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最新下载(NewD) 中国最大、最专业的学习资料下载站 转载请保留本信息第二章 一元函数微分学21 导数与微分甲 内容要点一导数与微分概念 1导数的定义 设函数在点的某邻域内有定义，自变量在处有增量，相应地函数增量。如果极限存在，则称此极限值为函数在处的导数（也称微商） 记作，或，等。 并称函数在点处可导。如果上面的极限不存在，则称函数在点处不可导。 导数定义的另一等价形式，令， 则 我们也引进单侧导数概念。 右导数： 左导数： 则有 在点处可导在点处左、右导数皆存在且相等。 2导数的几何意义与物理意义 如果函数在点处导数存在，则在几何上表示曲线在点处的切线的斜率。 切线方程： 法线方程： 设物体作直线运动时，路程与时间的函数关系为，如果存在，则表示物体在时刻时的瞬时速度。 3函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数在点处可导，则在点处一定连续，反之不然，即函数在点处连续，却不一定在点处可导。 例如，在处连续，却不可导。 4微分的定义 设函数在点处有增量时，如果函数的增量有下面的表达式 其中为与无关，是时比高阶的无穷小。 则称在处可微，并把中的主要线性部分称为在处的微分， 记以或 我们定义自变量的微分就是。 5微分的几何意义 是曲线在点处相应于自变量增量的纵坐标的增量，微分是曲线在点处切线的纵坐标相应的增量（见图）。 6可微与可导的关系 在处可微在处可导。 且 一般地，则 所以导数也称为微商，就是微分之商的含义。 7高阶导数的概念 如果函数的导数在点处仍是可导的， 则把在点处的导数称为在点处的二阶导数， 记以，或，或等， 也称在点处二阶可导。 如果的阶导数的导数，称为的阶导数记以，等，这时也称是阶可导。二导数与微分计算 1导数与微分表 （实常数） （实常数） 2四则运算法则 3复合函数运算法则 设，如果在处可导，在对应点处可导，则复合函数在处可导，且有 对应地 由于公式不管是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。 4由参数方程确定函数的运算法则 设，确定函数，其中，存在，且，则 二阶导数 5反函数求导法则 设的反函数，两者皆可导，且 则 二阶导数 6隐函数运算法则 设是由方程所确定，求的方法如下： 把两边的各项对求导，把看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出的表达式（允许出现变量） 例：， 7对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数。 对数求导法主要用于： 幂指函数求导数 多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数常用的一种方法这样就可以直接用复合函数运算法则进行。 关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。乙 典型例题一用导数定义求导数 例1设，其中在点处连续，求。 解：没有假设可导，所以不能用导数的乘法公式，我们就用导数的定义 例2设（为正整数），求 例3设，在内有定义，且满足，其中为常数，求。 二分段函数在分段点处可导性 例1讨论函数 在处的连续性与可导性。 解：函数在处连续，因为， 则 但是，在处没有导数，因为 曲线在原点的切线不存在。（见上图） 例2讨论函数在点处的连续性与可导性。 例3设函数 试确定、的值，使在点处可导。 例4设问和为何值时，可导，且求。 例5设，在内求。 例6设 ，求。 三用各种运算法则求导数 1运用四则运算和复合函数求导法则 例1求下列函数的导数： （1）； （2）； （3）； 解：（1） （2） （3）。 例2求下列函数的微分 （1）； （2）； （3）。 例3设，求 例4设可导，求 例5设可微，求 例6设可微，求 2运用隐函数求导法则 例1设由方程所确定，求和 解：对方程两边关于求导，看作的函数，按中间变量处理 于是， 3运用对数求导法则 例1求的导数 解： 对求导，得 因此， 例2设，求 例3设由方程所确定，求 4运用参数方程求导法则 例1设，求 例2设，求 例3设可导，连续， ，求五高阶导数 1求二阶导数 例1设 求 例2设 求 例3设由方程所确定，求 解：， 2求阶导数（，正整数） 先求出总结出规律性，然后写出，最后用归纳法证明。 有一些常用的初等函数的阶导数公式 （1） （2） （3） （4） (5) 两个函数乘积的阶导数有莱布尼兹公式 其中 ， ， 假设和都是阶可导。 例1设（正整数）求（正整数） 解： 例2设，求（正整数） 例3设 求（正整数） 例4设 求 （正整数）22 微分中值定理 本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理（泰勒公式） 注：数学三不考泰勒定理，数学四不考柯西中值定理和泰勒定理 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。甲 内容要点一罗尔定理 设函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3） 则存在，使得 几何意义：条件（1）说明曲线在和之间是连续曲线；包括点和点 条件（2）说明曲线在之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于轴的切线不包括点和点 条件（3）说明曲线在端点和处纵坐标相等。 结论说明曲线在点和点之间不包括点和点至少有一点，它的切线平行于轴。 （注：如果要证明这样的还是唯一的，那么需要证明在内是单调增加或单调减少，一般就需要证明在内或）二拉格朗日中值定理 设函数满足 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； 则存在，使得 或写成 有时也写成 这里相当或都可以，可正可负。 几何意义：条件（1）说明曲线在点和点之间包括点和点是连续曲线； 条件（2）说明曲线不包括点和点是光滑曲线。 结论说明曲线在之间不包括点和点至少有一点，它的切线与割线是平行的。 推论1若在内可导，且，则在内为常数。 推论2若，在内皆可导，且，则在内，其中为一个常数。 （注：拉格朗日中值定理为罗尔定理的推广，当特殊情形，就是罗尔定理）三柯西中值定理（数学四不要） 设函数和满足： （1）在闭区间上皆连续； （2）在开区间内皆可导；且 则存在使得 （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。） 几何意义：考虑曲线的参数方程 点，点曲线在上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线。 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。四泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二） 定理1（皮亚诺余项的阶泰勒公式） 设在处有阶导数，则有公式 其中 称为皮亚诺余项。 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的，所以对常用的初等函数如和（为实常数）等的阶泰勒公式都要熟记。 定理2（拉格朗日余项的阶泰勒公式） 设在包含的区间内有阶导数，在上有阶连续导数，则对，有公式 其中，（在与之间） 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以为中心的阶泰勒公式。当时，也称为阶麦克劳林公式。 如果，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。乙 典型例题一用罗尔定理的有关方法 例1设在上连续，在内可导，且， 试证：必存在，使 证：在上连续，在上连续，且有最大值和最小值，于是；， 故 由连续函数介值定理可知，至少存在一点使得 ， 因此，且在上连续，内可导， 由罗尔定理得出必存在使得 例2设在上连续，内可导，且 求证：存在使 例3设在上连续，内可导，对任意， 有，求证存在使 二用拉格朗日中值定理和柯西中值定理的有关方法 1用拉格朗日中值定理的有关方法 例1设，试证 例2设是周期为的连续函数，在内可导，且， 又设是在上的最大值，证明：存在，使得 例3设不恒为常数的函数在上连续，内可导，且，证明内至少有一点，使得。 证：由题意可知存在使得 如果，则在上用拉格朗日中值定理存在，使 如果，是在上用拉格朗日中值定理，存在，使得， 因此，必有，使得成立 例4设，证明对任意，恒有 23 导数的应用甲 内容要点一判断函数的单调性 定理：设函数在内可导，如果恒有则在内单调增加（单调减少）；如果恒有，则在内单调不减（单调不增）。 基本应用模型：设在内连续，在内可导，且，又，则当时，恒有。二函数的极值 1定义 设函数在内有定义，是内的某一点，则 如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极大值，称为函数的一个极大值点； 如果点存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点，总有，则称为函数的一个极小值，称为函数的一个极小值点。 函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。 2必要条件（可导情形） 设函数在处可导，且为的一个极值点，则。 我们称满足的为的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。 极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3第一充分条件 设在处连续，在内可导，不存在，或。 如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极大值，为极大值点； 如果在内的任一点处，有，而在内的任一点处，有，则为极小值，为极小值点； 如果在内与内的任一点处，的符号相同，那么不是极值，不是极值点。 4第二充分条件 设函数在处有二阶导数，且，则 当时，为极大值，为极大值点。 当时，为极小值，为极小值点。三函数的最大值和最小值 1求函数在上的最大值和最小值的方法 首先，求出在内所有驻点和不可导点，其次计算。 最后，比较， 其中最大者就是在上的最大值；其中最小者就是在上的最小值。 2最大（小）值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。四凹凸性与拐点 1凹凸的定义 设在区间上连续，若对任意不同的两点，恒有 则称在上是凸（凹）的。 在几何上，曲线上任意两点的割线在曲线下（上）面，则是凸（凹）的。 如果曲线有切线的话，每一点的切线都在曲线之上（下）则是凸（凹）的。 2拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。 3凹凸性的判别和拐点的求法 设函数在内具有二阶导数， 如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凹的； 如果在内的每一点，恒有，则曲线在内是凸的。 求曲线的拐点的方法步骤是： 第一步：求出二阶导数； 第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点、； 第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标； 第四步：求出拐点的纵坐标。五渐近线的求法 1垂直渐近线 若或 则为曲线的一条垂直渐近线。 2水平渐近线 若，或 则是曲线的一条水平渐近线。 3斜渐近线 若， 或， 则是曲线的一条斜渐近线。六函数作图的一般步骤 （1）求出的定义域，判定函数的奇偶性和周期性。 （2）求出，令求出驻点，确定导数不存在的点，再根据的符号找出函数的单调区间与极值。 （3）求出，确定的全部零点及不存在的点，再根据的符号找出曲线的凹凸区间及拐点。 （4）求出曲线的渐近线。 （5）将上述“增减、极值、凹凸、拐”等特性综合列表，必要时可用补充曲线上某些特殊点（如与坐标轴的交点），依据表中性态作出函数的图形。七曲率（数学一和数学二） 设曲线，它在点处的曲率，若，则称为点处的曲率半径，在点的法线上，凹向这一边取一点，使，则称为曲率中心，以为圆心，为半径的圆周称为曲率圆。乙 典型例题一判别函数的单调性 例1设在上，则，或的大小顺序是 （A） （B） （C） （D） 解：选（B） 根据拉格朗日中值定理 其中，又，单调增加 因此， 例2设函数在上连续，在内可导，且满足，如果单调增加，求证在内单调增加。 例3证明函数在内单调增加二有关函数的极值 例1设函数在内连续，其导函数的图形如图所示，则有 （A）一个极小值点和两个极大值点。 （B）两个极小值点和一个极大值点。 （C）两个极小值点和两个极大值点。 （D）三个极小值点和一个极大值点。 解：有三个驻点和一个不可导点，考察它们两侧导数的符号，用第一充分判别法可知，最小驻点为极大值点，另一个较小驻点为极小值点，原点为不可导点是极大值点，最大的驻点为极小值点，故应选C。 例2讨论的极值 解： 为极小值 例3设，则 （A）是的极值点，但不是曲线的拐点 （B）不是的极值点，但是曲线的拐点 （C）是的极值点，是曲线的拐点 （D）不是的极值点，也不是曲线的拐点 例4求的极值 例5已知函数在点处取得极值，试确定的值，并问它是极大值还是极小值？且求出此极值。 三求函数的最值 例1用面积为的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶。问油桶的直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？ 解：设油桶的直径为，高为，容积为， 则，由后一式解出代入前一式，得目标函数 （） 求导，有，令即 解得驻点（负根舍去），又，故是的唯一极大值点，它也是最大值点，即圆柱油桶的直径为时，其容积最大。这时油桶的高 （） 例2某窗的形状为半圆置于矩形之上，若此窗框的周长为一定值，试确定半圆的半径和矩形的高，使所能通过的光线最为充足。 例3把一根长为的铅丝切成两段，一段围成圆形，一