高考数学一轮复习 13.1 相似三角形的判定及有关性质考点及自测 理 新人教A版.doc

第1讲相似三角形的判定及有关性质 考点梳理1平行线等分线段定理及其推论(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等(2)推论：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理及推论(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定(1)定义：如果在两个三角形中，对应角相等、对应边成比例，则这两个三角形叫做相似三角形(2)判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似(3)判定定理2：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似(4)判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似4相似三角形的性质(1)性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比(2)性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方5直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项如图，在rtabc中，cd是斜边上的高，则有cd2adbd，ac2adab，bc2bdab.考点自测1.如图，已知abc，直线m，n分别与a，b，c交于点a，b，c和a，b，c，如果abbc1，ab，则bc_.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案答案2.如图，bd，ce是abc的高，bd，ce交于f，写出图中所有与ace相似的三角形_解析由rtace与rtfcd和rtabd各共一个锐角，因而它们均相似，又易知bfea，故rtacertfbe.答案fcd、fbe、abd3. (2013西安模拟)如图，在abc中，m，n分别是ab，bc的中点，an，cm交于点o，那么mon与aoc面积的比是_解析m，n分别是ab、bc中点，故mn綉ac，moncoa，2.答案144. (2011陕西)如图，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，则ae_.解析由于acdaeb90，bd，abeadc，.又ac4，ad12，ab6，ae2.答案25. (2010广东)如图，在直角梯形abcd中，dcab，cbab，abada，cd，点e，f分别为线段ab，ad的中点，则ef_.解析连接de和bd，依题知，ebdc，ebdc，ebcd为矩形，deab，又e是ab的中点，所以abd为等腰三角形故addba，e，f分别是ad，ab的中点，efdba.答案 考向一平行线等分线段成比例定理的应用【例1】如图，f为abcd边ab上一点，连df交ac于g，延长df交cb的延长线于e.求证：dgdedfeg.证明四边形abcd是平行四边形，adbc，abdc，adbc，adbc，又abdc，即dgdedfeg. 利用平行截割定理解决问题，特别注意被平行线所截的直线，找准成比例的线段，得到相应的比例式，有时需要进行适当的变形，从而得到最终的结果【训练1】如图，在abc中，debc，efcd，若bc3，de2，df1，则ab的长为_解析由，又df1，故可解得af2，ad3，又，ab.答案 考向二相似三角形的判定【例2】如图，在abc中，d、e分别是bc、ab上任意点，efmcdm，求证：aefabd.证明efmcdm，12，efbc，aefabd. 判定三角形相似的思路大致有以下几条：(1)已知条件，判定思路；(2)一对等角，再找一对等角或找夹边成比例；(3)两边成比例，找夹角相等；(4)含有等腰三角形，找顶角相等或找一对底角相等或找腰对应成比例【训练2】 如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点acb和dce的顶点都在格点上，ed的延长线交ab于点f.(1)求证：acbdce；(2)求证：efab.证明(1)因为，所以acbdce.(2)由acbdce，知be.又bdfcde，在rtcde中，ecde90，所以bdfb90，所以efb90，即efab. 考向三相似三角形的性质【例3】如图，在rtabc中，acb90，cdab，e为ac的中点，ed、cb延长线交于一点f.求证：fd2fbfc.证明e是rtacd斜边中点，edea，a1，12，2a，fdccdb2902，fbdacba90a，fbdfdc，f是公共角，fbdfdc，fd2fbfc. 运用相似三角形的性质解决问题，主要考虑相似三角形的对应边、对应角、周长、面积之间的关系，多用于求某条线段的长度、求证比例式的存在、求证等积式的成立等，在做题时应注意认真观察图形特点，确定好对应边、对应角等【训练3】如图，abc中，abac，ad是边bc的中线，p为ad上一点，cfab，bp的延长线分别交ac，cf于点e，f，求证：bp2pepf.证明连接cp，abc为等腰三角形，ad为中线，bpcp，abpacp，abcf，abpf，facp.epc为公共角，pcepfc，pc2pfpe.又bppc，bp2pfpe. 考向四直角三角形射影定理的应用【例4】已知圆的直径ab13，c为圆上一点，过c作cdab于d(adbd)，若cd6，则ad_.解析如图，连接ac，cb，ab是o的直径，acb90.设adx，cdab于d，由射影定理得cd2addb，即62x(13x)，x213x360，解得x14，x29.adbd，ad9.答案9 利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影，再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式【训练4】 在abc中，acb90，cdab于d，adbd23.则acd与cbd的相似比为_解析如图所示，在rtacb中，cdab，由射影定理得：cd2adbd，又adbd23，令ad2x，bd3x(x0)，cd26x2，cdx.又adcbdc90，abcd.acdcbd.易知acd与cbd的相似比为.即相似比为3.答案3 (时间：30分钟满分：60分) 一、填空题(每小题5分，共40分)一、填空题(每小题5分，共40分)1. 如图，在rtabc中，acb90，cdab于点d，ad4，sinacd，则cd_，bc_.解析在rtadc中，ad4，sinacd，得ac5，cd3，又由射影定理ac2adab，得ab.bdabad4，由射影定理bc2bdab，bc.答案32. (2013揭阳模拟)如图，bdae，c90，ab4，bc2，ad3，则ec_.解析在rtadb中，db，依题意得，adbace，可得ec2.答案23. (2013茂名模拟)如图，已知abefcd，若ab4，cd12，则ef_.解析abcdef，4(bcbf)12bf，bc4bf，ef3.答案34. (2013湛江模拟)如图，在abc中，d是ac的中点，e是bd的中点，ae交于bc于f，则_.解析如图，过点d作dgaf，交bc于点g，易得fggc，又在三角形bdg中，bede，即ef为三角形bdg的中位线，故bffg，因此.答案5. 如图，c90，a30，e是ab中点，deab于e，则ade与abc的相似比是_解析e为ab中点，即aeab，在rtabc中，a30，acab，又rtaedrtacb，相似比为.故ade与abc的相似比为1.答案16.如图，aebfcgdh，abbccd，ae12，dh16，ah交bf于m，则bm_，cg_.解析aebfcgdh，abbccd，ae12，dh16，.，bm4.取bc的中点p，作pqdh交eh于q，如图，则pq是梯形adhe的中位线，pq(aedh)(1216)14.同理：cg(pqdh)(1416)15.答案4157. 在abc中，d是bc边上的中点，且adac，debc，de与ab相交于点e，ec与ad相交于点f，sfcd5，bc10，则de_.解析过点a作ambc于m，由于becd，且adcacd，得abc与fcd相似，那么24又sfcd5，那么sabc20，由于sabcbcam，由bc10，得am4，又因为deam，得，dmdc，因此，得de.答案8. 如图，在梯形abcd中，abcd，且ab2cd，e、f分别是ab、bc的中点，ef与bd相交于点m.若db9，则bm_.解析e是ab的中点，ab2eb.ab2cd，cdeb.又abcd，四边形cbed是平行四边形cbde，edmfbm.f是bc的中点，de2bf.dm2bm.bmdb3.答案3二、解答题(共20分)9(10分)如图，在等腰梯形abcd中，adbc，abdc，过点d作ac的平行线de，交ba的延长线于点e，求证：(1)abcdcb；(2)dedcaebd.证明(1)四边形abcd是等腰梯形，acbd.abdc，bccb，abcdcb.(2)abcdcb.acbdbc，abcdcb.adbc，dacacb，eadabc.dacdbc，eaddcb.edac，edadac.edadbc，a