广东省湛江第一中学高二数学下学期期中试题 理 (2).doc

湛江一中20142015学年度第二学期期中考试高二级理科数学试卷 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内,对应的点的坐标是( )a b c d2等于（ ）a1bcd3的展开式的常数项为（ ）a b c d 4如图所示，用五种不同的颜色分别给a、b、c、d四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有( ) a180种 b120种c96种 d60种5有件产品，其中有件次品，每次抽取件检验，抽检后不放回，共抽次，则第次抽到正品，第次抽到次品的概率是（ ） a b c d 6如图，椭圆的左焦点为，当时，由得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”中，由（为黄金双曲线的半焦距）可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ）a b c d7已知函数的图像是下列四个图像之一，且其导函数的图像如右图所示，则该函数的图像是（ ） abcd8函数在内有极小值，则( )a b c d二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9. 根据定积分的几何意义，计算 10湛江一中学生会的名学生会干部按团委的要求分配到三个不同的年级对同学们进行仪容仪表检查，若每个年级安排名学生会干部，则不同的分配方案有 种. （用数字作答）11. 已知的导函数是,记，则由导数的几何意义和斜率公式可得的大小关系是 12. 的展开式中的系数是 （用数字作答）13名优秀学生全部保送到所大学去，每所大学至少去一名，则不同的保送方案有 种（用数字作答）14. 已知，经计算得：，那么 根据以上计算所得规律，可推出 .三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分12分）已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为. 求函数的解析式16（本小题满分12分）在边长为的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？17. （本小题满分14分）右图为一简单组合体，其底面为正方形，平面，且， （1）求证：平面；（2）若为线段的中点，求证：平面；（3）若，求平面与平面所成的二面角的大小18（本小题满分14分）某单位甲乙两个科室人数及男女工作人员分布情况见右表.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查. （1）求从甲、乙两科室各抽取的人数；（2）求从甲科室抽取的工作人员中至少有名女性的概率；（3）记表示抽取的名工作人员中男性的人数，求的分布列.19（本小题满分14分）设数列的前项和为,且对任意的都有,(1)求数列的前三项；(2)猜想数列的通项公式,并用数学归纳法证明；(3)求证：对任意都有.20（本小题满分14分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.高二级理科数学期中考试参考答案一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案bcdacabc二. 填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9. 10. 11. 12. 13. 14. ， 详细解答：一、本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1【解析】b.,故选b2【解析】c. 被积函数3【解析】d.展开式的常数项为4【解析】a.按区域分四步：第一步a区域有5种颜色可选；第二步b区域有4种颜色可选；第三步c区域有3种颜色可选；第四步由于d区域可以重复使用区域a中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用由分步乘法计数原理，共有5433180(种)涂色方法5【解析】c. “第一次正品、第二次次品”或“第一次次品，第二次正品”，而现求的是其中之一的概率。则（或）6【解析】a. ，,故选a7【解析】b.因为，所以在为增函数,又时，为增函数, 所以图象越来越陡峭，时，为减函数, 所以图象越来越平缓。8【解析】c，令，则或，是极小值点，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。9.【解析】表示即与两坐标轴围成的阴影部分的面积，该面积为 10【解析】先从6人中选出2人到第一个年级，再从剩下的4人中选2人到第二个年级，第三步从剩下的2人中选2人到第三个年级，不同的选法共有种11.【解析】记,则由于,表示直线的斜率; 表示函数在点处的切线斜率; 表示函数在点处的切线斜率所以12.【解析】 ，所以的系数为13【解析】把四名学生分成组有种，再把三组学生分配到三所大学有种，故共有种14.【解析】 ， 三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本小题满分12分）解：（）由的图象经过，知，所以3分5分由在处的切线方程是，知 8分 11分故所求的解析式是 12分16（本小题满分12分）解 ：设箱底边长为，则无盖的方底箱子的高为，1分其体积为，则 5分，令，得，解得，8分当时，；当时，.10分所以函数在时取得极大值，结合实际情况，这个极大值就是函数的最大值.，11分答：当箱底边长为时，箱子容积最大，最大容积是.12分17. （本小题满分14分）（1）证法一：取的中点，连， 故有m 四边形是平行四边形 1分又四边形是平行四边形，3分又平面，平面平面4分证法二：，平面，平面平面,又，平面，平面平面,平面，平面且 平面/平面3分又平面 平面4分（2）证法一：连结ac与bd交于点f, 连结nf，f为bd的中点，且, 又且 且四边形nfce为平行四边形-7分 ,平面,面 ，又面 面-9分证法二：如图以点d为坐标原点，以ad所在的直线为轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，则,6分, , -8分、面，且 面 -9分（3）解法1：连结dn，由（2）知面, ， 又 平面 为平面pbe的法向量，设，则 =11分为平面abcd的法向量，-12分设平面pbe与平面abcd所成的二面角为，则13分 即平面pbe与平面abcd所成的二面角为45 -14分解法2：延长pe与dc的延长线交于点g,连结gb，则gb为平面pbe与abcd的交线 d、b、g在以c为圆心、以bc为半径的圆上，-11分平面,面 且 面 面 为平面pbe与平面abcd所成的二面角的平面角-13分在中 45即平面pbe与平面abcd所成的二面角为45 14分18. （本小题满分14分）解：（1）从甲组应抽取的人数为，从乙组中应抽取的人数为；3分（2）从甲组抽取的工作人员中至少有1名女性的概率（或）-7分（3）的可能取值为0，1，2，3 -8分， -9分，-10分 ，11分（或)-12分的分布列为0123 14分19（本小题满分14分）解: (1)令得,故； 令得,故； 令得,故； 令得,故；4分(2)由(1)可以猜想,下面用数学归纳法进行证明:当时,结论显然成立；假设当时结论成立,即,从而由已知可得：.故.即,当时结论成立.综合可知,猜想对任意都成立.所以数列的通项为.9分(3),对任意都有.14分20（本小题满分14分）解： (1) 函数的定义域为1分当时， 解得；解得故的单调递增区间是，单调递减区间是4分（2）因为函数在区间上为减函数，所以对恒成立即对恒成立6分 的取值范围是8分(3)因为当时，不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，设，