 整个带往下移 如下图所示 2 特征 I V 曲线 2 特征 I V 曲线 我们知道对于不变电阻 I V 关系符合欧姆定律 那么这种复杂的器件的径向电流与所加电 压 Vd 具有什么样的关系呢 实验图像如下 d V即偏压 对图像的分析 d d d gg dV VR dI VR V IVV 当小时 符合欧姆定律 当大时 非线性 当很大时 出现饱和电流 和有关 越大 电子浓度越高 则电流越大 电流与门电压的关系 实验图像如下 对图像的分析 gc gc VV V V 电子受到多次散射 图形为 图像为 与弹道输运不同的是电子在行进过程中不断回头 电流表达式 还是与弹道输运一样 I 21 ffdEET h q dEff L DhV h q 2 21 在扩散输运时 21 ff 必须用新的函数代替 即 21 ff 不再均衡 而是与位置有关 xfxf f dExfxf L DhV h q 2 此处假定透射系数不动 稳恒电流条件 constxfxfconstxI 分类 时 G L A AG0 时 L 第三节 电导率 第三节 电导率 1 扩散输运电流表达式 扩散输运电流表达式 扩散输运的图像为 稳恒电流条件 constxfxf 0 0 2 1 xf fLxf Lxf fxf R T 1 对同一个能量从左边 从右边过来的电子的 R 和 T 完全相等 ffRfRfTff ffRfRfTff 中间利用了 R T 1 f f fff fff constffff x R f cffff ff dx df ff dx df ff x f ff x f 和位置无关 令 2 1 cx c xf cx c xf f f 对于弹道输运 0 0 LfLfffcff f 其中 1 0 ff 2 fLf 21 ff L cxfxf f I dEff L EM h q 21 由于 21 ff 21 E f 其中 21 qV 所以 I V L EM h q 2 V LL DV h q x 2 G LL DV h q x 2 LL DV h q x 2 L A LA DV h q x 2 L A 这就是欧姆定律的微观写法 对于宏观材料 L L 至少为 mm 量级 为 10nm 100nm 所以 G L A 对于弹道输运 L 能量损失主要在电极上 能量耗散大小 W IV 这就解释了为什么在微观领域电子器 件没有被烧掉的原因 那么它为什么能描述宏 观欧姆定律呢 2 I V线性特征线性特征 加偏压小时 I VdE E f T h q 2 I 与 V 的关系为 那么什么时候 I V 曲线不再是线性的呢 主要看 f 作泰勒展开的条件 1 1 E e Ef TKE B e 1 1 所以当TK TK B B TKB f f 21 1 faaff 1 02 0 001 0 0 E f fa E f fa 1 0201 0 0 aa E f f 1 021 0 0 aa E f f f 所以可以将 21 1 aa 看成一个新的化学势 比较一下 21 21 1 1 faaff aa 21 21 1 1 fafaf aa dx d dx df 21 21 L ff L ff 其中表示在电极上的有效化学势 电压降 I dEff LL hDV h q x 2 21 dE E f L hDV h q x 2 上式推导用到 21 ff L LE f 21 E f 2 电压降 电压降 qV 21 21 21 21 这两者之和即为 L L L 弹道输运的电压降全部降在电极上 器件上的电流大小主要决定于 M 电极上的电流大小主要决定于 CC M 电极的横向模式数远远大于器件的 C 约为零 此时透射系数 T E L DhV 2 L M E G M E 2 h q L Mq h LMq h G R 22 1 其中 Mq h 2 称作即电极电阻 与器件的长度无关 它而完全来自于器件与电极之间的通道 数的不匹配 而 C R Mq h L 2 完全来自于器件本身的电阻 称作 它正比于 D R A L 从上式看出 a L 时 R D R Mq h L 2 L 时 R C R D R b 电导量子化 GM h q2 下面解释为什么电导是量子化的 22 2 22 2 yU mm H y x n x m K E 2 2 2 横向模式数完全来自于 y 方向的 即来自于横向的束缚势 yU 若加上门电压 qV m K E gn x 2 2 2 调整门电压就可以使 E 带上下移动 从而使 M 增大或减小 所以电导是量子化的 见下图 第六节 HALL EFFECT 第六节 HALL EFFECT 1 霍尔电压霍尔电压 回忆 drude 模型 径向电流 I GV V L W W 是器件的宽度 这是二维的情况 三维时 W 则变成面积 是动量驰豫时间 是迁移率 其中 电导时 系统才会出现霍尔所以有 B mqnqqn qn B I V xx H xx 通过测量霍尔电压可以求出迁移率 迁移率代表材料的干净程度 也可以测出电子浓度 即 BInq nqBIVH 2 电子的速度分布 电子的速度分布 假定处于二维系统 a 弹道输运 b 扩散输运情况 3 磁场效应 磁场效应 f表示向正方向流动的电子的分布函数 f表示向负方向流动的电子的分布函数 磁场导致分布函数旋转 完全来自于洛伦兹力 那么怎样求 u up U f 如果类比于前面 ff dx df dx df 我们可以这样写吗 DUDU ff dy df dy df 不能 正确的写法是 DUDU ff dy df dy df B 由于电路时开路状态 所以无电流 即 U f D f 从上图可以知道 U f 2 ff t 2 ff V y C 其中 m qB C 通过上式可知 2 ff Vdy df dy df C DU Wff V ff C DU 2 W qV V q W V TKeV C H C B 2 2 H H 第七节 Scattering Matrix 第七节 Scattering Matrix 1 电流 电流 电压矩阵电压矩阵 在两端情况下 II qn B VV L W GVI xx c HHxx H V V qn B W L xx 0 I 若0 那么两个 各为什么 H I 将 3 4 当成径向 则有下式 V VH xx C xxW L L W xx C H I 0 即上式写成逆矩阵形式 H I I yx xx LW WL yy xy H I 0 注意 yxxy 与相差一个负号 因为当电子运动方向相反时 洛伦兹力也会给出一个相反的力 2 散射矩阵 散射矩阵 a Hall 装置装置 3 4 是霍尔电极 只测量电势 无电流 i3 0 i4 0 先看 1 与 2 电极中的电流 前面已讲 dE E f L hDV h q I x 2 21 L M h q 在任一界面的电流都能写成 xIxIxI 因为要求电流处处相等 那么在电极 1 处的电流为 111 xIxIxI 类似地在电极 1 处的电流为 222 xIxIxI 新的定义 以中间装置为对象 凡是进入的电流记为 凡是流出的电流记为负 所以 电极 2 的电流就与原来规定的相反 电极 1 的电流是不变的 111 xIxIxI 111 11 11 那么 M h q I M h q I 3 定义散射矩阵 定义散射矩阵 goingo ingoing 2 1 2 1 ut i i i i 表示出去的电子 表示进去的电子 122 211 TiRii TiRii 11 M h q I M 是电极 1 与器件接触处的模式数 所以此处可以写成 1 M 11 M h q I 已知 1 1 1 22 M h q I 已知 2 2 2 22 M h q I 用矩阵统一表示 M h q i写成分量 22 11 2 1 M M M h q i i 同理 M h q i 对于每一个都已知 都是电极上的 总电流表示为 iii 2 1 i i 有前面求出为 T R R T 2 1 i i 矩阵中横向部分之和与纵向部分之和都是 1 将 成为 S 矩阵 T R R T 所以 iii i iS T T iSI T T i T T T T 2 1 M h q 0 21 212 211 ii M h q i M h q i i SI M h q MSI h q G 电导来自于电极和器件两部分 即 D C G G G 3 四端点器件散射矩阵四端点器件散射矩阵 假定 只是用来测量电压的 0 43 ii 所以 因为无电流 33 44 则散射矩阵为 先不管 A C 中的元素 4 3 2 1 2 1 i i C i i A i i 再简化些成 bab baa iBiDi iCiAi 其中 a 代表 1 2 电极 b 代表 3 4 电极 统一为 D A i i b a B C b a i i 0 0 444 333 iii iii ab iDiBI abb DiBIii 1 因为 aaa DiBICAii 1 a iDBICA 1 将 DBICA 1 记为 S aaaaa M h q SIiSIiii M h q SIG 第八节 Landauer Butticker formulism 第八节 Landauer Butticker formulism 1 散射矩阵 散射矩阵 在任意界面总的透射系数应是相等的 2211 MTMT iii i iS iSI q M h q SI a 2 11 11 2 MT MT h q 22 22 MT MT qMTMT h q i 222111 2 1 qMT h q 2111 2 因为 2211 MTMT 又因为要满足0 21 ii qMT h q i 2111 2 2 因为 i iS 两边同加上 i得 iSIii 同除以 2 得 i SIii 2 2 所以 2 2 1 ii SIi 这时候再来计算电流 i ii SI i SI 2 2 1 ii SI 令 则 上式 21 MM 21 TT SI 2 2 1 M h q SI 2 T T T T T R1 1 1 R T M h q 2 2 22 11 RMT h q Gd 2 因为电阻看出串联 sd GGG 111 总 结合以上两个式子可知 M h q Gs 2 2 四端电路四端电路 问题 1 加入 3 4 电极对原来的电流会有什么影响 问题 2 3 4 两电极之间的电导如何去求 即知道电流如何求 3 4 电极之间的电压差 4 3 2 1 ba BiDii CiAii bab baa D A S 这是一个 4 B C 4 矩阵 因为 bb ii ab DiBIi 1 aa iDBICAi 1 M h q YIG DBICAY 1 baaa iBIDYIiii 1 bb M h q BIDYI 1 1 b MBIDYIG I VV G 43 4 3 3 求和规则求和规则 每一个电极电流表达式 nnn iii 以两端为例 1 1 T R S 2 2 R T h q SMM h q SIiii