高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 理 新人教版.ppt

第3节空间点 直线 平面之间的位置关系 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 知识梳理自测 考点专项突破 知识梳理自测把散落的知识连起来 教材导读 1 分别在两个平面内的直线就是异面直线吗 提示 不是 异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线 指的是找不出一个平面同时经过这两条直线 分别在两个平面内的直线可以平行 异面或相交 2 空间直线与平面 平面与平面的位置关系有哪些 提示 直线与平面的位置关系有相交 平行 在平面内 平面与平面的位置关系有平行 相交 知识梳理 1 平面的基本性质及相关公 定 理 m n 相等或互补 2 空间中点 线 面之间的位置关系 3 异面直线所成的角 1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 锐角 或直角 2 范围 重要结论 经过平面内一点的直线 不在平面内 与平面内不经过该点的直线是异面直线 双基自测 1 在下列命题中 不是公理的是 a 平行于同一个平面的两个平面相互平行 b 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 c 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 d 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 a 2 若 aob a1o1b1 且oa o1a1 oa与o1a1的方向相同 则下列结论中正确的是 a ob o1b1且方向相同 b ob o1b1 c ob与o1b1不平行 d ob与o1b1不一定平行 d 解析 两角相等 角的一边平行且方向相同 另一边不一定平行 故选d 3 2016 江西七校联考 已知直线a和平面 l a a 且a在 内的射影分别为直线b和c 则直线b和c的位置关系是 a 相交或平行 b 相交或异面 c 平行或异面 d 相交 平行或异面 解析 依题意 直线b和c的位置关系可能是相交 平行或异面 选d d 4 导学号38486136如图是正方体的平面展开图 则在这个正方体中 bm与ed平行 cn与be是异面直线 cn与bm成60 角 dm与bn是异面直线以上四个命题中 正确命题的序号是 a b c d 解析 由已知中正方体的平面展开图 得到正方体的直观图如图所示 由正方体的几何特征可得 bm与ed是异面直线 cn与be是平行线 an bm 所以cn与bm所成的角就是 anc 60 正确 dm与bn是异面直线 正确 所以正确命题的序号是 故选c c 考点专项突破在讲练中理解知识 考点一 平面的基本性质及应用 例1 导学号18702351如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是ab aa1的中点 求证 1 e c d1 f四点共面 证明 1 如图 连接ef cd1 a1b 因为e f分别是ab aa1的中点 所以ef a1b 又a1b cd1 所以ef cd1 所以e c d1 f四点共面 2 ce d1f da三线共点 证明 2 因为ef cd1 ef cd1 所以ce与d1f必相交 设交点为p 则由p ce ce 平面abcd 得p 平面abcd 同理p 平面add1a1 又平面abcd 平面add1a1 da 所以p 直线da 所以ce d1f da三线共点 反思归纳 1 点线共面问题的思路与方法先确定一个平面 再证有关点 线在此平面内 2 多线共点问题的思路与方法 先证其中两条直线交于一点 再证交点在第三条直线上 证交点在第三条直线上时 第三条直线应为前两条直线所在平面的交线 可以利用公理3证明 2 c d f e四点是否共面 为什么 2 在图中 g n m h分别是正三棱柱 两底面为正三角形的直棱柱 的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析 2 在图 中 直线gh mn 在图 中 g h n三点共面 但m 面ghn n gh 因此直线gh与mn异面 在图 中 连接gm gm hn 因此gh与mn共面 在图 中 g m n共面 但h 面gmn g mn 因此gh与mn异面 所以在图 中gh与mn异面 答案 2 考点二 空间两直线的位置关系 反思归纳 1 空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 常常利用线面垂直的性质来解决 2 解决位置关系问题时 要注意几何模型的选取 如利用正 长 方体模型来解决问题 跟踪训练2 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列判断错误的是 a mn与cc1垂直 b mn与ac垂直 c mn与bd平行 d mn与a1b1平行 解析 如图 连接c1d 在 c1db中 mn bd 故c正确 因为cc1 平面abcd bd 平面abcd 所以cc1 bd 所以mn cc1 故a正确 因为ac bd mn bd 所以mn ac 故b正确 因为a1b1与bd异面 mn bd 所以mn与a1b1不可能平行 故选项d错误 故选d 考点三 异面直线所成的角 例3 2016 全国 卷 平面 过正方体abcd a1b1c1d1的顶点a 平面cb1d1 平面abcd m 平面abb1a1 n 则m n所成角的正弦值为 反思归纳探求常规的异面直线所成角的问题 首先要理清求角的基本步骤为 一作 二证 三求 通过平行线或补形平移法把异面直线转化为相交直线进而求其夹角 其中空间选点任意但要灵活 如常选择 端点 中点 等分点 通过三角形的中位线平行于底边 长方体对面上的平行线进行平移等 这是研究空间图形的一种基本思路 即把空间图形问题转化为平面图形问题 备选例题 例1 2016 金丽衢十二校模拟 已知a b c为三条不同的直线 且a 平面 b 平面 c 若a与b是异面直线 则c至少与a b中的一条相交 若a不垂直于c 则a与b一定不垂直 若a b 则必有a c 若a b a c 则必有 其中正确的命题的个数是 a 0 b 1 c 2 d 3 解析 中若a与b是异面直线 则c至少与a b中的一条相交 故 正确 中平面 平面 时 若b c 则b 平面 此时不论a c是否垂直 均有a b 故 错误 中当a b时 则a 平面 由线面平行的性质定理可得a c 故 正确 中若b c 则a b a c时 a与平面 不一定垂直 此时平面 与平面 也不一定垂直 故 错误 所以正确命题的个数是2 故选c 例2 如图为正方体表面的一种展开图 则图中的四条线段ab cd ef gh在原正方体中互为异面直线的对数为对 解析 平面图