黑龙江省海林市高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词和特称量词课件1 新人教A版选修11.pptVIP

第一章常用逻辑用语 1 4全称量词与存在量词 1 4 1全称量词1 4 2存在量词 1 理解全称量词 存在量词和全称命题 特称命题的概念 2 能准确地使用全称量词和存在量词符号 即 来表述相关的数学内容 3 掌握判断全称命题和特称命题的真假的基本原则和方法 新知视界1 全称量词和全称命题 1 全称量词 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 2 全称命题 定义 含有全称量词的命题 叫做全称命题 一般形式 全称命题 对m中任意一个x 有p x 成立 可用符号简记为 x m p x 读作 对任意x属于m 有p x 成立 其中m为给定的集合 p x 是一个关于x的命题 2 存在量词和特称命题 1 存在量词 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫做存在量词 并且符号 表示 2 特称命题 定义 含有存在量词的命题 叫做特称命题 一般形式 特称命题 存在m中的元素x0 使p x0 成立 可用符号简记为 x0 m p x0 读作 存在m中的元素x0 使p x0 成立 尝试应用1 a 则a平行于 内任一条直线 是 a 真命题b 全称命题c 特称命题d 不含量词的命题解析 命题中含有 任一 全称量词 故为全称命题 答案 b 解析 如x 0时 x2 0 满足x2 0 答案 b 解析 当x 0时 0 n 但0 1 故 x n x 1 是假命题 答案 b 4 下列命题 偶数都可以被2整除 角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等 正四棱锥的侧棱长相等 有的实数是无限不循环小数 有的菱形是正方形 存在三角形其内角和大于180 既是全称命题又是真命题的是 既是特称命题又是真命题的是 填上所有满足要求的序号 解析 是全称命题 是真命题 是全称命题 是真命题 是全称命题 即 任意正四棱锥的侧棱长相等 是真命题 含存在量词 有的 是特称命题 是真命题 是特称命题 是真命题 是特称命题 是假命题 因为任意三角形内角和为180 答案 5 用符号 或 表示下面的命题 并判断真假 1 实数的平方大于或等于0 2 存在一对实数 x y 使2x y 1 0成立 3 勾股定理 解 1 是全称命题 隐藏了全称量词 所有的 x r x2 0 是真命题 2 x r y r 2x y 1 0 是真命题 如x 0 y 2时 2x y 1 0 2 1 1 0成立 3 这是全称命题 所有直角三角形都满足勾股定理 即 rt abc a b为直角边长 c为斜边长 a2 b2 c2 是真命题 分析 首先判断命题中含有哪种量词 进而确定是哪种命题 然后正面推理证明或举反例说明命题的真假 点评 1 要判定命题是全称命题还是特称命题 主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词 要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词 这时我们就要根据命题涉及的意义去判断 2 要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每个元素x验证p x 成立 但要判定全称命题是假命题 却只要能举出集合m中的一个x0 使得p x0 不成立即可 这就是通常所说的 举出一个反例 3 要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合m中 能找到一个x0使p x0 成立即可 否则 这个特称命题就是假命题 迁移体验1指出下列命题是全称命题 还是特称命题 并判断它们的真假 1 对任意的x r x2 x 1 0都成立 2 至少有一个整数 它既能被2整除 又能被5整除 3 对数函数都是单调函数 4 x r x2 3x 2 0 解 1 全称命题 因为x 0时 x2 x 1 1 0 故是假命题 2 特称命题 是真命题 比如10既能被2整除 又能被5整除 3 全称命题 是真命题 4 全称命题 是假命题 因为只有x 2或x 1时满足 类型二全称命题与特称命题的表述 例2 1 设集合s 四边形 p x 内角和为360 试用不同的表述写出全称命题 x s p x 2 设q x x2 x 试用不同的表达方法写出特称命题 x r q x 分析 由题目可获取以下主要信息 第 1 小题是全称命题 第 2 小题是特称命题 要求分别用不同的方式表示各自的命题 解答本题应先分清是全称命题还是特称命题 再选取合适的量词用不同的方式来表述 解 1 依题意可得以下几种不同的表述 对所有的四边形x x的内角和为360 对一切四边形x x的内角和为360 每一个四边形x的内角和为360 任一个四边形x的内角和为360 凡是四边形x 它的内角和为360 迁移体验2用全称量词或存在量词表示下列语句 1 n边形的内角和等于 n 2 180 2 两个有理数之间 都有一个有理数 3 有一个实数乘以任意一个实数都等于0 解 1 一切n边形的内角和都等于 n 2 180 2 任意两个有理数之间 都有一个有理数 3 存在一个实数x 它乘以任意一个实数都等于0 分析 由题目可获取以下主要信息 四个命题中有两个全称命题 两个特称命题 要求判断命题的真假 解答本题首先正确理解命题的含义 再采用举反例等方法给予判断 解析 由于 x r 都有x2 0 因而有x2 2 2 0 即x2 2 0 所以命题 x r x2 2 0 是真命题 由于0 n 当x 0时 x4 1不成立 所以命题 x n x4 1 是假命题 答案 点评 1 全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每个元素x验证p x 成立 但要判定全称命题是假命题 却只要能举出集合m中的一个x x0 使得p x0 不成立即可 这就是通常所说的 举出一个反例 2 特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合m中 找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 类型四全称命题与特称命题的应用 例4 函数f x 对一切实数x y均有f x y f y x 2y 1 x成立 且f 1 0 1 求f 0 的值 2 在 0 4 上存在实数x0 使得f x0 6 ax0成立 求实数a的取值范围 解 1 由已知等式f x y f y x 2y 1 x 令x 1 y 0 得f 1 f 0 2 又因为f 1 0 所以f 0 2 2 令y 0 则f x y f y f x f 0 f x 2 x 2 0 1 x x2 x f x 6 x2 x 4 点评 全称命题真 意味着对限定集合中的每一个元素都能具有某性质 使所给语句真 因此 当给出限定集合中的任一个特殊的元素时 自然应导出 这个特殊元素具有这个性质 这类似于 代入 思想 而特称命题为真 则只需在给定的集合中 找到一个元素具有某性质 使该语句为真即可 解决有关存在性命题的参数取值范围问题 应尽量分离参数 若得到g a f x 成立 则只需求f x 的值域b 进而确定使g a b的a的值即可 若g x f x 则只需确定g a f x 的最小值即可 类似地 对于全称命题 特别是恒成立 的问题 也应尽量用分离参数法来求解 迁移体验4已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x r恒成立 并说明理由 2 若存在一个实数x0 使不等式m f x0 0成立 求实数m的取值范围 解 1 不等式m f x 0可化为m f x 即m x2 2x 5 x 1 2 4 要使m x 1 2 4对于任意x r恒成立 只需m 4即可 故存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x r恒成立 此时 只需m 4 2 不等式m f x0 0可化为m f x0 若存在一个实数x0 使不等式m f x0 成立 只需m f x min 又f x x 1 2 4 f x min 4 m 4 所以 所求实数m的取值范围是 4 思悟升华1 一般地 设p x 是某集合m的所有元素都具有或都不具有的性质 那么全称命题就是形如 对m中的所有x有p x 成立 的命题 用符号简记为 x m p x 2 一般地 设q x 是某集合m的有些元素x具有或不具有的某种性质 那么特称命题就