广东省珠海一中等六校高三数学上学期第二次联考试卷 文（含解析）.doc

广东省珠海一中等六校2015届高三上学期第二次联考数学试卷 （文科）一选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）等差数列an的前n项和为sn若a2=1，a3=3，则s4=（）a12b10c8d62（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）ay=x3by=x2+1cy=2|x|dy=|x|+13（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）a1b2c3d44（5分）设函数f（x）=，则ff（4）=（）a2b4c8d165（5分）函数是（）a周期为的奇函数b周期为的偶函数c周期为2的奇函数d周期为2的偶函数6（5分）已知tan=，则cos2的值为（）abcd7（5分）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）abcd8（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）ay=x+by=sinx+，cy=x+4（x2）dy=9（5分）设偶函数f（x）对任意xr，都有f（x+3）=，且当x3，2时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）a10bc10d10（5分）已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，sn是数列an前n项的和，则（nn+）的最小值为（）a4b3c22d二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）数列an的前n项和sn满足sn=，则a6=12（5分）实数x，y满足，则不等式组所表示的平面区域的面积为13（5分）已知tan（+）=，tan=，则tan（+）的值为14（5分）下列四种说法：命题“xr，使得x2+13x”的否定是“xr，都有x2+13x”；设p、q是简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”为真命题；若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；把函数y=sin（2x）（xr）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（xr）的图象其中所有正确说法的序号是三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤15（12分）已知集合a=x|xa|2，b=x|lg（x2+6x+9）0（）求集合a和rb；（）若ab，求实数a的取值范围16（12分）在数列an中，已知a1=，bn+2=3an（nn*）（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和sn17（14分）已知向量，设函数f（x）=（）求f（x）的单调递增区间；（）在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若2ab，c=2，f（a）=4，求b18（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？19（14分）已知函数f（x）=ex+（）求函数f（x）的最小值；（）若对所有x0都有f（x）ax+1，求实数a的取值范围20（14分）已知二次函数f（x）=ax2+x（ar）（1）当0a时，f（sinx）（xr）的最大值为，求f（x）的最小值（2）对于任意的xr，总有|f（sinxcosx）|1试求a的取值范围（3）若当nn*时，记，令a=1，求证：成立广东省珠海一中等六校2015届高三上学期第二次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1（5分）等差数列an的前n项和为sn若a2=1，a3=3，则s4=（）a12b10c8d6考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由等差数列的前n项和得到，求前四项的和要用第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，得到结果解答：解：由等差数列的性质可得：a1+a4=a2+a3，a2=1，a3=3，s4=2（1+3）=8故选c点评：若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解2（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）ay=x3by=x2+1cy=2|x|dy=|x|+1考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：根据基本初等函数的单调性奇偶性，逐一分析答案四个函数在（0，+）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案解答：解：y=x3在（0，+）上单调递增，但为奇函数；y=x2+1为偶函数，但在（0，+）上单调递减；y=2|x|为偶函数，但在（0，+）上单调递减；y=|x|+1为偶函数，且在（0，+）上单调递增；故选d点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键3（5分）已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么k的值为（）a1b2c3d4考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：由向量的坐标加法运算求得+的坐标，然后直接利用向量共线的坐标表示列式求解k的值解答：解：=（1，k），=（2，2），+=（3，k+2），又+与共线，1（k+2）3k=0，解得：k=1故选：a点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别若=（a1，a2），=（b1，b2），则a1a2+b1b2=0，a1b2a2b1=0，是基础题4（5分）设函数f（x）=，则ff（4）=（）a2b4c8d16考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：本题可以根据不同的条件选择不同的解析式进行求值，得到本题结论解答：解：函数f（x）=，f（4）=1log24=12=1，ff（4）=f（1）=21（1）=22=4故选b点评：本题考查的是分段函数的函数值求法，本题难度不大，属于基础题5（5分）函数是（）a周期为的奇函数b周期为的偶函数c周期为2的奇函数d周期为2的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性 专题：计算题分析：利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：故选b点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题6（5分）已知tan=，则cos2的值为（）abcd考点：二倍角的余弦；同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：利用余弦的二倍角公式可求得cos2=cos2sin2，进而利用同角三角基本关系，使其除以sin2+cos2，分子分母同时除以cos2a，转化成正切，然后把tan的值代入即可解答：解：cos2=cos2sin2=故选：d点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦函数的公式解题的关键是利用同角三角函数中的平方关系，完成了弦切的互化7（5分）设向量，均为单位向量，且|+|=1，则与夹角为（）abcd考点：数量积表示两个向量的夹角；单位向量 专题：计算题分析：设与的夹角为，将已知等式平方，结合向量模的含义和单位向量长度为1，化简整理可得=，再结合向量数量积的定义和夹角的范围，可得夹角的值解答：解：设与的夹角为，|+|=1，（+）2=2+2+2=1（*）向量、均为单位向量，可得|=|=1代入（*）式，得1+2+1=1=1，所以=根据向量数量积的定义，得|cos=cos=，结合0，得=故选c点评：本题已知两个单位向量和的长度等于1，求它们的夹角，考查了得数量积的定义、单位向量概念和向量的夹角公式等知识，属于基础题8（5分）下列各函数中，最小值为2的是（）ay=x+by=sinx+，cy=x+4（x2）dy=考点：基本不等式 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：根据函数的单调性可知；y=x+，（0，1）（1，0）单调递减，（1，+），（，1）单调递增，结合不等式的等号问题判断解答：解：根据函数的单调性可知；y=x+，（0，1），（1，0）单调递减，（1，+），（，1）单调递增，f（1）=2，f（1）=2，a不正确因为bd中的函数式子等号不成了，所以b，d不正确故选：c点评：本题考查了y=x+的单调性，均值不等式的应用；属于中档题9（5分）设偶函数f（x）对任意xr，都有f（x+3）=，且当x3，2时，f（x）=4x，则f（107.5）=（）a10bc10d考点：函数的周期性 专题：计算题分析：先通过有f（x+3）=，且可推断函数f（x）是以6为周期的函数进而可求得f（107.5）=f（5.5），再利用f（x+3）=以及偶函数f（x）和x3，2时，f（x）=4x即可求得f（107.5）的值解答：解：因为f（x+3）=，故有f（x+6）=f（x）函数f（x）是以6为周期的函数f（107.5）=f（617+5.5）=f（5.5）=故选b点评：本题主要考查了函数的周期性要特别利用好题中有f（x+3）=的关系式在解题过程中，条件f（x+a）=通常是告诉我们函数的周期为2a10（5分）已知等差数列an的公差d0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，sn是数列an前n项的和，则（nn+）的最小值为（）a4b3c22d考点：等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列an的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值解答：解：a1=1，a1、a3、a13 成等比数列，（1+2d）2=1+12d得d=2或d=0（舍去），an =2n1，sn=n2，=令t=n+1，则=t+262=4当且仅当t=3，即n=2时，的最小值为4故选：a点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分11（5分）数列an的前n项和sn满足sn=，则a6=考点：数列的概念及简单表示法 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：根据题中给出的数列an的前n项和的公式便可求出数列an的通项公式，将n=6代入通项公式便可得出答案解答：解：s6s5=，所以；故答案为：点评：本题考查了数列的基本知识，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于中档题12（5分）实数x，y满足，则不等式组所表示的平面区域的面积为8考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：作出其平面区域，可知是上底长2，下底长6，高为2的梯形，从而求面积解答：解：作出其平面区域如下图：可知是上底长2，下底长6，高为2的梯形，则阴影部分的面积为（2+6）2=8；故答案为：8点评：本题考查了学生的作图能力，属于基础题13（5分）已知tan（+）=，tan=，则tan（+）的值为考点：两角和与差的正切函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：利用tan=tan（+），求出tan，再利用和角的正切公式，求tan（+）的值解答：解：tan（+）=，tan=，tan=tan（+）=，tan（+）=故答案为：点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查学生的计算能力，利用tan=tan（+），求出tan是关键14（5分）下列四种说法：命题“xr，使得x2+13x”的否定是“xr，都有x2+13x”；设p、q是简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”为真命题；若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；把函数y=sin（2x）（xr）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（xr）的图象其中所有正确说法的序号是考点：命题的真假判断与应用；特称命题 专题：简易逻辑分析：利用命题的否定判断的正误；复合命题的真假判断的正误；充要条件判断的正误；三角函数图象的平移判断的正误；解答：解：对于，命题“xr，使得x2+13x”的否定是“xr，都有x2+13x”；满足命题的否定形式，所以正确对于，设p、q是简单命题，若“pq”为假命题，说明两个命题都是假命题，命题的否定是真命题，则“pq”为真命题；所以正确对于，若p是q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件；满足充要条件的关系，所以正确；对于，把函数y=sin（2x）（xr）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（xr）的图象符号平移原则，所以正确；故答案为：点评：本题考查命题的子啊的判断，特称命题与全称命题的否定关系，充要条件以及复合命题的真假，三角函数图象的平移，基本知识的考查三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤15（12分）已知集合a=x|xa|2，b=x|lg（x2+6x+9）0（）求集合a和rb；（）若ab，求实数a的取值范围考点：绝对值不等式的解法；对数函数的定义域 专题：不等式的解法及应用分析：（）利用绝对值不等式可求得集合a=x|2+ax2+a；解对数不等式lg（x2+6x+9）0可得b，从而可得rb；（）由ab得：2+a4或者22+a，从而可求得实数a的取值范围解答：解：（）|xa|22xa2a2x2+a，集合a=x|2+ax2+a；（3分），集合b=x|x4或x2，（6分）crb=4，2；（8分）（）由ab得：2+a4或者22+a.10 分解得：a6或a0，.（11分）综上所述，a的取值范围为a|a6或 a0（12分）点评：标题考查绝对值不等式的解法及对数函数的定义域的确定，考查集合的包含关系及应用，属于中档题16（12分）在数列an中，已知a1=，bn+2=3an（nn*）（1）求数列an、bn的通项公式；（2）设数列cn满足cn=anbn，求cn的前n项和sn考点：数列的求和 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由条件建立方程组即可求出数列an、bn的通项公式；（2）根据错位相减法即可求cn的前n项和sn解答：解：（1）a1=，数列an是公比为的等比数列，又，故 bn=3n2（nn*）（2）由（1）知，于是两式相减，得=点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的计算，以及利用错位相减法进行求和的内容，考查学生的计算能力17（14分）已知向量，设函数f（x）=（）求f（x）的单调递增区间；（）在abc中，a、b、c分别是角a、b、c的对边，若2ab，c=2，f（a）=4，求b考点：正弦定理的应用；平面向量的综合题 专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用分析：（）运用平面向量的数量积的坐标公式，及两角和的正弦公式，以及正弦函数的增区间，即可得到所求；（）由向量的数量积的定义，求得c，再由f（a）=4，求得a，再由正弦定理，即可得到b解答：解：（），=，令2k2x2k，故，则f（x）的单调递增区间为 （），0c，由f（a）=4得，又a为abc的内角，a=，由于，由正弦定理，得，则点评：本题考查平面向量的数量积的坐标公式和三角函数的恒等变换公式的运用，同时考查正弦函数的单调性，以及正弦定理的运用，考查两角和差公式，以及运算能力，属于中档题18（14分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：应用题；数形结合分析：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，列出x和y的不等关系及目标函数z=x+0.5y利用线性规划或不等式的性质求最值即可解答：解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则，设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）0.2510+0.2518=7，当即时，z取最大值7万元答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大点评：本题考查线性规划的应用问题，利用不等式的性质求最值问题，考查对信息的提炼和处理能力19（14分）已知函数f（x）=ex+（）求函数f（x）的最小值；（）若对所有x0都有f（x）ax+1，求实数a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：导数的综合应用分析：（）利用导数判断函数的单调性，进而可求出函数的最小值；（）令g（x）=f（x）ax1=ex+（ea）x1，即g（x）g（0）=0成立，分类讨论并利用导数判断函数的单调性，即可得出结论解答：解：（）由已知得f（x）=ex+e，（1分）令f（x）0得x1；令f（x）0得x1因此，函数f （x）在（，1上单调减函数，在1，+）上是单调增函数，（5分）当x=1时，f（x）的有极小值也是最小值，f（x）min=0（6分）（）令g（x）=f（x）ax1=ex+（ea）x1，则g（x）=ex+（ea），g（0）=0（8分）（1）当ea0，即ae时，g（x）=ex+（ea）0，g（x）在（，0是减函数，因此当x0时，都有g（x）g（0）=0，即f（x）ax10，f（x）ax+1；（10分）（2）当ae时，令g（x）0得xln（ea）；令g（x）0得xln（ea），因此函数g（x）在（，l