高中数学竞赛讲义-数列.doc

11数列一、数列的基础知识1数列an的通项an与前n项的和Sn的关系它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；2递推数列，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。常见类型： 类型：（一阶递归）其特例为：（1） （2） （3）解题方法：利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。类型：（二阶递归）解题方法:利用特征方程x2=px+q,求其根、,构造an=An+Bn，代入初始值求得。类型：an+1=f(an)其中函数f(x)为基本初等函数复合而成。解题方法：一般情况下，通过构造新数列可转化为前两种类型。二、等差数列与等比数列1定义：2通项公式与前n项和公式：函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。三等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽2同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换 数列问题的灵活性表现在： 1需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算 2需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系 例题讲解1已知(bc)logm x+(ca)logm y+(ab)logm z0 (1) 若a、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证x、y、z成等比数列； (2) 若x、y、z依次成等比数列，且公比不为1，求证a、b、c成等差数列 2. 数列an的 前 n 项 和Sna 2n + b（nN），则an为等比数列的充要条件是_3. 设等差数列an的前n项和为Sn，若S756，Sn420，an334，则n_4. 等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S135. 各项均为实数的等比数列an的前n项之和为Sn，若S10=10，S30=70，求S40。6. 设an是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，(n=1,2,3,),则它的通项公式是an= .7已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn，且a1,a2,a3,an组成等差数列（n为正偶数），又f(1)=n2,f(-1)=n；（1）求数列an的通项an；（2）试比较f(0.5)与3的大小，并说明理由。8在1与2之间插入个正数a1,a2,a3,an，使这n+2个正数成等比数列；又在1与2之间插入个正数b1,b2,b3,bn，使这n+2个正数成等差数列。记An=a1a2a3an,Bn=b1+b2+b3+bn.（1）求数列An和Bn的通项；（2）当n7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论。9. 设任意实数x,y满足|x|1,|y|2)中拿走若干个数，然后将剩下的数任意分成两个部分，证明：这两部分之和不可能相等11.已知a1=，an=，求数列an的通项公式。12.正整数k，g（k）表示k的最大奇因子（例如g（3）=3，g（20）=5），求g（1）+ g（2）+ g（3）+.+ g（2n）(其中nN*)13.将数字1，2，3，.，n填入标号为1，2，3，n的n个方格内，每格一个数字，则标号与数字均不相同的填法有多少种？14.用1，2，3三个数字写n位数，要求数中不出现紧挨着的两个1，问能构成多少个n位数？15.设数列an和bn满足a0=1，b0=0，且 （n=0，1，2，.）证明：an（n=0，1，2，.）是完全平方数16.已知a,b均为正整数,且ab,sin=(其中02），有 18. 设A，E为正八边形的相对顶点，顶点A处有一只青蛙，除顶点E外青蛙可以从八边形的任一顶点跳到两相邻顶点中任一个，落到顶点E时青蛙就停止跳动，设青蛙