广东省珠海一中高三数学上学期9月段考试卷 理（含解析）.doc

广东省珠海一中2015 届高三上学期9月段考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知集合a=xr|y=，b=yr|y=，则ab=（）ab1cd（1，0）2（5分）若命题p：xr，2x2+10，则p是（）axr，2x2+10bxr，2x2+10cxr，2x2+10dxr，2x2+103（5分）函数f（x）=lnx+2x6的零点位于（）abcd4（5分）“cos2=”是“sin=”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件5（5分）设ab，函数y=（xa）2（xb）的图象可能是（）abcd6（5分）已知函数的最小正周期为4，则（）a函数f（x）的图象关于点（）对称b函数f（x）的图象关于直线对称c函数f（x）的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称d函数f（x）在区间（0，）内单调递增7（5分）设函数y=f（x）的反函数是y=g（x），如果f（ab）=f（a）+f（b），则有（）ag（ab）=g（a）g（b）bg（a+b）=g（a）+g（b）cg（a+b）=g（a）g（b）dg（ab）=g（a）+g（b）8（5分）当x时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）abcd二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分请将答案填在答题卡相应位置.9（5分）已知函数f（x）=sinx，则f=10（5分）如图是函数f（x）=asin（x+），（a0，0，|）的图象，则其解析式是11（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=1解的个数为12（5分）如图，由x=0，x=e，y=0，y=e，y=lnx，y=ex六条曲线共同围成的面积为13（5分）若函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线对称，则实数m=14（5分）设函数f（x）=，则不等式f2的解集为三、解答题：本题共有6个小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，格式要规范15（12分）完成下列各题：（）求函数f（x）=的定义域；（）求函数f（x）=的值域16（12分）求函数y=（sinx2）（cosx2）的最大值和最小值17（14分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间（）将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象；再将得到函数g（x）的图象向下平移1个单位，同时将周期扩大1倍，得到函数h（x）的图象，分别写出函数g（x）与h（x）解析式18（14分）设函数f（x）的定义域为r，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）f（n），且x0时0f（x）1（1）证明：f（0）=1，且x0时f（x）1；（2）证明：f（x）在r 上单调递减；（3）设a=（x，y）|f（x2）f（y2）f（1），b=（x，y）|f（axy+2）=1，ar，若ab=，确定a的范围19（14分）已知f（x）=axlnx，x（0，e，g（x）=，其中e是自然常数，ar（）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；（）求证：当a=1时，f（x）g（x）+；是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由20（14分）已知函数f（x）=lnmx（mr）（）求函数f（x）=lnmx（mr）的单调区间；（）若函数2f（x）m+1恒成立，求m的取值范围；（）当m=1，且0ba1时，证明：2广东省珠海一中2015届高三上学期9月段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1（5分）已知集合a=xr|y=，b=yr|y=，则ab=（）ab1cd（1，0）考点：交集及其运算 专题：集合分析：分别求解函数的定义域与值域化简集合a，b，然后直接利用交集运算求解解答：解：a=xr|y=x|x1=（，1b=yr|y=y|y0=故选：c点评：本题考查了交集及其运算，考查了考查了函数的定义域及其值域的求法，是基础题2（5分）若命题p：xr，2x2+10，则p是（）axr，2x2+10bxr，2x2+10cxr，2x2+10dxr，2x2+10考点：命题的否定；全称命题 专题：计算题分析：根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题解答：解：由题意xr，2x2+10，的否定是xr，2x2+10故选d点评：本题的考点是命题的否定，主要考查含量词的命题的否定形式：将任意与存在互换，结论否定即可3（5分）函数f（x）=lnx+2x6的零点位于（）abcd考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：利用函数y=lnx，y=2x6，在区间（0，+）上单调递增，可得函数f（x）=lnx+2x6在区间（0，+）上单调性；由于f（2）=ln2+46=ln220，f（3）=ln30，可得f（2）f（3）0利用函数零点的判定定理即可得出解答：解：函数y=lnx，y=2x6，在区间（0，+）上单调递增，函数f（x）=lnx+2x6在区间（0，+）上单调递增又f（2）=ln2+46=ln220，f（3）=ln30，f（2）f（3）0函数f（x）=lnx+2x6的零点位于区间故选b点评：本题主要考查了函数的单调性和函数零点的判定定理，属于基础题4（5分）“cos2=”是“sin=”的（）a充分而不必要条件b必要而不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 分析：根据二倍角的余弦公式，由cos2=得到sin，由sin=能得到cos2=，所以“cos2=”是“sin=”的必要不充分条件解答：解：cos2=，由cos2=不一定得出sin=，即cos2=不是sin=的充分条件；sin=时，cos2=12，即cos2=是sin=的必要条件；cos2=是sin=的必要不充分条件故选b点评：考查二倍角的余弦公式，充分条件，必要条件，必要不充分条件的概念5（5分）设ab，函数y=（xa）2（xb）的图象可能是（）abcd考点：函数的图象 专题：压轴题；数形结合分析：根据解析式判断y的取值范围，再结合四个选项中的图象位置即可得出正确答案解答：解：由题，=（xa）2的值大于等于0，故当xb时，y0，xb时，y0对照四个选项，c选项中的图符合故选c点评：本题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况xb，xb时y的符号变化确定比较简单6（5分）已知函数的最小正周期为4，则（）a函数f（x）的图象关于点（）对称b函数f（x）的图象关于直线对称c函数f（x）的图象向右平移个单位后，图象关于原点对称d函数f（x）在区间（0，）内单调递增考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：通过函数的周期求出，然后判断函数的对称中心与对称轴，以及函数图象的平移变换，函数的单调性判断四个选项的正误解答：解：因为函数的最小正周期为4，所以=，函数，当x=时，所以函数f（x）的图象关于点（）对称，不正确；函数f（x）的图象关于直线对称，b不正确；函数f（x）的图象向右平移个单位后，得到函数为：=，图象关于原点对称，正确函数f（x）在区间（0，）内单调递增，在区间（0，）内有增有减，所以d不正确；故选c点评：本题考查三角函数的单调性对称性函数图象的平移，考查基本知识的应用7（5分）设函数y=f（x）的反函数是y=g（x），如果f（ab）=f（a）+f（b），则有（）ag（ab）=g（a）g（b）bg（a+b）=g（a）+g（b）cg（a+b）=g（a）g（b）dg（ab）=g（a）+g（b）考点：抽象函数及其应用；反函数 专题：函数的性质及应用分析：由函数y=f（x）的反函数是y=g（x），可得当f（a）=m，f（b）=n时，g（m）=a，g（n）=b，进而由f（ab）=f（a）+f（b）可得g（m）g（n）=g（m+n），以a、b分别代替上式中的m、n后可得答案解答：解：设f（a）=m，f（b）=n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）=a，g（n）=b，从而m+n=f（a）+f（b）=f（ab）=f，g（m）g（n）=g（m+n），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（a+b）=g（a）g（b）故选：c点评：本题考查的知识点是反函数，其中根据函数y=f（x）的反函数是y=g（x）得到：当f（a）=m，f（b）=n时，g（m）=a，g（n）=b是解答本题的关键8（5分）当x时，不等式ax3x2+4x+30恒成立，则实数a的取值范围是（）abcd考点：函数恒成立问题；其他不等式的解法 专题：综合题；导数的综合应用；不等式的解法及应用分析：分x=0，0x1，2x0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集解答：解：当x=0时，不等式ax3x2+4x+30对任意ar恒成立；当0x1时，ax3x2+4x+30可化为a，令f（x）=，则f（x）=（*），当0x1时，f（x）0，f（x）在（0，1上单调递增，f（x）max=f（1）=6，a6；当2x0时，ax3x2+4x+30可化为a，由（*）式可知，当2x1时，f（x）0，f（x）单调递减，当1x0时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）min=f（1）=2，a2；综上所述，实数a的取值范围是6a2，即实数a的取值范围是故选：c点评：本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集；若按照参数讨论则取并集二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分请将答案填在答题卡相应位置.9（5分）已知函数f（x）=sinx，则f=考点：函数的值 专题：函数的性质及应用分析：利用函数的性质求解解答：解：函数f（x）=sinx，f=sin（）=sin（335）=sin=sin=故答案为：点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用10（5分）如图是函数f（x）=asin（x+），（a0，0，|）的图象，则其解析式是f（x）=3sin（2x+）考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由图知a=3，t=，从而可求，再由+=2k+（kz）求得，即可得其解析式解答：解：由图知，a=3，t=（）=，=2，又+=2k+（kz），即2+=2k+（kz），=2k+（kz），f（x）=3sin（2x+），故答案为：f（x）=3sin（2x+）点评：本题考查由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式，确定是难点，属于中档题11（5分）已知函数f（x）=，则方程f（x）=1解的个数为2考点：根的存在性及根的个数判断 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由于是分段函数，故分别令其等于1，解出方程即可解答：解：函数f（x）=，方程f（x）=1，若log2x=1，则x=2，成立；若3x=1，则x=0，成立故答案为：2点评：本题考查了分段函数求零点的方法，同时考查了方程与函数的关系，属于基础题12（5分）如图，由x=0，x=e，y=0，y=e，y=lnx，y=ex六条曲线共同围成的面积为2考点：定积分 专题：导数的概念及应用；导数的综合应用分析：由曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积s=+，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案解答：解曲线y=ex和x=0，y=e的交点为（1，e）和（0，1），曲线y=lnx和y=0，x=e的交点为（1，0）和（e，1），所求图形的面积为s=+=（xlnxx）+（ylnyy）=1+1=2，故答案为：2点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题13（5分）若函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线对称，则实数m=1考点：正弦函数的对称性 专题：计算题分析：先将函数y=sin2x+mcos2x利用辅角公式化简，然后根据正弦函数在对称轴上取最值可得答案解答：解：由题意知y=sin2x+mcos2x=sin（2x+）当x=时函数y=sin2x+mcos2x取到最值将x=代入可得：sin（2）+mcos（2）=即m=1故答案为：1点评：本题主要考查三角函数的辅角公式和正弦函数的对称性问题属基础题14（5分）设函数f（x）=，则不等式f2的解集为（，考点：分段函数的应用 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：令f（x）=t，则f2即为f（t）2，即或，解出得到t2再由或，解出它们，求并集即可解答：解：函数f（x）=，令f（x）=t，则f2即为f（t）2，即或，即或t0，则2t0或t0，即有t2即f（x）2即有或，解得x0或0x，即有x则解集为（，故答案为：（，点评：本题考查分段函数及运用，考查解不等式时注意各段的自变量的范围，同时考查换元法的运用，考查运算能力，属于中档题三、解答题：本题共有6个小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，格式要规范15（12分）完成下列各题：（）求函数f（x）=的定义域；（）求函数f（x）=的值域考点：函数的值域；函数的定义域及其求法 专题：数形结合；函数思想；函数的性质及应用分析：（1）3tanx0，解不等式得：k，即可得到答案（2）运用数形结合的思想解决解答：解：（1）函数f（x）=的定义域tanx0，解不等式得：k，kz函数f（x）=的定义域：（k，k，kz，（2）几何意义为：点（cosx，sinx），点（3，1）两点连线的斜率，点（cosx，sinx）为单位圆上的点设斜率为k，则切线方程为kxy+3k1=0，根据直线与圆的位置关系得：=1，解得：k=0，k=，有图形可判断：函数f（x）=的值域为点评：本题综合考查了不等式在求解定义域中的运用，运用数形结合的思想求解函数值域16（12分）求函数y=（sinx2）（cosx2）的最大值和最小值考点：三角函数的最值 专题：计算题分析：函数化成y=sinxcosx2（sinx+cosx）+4，利用sinx+cosx与sinxcosx之间的关系，进行换元将函数转化成关于sinx+cosx的二次函数来解，即可得到函数的最大值和最小值解答：解：y=（sinx2）（cosx2）=sinxcosx2（sinx+cosx）+4令t=sinx+cosx=sin（x+），则sinxcosx=（t21）y=t22t+=（t2）2+，其中t，当t=时，即x=（kz）时，函数的最大值为当t=时，即x=（kz）时，函数的最小值为综上所述：函数的最大值为，函数的最小值为点评：本题主要考查了两角和公式的化简求值，二次函数的性质此题考查的是换元法，转化思想，在换元时要注意变量的取值范围17（14分）已知函数f（x）=sin2x+2cos2x（）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间（）将f（x）的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象；再将得到函数g（x）的图象向下平移1个单位，同时将周期扩大1倍，得到函数h（x）的图象，分别写出函数g（x）与h（x）解析式考点：函数y=asin（x+）的图象变换；两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的图像与性质分析：（）先化简得f（x）=2sin（2x+）+1，从而可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间（）根据函数y=asin（x+）的图象变换规律，即可写出函数g（x）与h（x）解析式解答：解：（）f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+1+cos2x=2sin（2x+）+1，函数f（x）的最小正周期t=由2k2x+2k+，kz，求得kxk+，kz故函数的单调增区间为（）f（x）=2sin（2x+）+1，f（x）=2sin+1=2sin2x+1=g（x），g（x）=2sin2x+1，将得到函数g（x）的图象向下平移1个单位，该函数的周期为，若将其周期变为2，h（x）=2sinx点评：本题主要考察了函数y=asin（x+）的图象变换和两角和与差的正弦函数的应用，属于中档题18（14分）设函数f（x）的定义域为r，对于任意实数m、n，总有f（m+n）=f（m）f（n），且x0时0f（x）1（1）证明：f（0）=1，且x0时f（x）1；（2）证明：f（x）在r 上单调递减；（3）设a=（x，y）|f（x2）f（y2）f（1），b=（x，y）|f（axy+2）=1，ar，若ab=，确定a的范围考点：函数单调性的判断与证明；交集及其运算；直线与圆的位置关系 专题：计算题分析：对于抽象函数的求解策略和方法为赋值法，（1）令m0，n=0，代入已知条件，即可求得结果；（2）x1x2r，则x2x10，0f（x2x1）1，f（x1）0f（x2）f（x1）=f（x2x1+x1）f（x1）=f（x2x1）f（x1）f（x1）=f（x1）0代入已知条件即可判定函数的单调性（3）f（x2）f（y2）f（1）f（x2+y2）f（1）结合函数f（x）在r上单调递减得到x2+y21；f（axy+2）=1=f（0）axy+2=0（一条直线）结合直线与圆的位置关系即可确定a 的范围解答：解：（1）证明：f（m+n）=f（m）f（n），令m0，n=0，f（m）=f（m）f（0）已知x0时0f（x）1f（0）=1设m=x0，n=x0，f（x）（0，1）f（0）=f（m+n）=f（m）f（n）=1f（m）1，即当x0时f（x）1（4分）（2）x1x2r，则x2x10，0f（x2x1）1，f（x1）0f（x2）f（x1）=f（x2x1+x1）f（x1）=f（x2x1）f（x1）f（x1）=f（x1）0f（x）在r 上单调递减（10分）（3）f（x2）f（y2）f（1）f（x2+y2）f（1）f（x）在r上单调递减x2+y21（单位圆内部分）f（axy+2）=1=f（0）axy+2=0（一条直线）ab=a23a（16分）点评：本题考查抽象函数的有关问题，其中赋值法是常用的方法，考查函数单调性的判断与证明、函数的奇偶性的定义，属基础题19（14分）已知f（x）=axlnx，x（0，e，g（x）=，其中e是自然常数，ar（）讨论a=1时，f（x）的单调性、极值；（）求证：当a=1时，f（x）g（x）+；是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 专题：导数的综合应用分析：（i）利用导数的运算法则可得f（x），在区间（0，e上分别解出f（x）=0，f（x）0，f（x）0，即可得出极值；（ii）（1）由（i）可知：函数f（x）在区间（0，e上的极小值也是最小值，可得f（x）min=1令h（x）=g（x）+=，利用导数研究其单调性和极值最大值，再与1比较即可；（2）假设存在实数a，使得f（x）=axlnx（x（0，e）由最小值3，可得=通过对a分类讨论即可得出解答：解：（i）当a=1时，f（x）=xlnx，x（0，e，当0x1时，f（x）0，此时f（x）单调递减；当1xe时，f（x）0，此时f（x）单调递增当x=1时，函数f（x）取得极小值，且f（1）=1（ii）（1）由（i）可知：函数f（x）在区间（0，e上的极小值也是最小值，f（x）min=1令h（x）=g（x）+=，当0xe时，h（x）0，h（x）在（0，e上单调递增=1=f（x）min当a=1时，f（x）g（x）+；（2）假设存在实数a，使得f（x）=axlnx（x（0，e）由最小值3，=当a0时，f（x）0，f（x）在（0，e上单调递减，f（x）min=f（e）=ae1=3，解得，应舍去，此时不满足条件；当0e时，f（x）在（0，）上单调递减，在上单调递增，=1+lna=3，解得a=e2，满足条件；当时，f（x）0，f（x）在（0，e上单调递减，f