弹塑性力学讲义 第二章应力分析.pdf

1 第二章第二章 应力分析应力分析 研究弹性力学问题要从三方面规律 条件 平衡 几何 物理来建立 本章就是研 究第一个规律 平衡规律 第 1 节 内力和外力第 1 节 内力和外力 1 1 外力 外力 物体承受外因而导致变形 外因可以是热力作用 化学力作用 电磁力作用和机械 力作用 另一方面从量纲分类 外力主要为体积力和表面积力 我们讨论的外力是属于 机械力中的体力和面力的范围 1 外部体力 作用在物体单位体积 质量 上的力如重力 惯性力 量纲 力 长度 3 求 V 中任意点 P 上承受体力采用极限方法 kZjYiXkfjfifeff V F zyxii V lim 0 其中 zyx fff 为沿三个坐标轴分量 2 外部面力 作用在物体外部表面力 如静水压力 土压力等 量纲 力 长度 2 求物体表面上任意一点 P 上受面力仍采用极限方法 kZjYiXkFjFiFeF S F P zyxii S lim 0 1 2 内力 内力 物体内部抵抗外力而产生相互作用的力 在材力和结力中以N M Q形式 出现 但在弹力中以应力来描述 P X1 X3 X2 V F P X1 X3 X2 S F 2 第 2 节 应力和应力张量第 2 节 应力和应力张量 2 1 应力应力 当变形体受外力作用时 要发生变形 同时引起物体内部各点之间相互作用力 抵 抗力 内力 为了描述物体内任意点 P 的内力可采取如下方法 过 P 点设一个截面 S 将 V 分为两部分 作用力与反作用力 一部分 V S 外法线 n 合力 F 另一部分 V S 外法线 n 合力 F 截面上的合力 0 FF 或 FF 截面上P点上的内力情况 在V 上S面围绕P点取 S S上合力为F 应力矢量 作用在V S F t S n lim 0 应力矢量与P点位置有关 与截面方向 n 方向 有关 应力矢量具有 一个方向性 量纲为力 长度 2 取V 00 limlimn SS n t S F S F t 作用在V 上 当P点的截面与坐标面平行时 i en in tt 定理定理 2 1 过P点以n 为单位外法线截面上的应力矢量 n t 是作用在通过P点坐标平 面的应力矢量 1 x tt 2 y tt 3 z tt 的线性函数 其系数是n 的方向余弦 F F n n V V S S F n S P V 3 lnn x 1 mnn y 2 nnn z 3 即 ntmtltntntntntt zyxiin 3 3 2 2 1 1 1 SnPBCSABC 32 SnPABSnPAC 0 VfStSt iin 而 SnStt iiii 代入上式 并忽略高阶微量 0 SntSt iin 或 iin tnt 展开为 3 3 2 2 1 1 ntntntt n 或 ntmtltt zyxn 2 1 应力张量应力张量 每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量 比如坐标面法线为x1 jijzxzyxyxxxx eeeeeeett 313212111 1 x2 x3 x1 t n t 3 t 2 t 1 f n P C B A t 1 x1 x x3 z x2 y 11 12 13 4 沿三个坐标面的应力矢量 i t 由九个元素 分量 表示 这九个分量组成一个二阶张量 zzyzx yzyyx xzxyx zzzyzx yzyyyx xzxyxx 333231 232221 131211 这九个分量的两个下标 第一个表示应力矢量作用面的法线方向 第二个下标表示 应力矢量的分量的方向 应力分量的正负 在正面上应力分量指向坐标正向为正 反之为负 在负面上的应 力分量指向坐标负向为正 反之为负 下面说明一下 为张量 neeenenentnt jiijkkjkiijkjijiiin 用商法则可知 nt n 柯西公式 柯西公式 Canchy formula 由商法则可知 jiij ee 为一二阶张量 斜面上的应力矢量 n t 沿正交坐标系分解 iin ett 根据柯西公式 ijijjijin enennt 斜面上的应力矢量沿正交坐标系分量 jiji nt 定理定理 2 2 作用在过P点任一截面的应力矢量完全由该点的应力张量线性表出 柯西公式表示了应力张量与任一斜面上应力矢量关系 n t 且 n t 是以三 个坐标分量表示 应力矢量也可沿斜面法向n 和切向分解 法向应力 n nn nzxyzxyzyxjijinn iinnnn nlmnlmnmlnnnnnt ennn 222 222 5 iiniiiniiniinn entenetett 222 22 2 2 22 niinnii nijijniiiiniiniiiniini t tt t nnt tnnntt tntnt 2 2 2 jiijiinn nnttt 作业 1 在物体中一点P的应力张量为 504 030 401 求 1 过P点且外法 线为 321 2 1 2 1 2 1 eeen 的面上的应力矢量 n t 2 nt 的大小 3 nt 与n 的夹角 4 求 n t 的法向分量 n 5 切向分量 n 2 在P点两斜面法线向量 1 n 和 2 n 证 12 21 ntnt nn 用指标符号证 1 n t 2 n 第 3 节 应力分量转换公式 第 3 节 应力分量转换公式 当物体受外力作用下 其内力和变形也是一定的 但这些物理量随着选取的直角坐 标系不同他们的分量是不一样的 但不同坐标下它们 分量 之间转换应遵循一定的规 律 3 1 两个不同直角坐标系基向量的转换 两个不同直角坐标系基向量的转换 1 n 2 n t 6 旧 第一个直角坐标系 i x i e 3 2 1 i 新 第二个直角坐标系 i x i e 3 2 1 i 1 ii ee 新坐标基矢量由旧坐标基矢量表示 3 3 2 2 1 1 eQeQeQeQe iii j ji i 两边点积 k e ki jk ji ki QQee cos jiji ji xxeeQ i e 与 j e 的方向余弦 共有九个元素 九个元素用矩阵表示 QQ ji 则新坐标基矢量用旧基矢量表示 eQe 同理旧坐标基矢量用新坐标基矢量表示 j ij i eQe cos jiji ij xxeeQ 注意 TT jiij QQQ 旧坐标基矢量用基矢量新表示 eQe T 3 2 矢量 向量 的坐标转换矢量 向量 的坐标转换 jjii exexr i ij jiij xQeexx x3 x1 x2 x 1 x 2 x 3 1 e 3 e 2 e 1 e 2 e 3 e x3 x2 x1 r 7 j i j ijji xQeexx 用矩阵表示 3 2 1 332313 322212 312111 3 2 1 x x x QQQ QQQ QQQ x x x xQx xQx T 3 3 应力 二阶 张量的坐标变换应力 二阶 张量的坐标变换 lk lk jiij eeee lkjlik ij QQ ki kjkiji QQ QQQQ TT jllkik T QQ 3 4 笛卡尔张量定义一般式笛卡尔张量定义一般式 如物理量 sji sji sjisij eeeTeeeTT 两个不同笛直坐标下表示 满足 sij ssjji isji TQQQT 则 T 为r阶张量 第第4节 主应力和应力主方向 应力张量的不变量节 主应力和应力主方向 应力张量的不变量 由柯西公式 已知一点的应力状态 或 i t 在 i x笛卡尔坐标系中 则任何n 方向 的应力矢量 n t ntnt iin iie nn jiji et 而 snett NNiin ijijii enet 8 这里 0 sn 1 ssnn 随着 n 变化 n t 也变化 但肯定存在一个 n 使 0 即 iiiin tnennt ijijii enen 采用指标符号 jiji nn 或 0 ijij nn 展开 0 313212111 nnn 0 323222121 nnn 1 0 333232131 nnn 1 iin n 即 i n 不全为零 0 332313 322212 312111 有关 的三次方程 0 23 2 其中 yyxii 332211 应力的第一不变 量 1113 3133 3332 2322 2221 1211 2 1 ijijjjii 应力的第二不变 量 321kjiijk e 333231 232221 131211 应力的第三不变量 由 2 求出 的三根分别为 321 代回 2 式 0 321 9 应力张量第一不变量 321 应力张量第二不变量 233221 应力张量第三不变量 321 求出主应力后 k 代回 1 并注意n 的三个方向余弦 1 iin n 可决定每个主应力 k 的主方向 k n 3 2 1 kkk nnn 几点说明 1 因为由线性代数知实对称阵的特征值为实数 三个主应力均为实数 且 321 时 133221 nnnnnn 2 当有一个重根时 如 321 则与 3 n 垂直平面内任何方向均为主应力 为 21 3 当 321 任意方向均为主方向 称为球形应力或静水应力状态 第第5节 最大正应力和剪应力节 最大正应力和剪应力 5 1 最大正应力最大正应力 一点P的三个主应力 321 N max 1 N min 可以取 i x轴为主轴 则 333222111 eeeeee 任意n 的应力矢量 nt n n 为斜面的单位法向量 ijjinN nnnnnt 当ji 时 0 ij 3 2 32 2 21 2 133 2 322 2 211 2 1 nnnnnn N 332 2 231 2 13 131 2 321 2 21 nn nn N N 13 N 5 2 最大剪应力最大剪应力 10 2 2 2 NnN t 2 2 nnN t 2 2 2 jiijiinn nnttt jiji nt 0 ij 当ji 22 3 2 3 2 2 2 21 2 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 nnnnnn N 1 iin n 条件驻值问题 引入拉氏乘子 1 2 iiN nnF 0 0 0 0 3 2 1 F n F n F n F 求出 n 最大的方向 2 1 min max 31 max 在 1 3 平面内与 1 和 3 成 45角 莫尔园 第第6节 应力张量的分解节 应力张量的分解 jiijiijiijijii jiijijijjiij eeseeeeee eeee 000 00 max 1 2 3 min 11 3 1 3 1 3322110 ii ijijij s 0 SI 0 I 0 为应力球张量 S为应力偏斜张量 应力球张量I 0 是一种平均的等向应力状态 均匀拉压 对于各向同性材料 它引起体积膨胀 或收缩 实验证明 对于金属等材料 体积膨胀基本是纯弹性的 应力偏斜张量S表示 实际应力状态减去应力球形张量 了材料的形状畸变 而实验证 明塑性变形基本是畸变变形 所以S在塑性力学中非常重要 第第7节 平衡微分方程 力的边界条件节 平衡微分方程 力的边界条件 2 6节较系统 不同侧面 讨论了一点应力张量 状态 这一节将讨论 应力 面力 体力 F f 外力 之间的关系 平衡微分方程和力的边界条件 7 1平衡微分方程平衡微分方程f 当变形体受外力作用包括体力和面力 研究某点 P 的f 之间关系 取有限变形体 V 考虑有限变形体总平衡 合力 0 dStdVf S n V 或 0 SV dSndVf 将面积分转化为体积分将面积分转化为体积分 利用高斯定理 0 VV dVdVf f F x1 x3 x2 o 12 即 00 fdVf V 在 V 上 对任意体积 0 f 平衡微分方程 平衡微分方程 用指标符号写 0 iiikki j j efee x e 或 0 iii j ji efe x 除了合力等于零外 有限体还需对任意点取力矩为零 力矩平衡 有限变形体V对坐标原点o取矩 0 S n V dStrdVfr 而 SS iiii S n dStrndStnrdStr 利用高斯定理 SV iiii dStrdStrn 则力矩平衡方程 0 dVtrtrfr ii V ii f F x1 x3 x2 r o 13 或 0 dVtrftr ii V ii 而 0 fft ii 所以 0 dVtr ii V 0 ii tr ikik i kk i i kk ee x ex r x r exr 0 iiii tetr 0 321122133113223 eeeeeee kijkijjiji 得 jiij 剪应力互等 7 2 力的边界条件力的边界条件 在斜面上 jiji n nt nt 应用在边界上 jijii iiiin nFX eXeFFt 31211111 nmln