高考数学一轮复习 第十一章 复数、算法、推理与证明 第四节 直接证明与间接证明课件 文.ppt

第四节直接证明与间接证明 总纲目录 教材研读 1 直接证明 考点突破 2 间接证明 考点二分析法 考点一综合法 考点三反证法 1 直接证明 教材研读 2 间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方法 1 反证法的定义 假设原命题 不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确的推理 最后得出 矛盾 因此说明假设错误 从而证明 原命题成立的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 i 反设 假设命题的结论不成立 ii 归谬 根据假设进行推理 直到推出矛盾为止 iii 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题的结论成立 1 命题 对任意角 cos4 sin4 cos2 的证明 cos4 sin4 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 sin2 cos2 过程应用了 a 分析法b 综合法c 综合法 分析法综合使用d 间接证明法 b 答案b因为证明过程是 从左往右 即由条件 结论 故选b 答案da2 b2 1 a2b2 0 a2 1 b2 1 0 d 3 用反证法证明命题 三角形的内角中至少有一个不大于60度 假设正确的是 a 假设三个内角都不大于60度b 假设三个内角都大于60度c 假设三个内角至多有一个大于60度d 假设三个内角至多有两个大于60度 b 答案b根据反证法的定义 假设是对原命题结论的否定 故假设三个内角都大于60度 故选b 4 若a b c为实数 且aab b2c b 答案ba2 ab a a b a0 a2 ab 又ab b2 b a b 0 ab b2 由 得a2 ab b2 5 若 成等比数列 则lox 2 答案2 解析由题意得 2 所以 所以x 设lox y 即 所以y 2 即lox 2 6 已知点an n an 为函数y 图象上的点 bn n bn 为函数y x图象上的点 其中n n 设cn an bn 则cn与cn 1的大小关系为 cn cn 1 答案cn cn 1 解析由题意知 an bn n cn n 显然 cn随着n的增大而减小 cn cn 1 典例1数列 an 满足an 1 a1 1 1 证明 数列是等差数列 2 求数列的前n项和sn 并证明 考点一综合法 考点突破 解析 1 证明 an 1 化简得 2 即 2 故数列是以1为首项 2为公差的等差数列 2 由 1 知 2n 1 sn n2 解法一 1 即 解法二 1 1 规律总结综合法证题的思路 1 1如图 三棱锥p abc中 平面pac 平面abc abc 点d e在线段ac上 且ad de ec 2 pd pc 4 点f在线段ab上 且ef bc 证明 ab 平面pfe 证明由de ec pd pc知 e为等腰 pdc中dc边的中点 故pe ac 又平面pac 平面abc 平面pac 平面abc ac pe 平面pac pe ac 所以pe 平面abc 从而pe ab 又 abc ef bc 故ab ef 从而ab与平面pfe内两条相交直线pe ef都垂直 所以ab 平面pfe 1 2 2018山东济宁质检 已知函数f x x2 bx c b c r且c 0 在 1 1 上有两个零点 求证 2 2b c 2 证明设函数f x 在 1 1 上的两个零点分别为x1 x2 不妨设x1 x2 所以f x x x1 x x2 因为c 0 所以f 0 c 0 所以 1 x1 0 x2 1 所以2 2 x1 3 1 2 x2 2 所以2 2 x1 2 x2 6 因为f 2 2 x1 2 x2 所以2 f 2 6 因为f 2 4 2b c 所以 2 2b c 2 典例2已知 abc的三个内角a b c成等差数列 a b c的对边分别为a b c 求证 考点二分析法 证明要证 即证 3 也就是 1 只需证c b c a a b a b b c 需证c2 a2 ac b2 又 abc的三个内角a b c成等差数列 故b 60 由余弦定理 得 b2 c2 a2 2accos60 即b2 c2 a2 ac 故c2 a2 ac b2成立 于是原等式成立 规律总结分析法证题的思路 1 分析法的证明思路 先从结论入手 由此逐步推出保证此结论成立的充分条件 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或要证命题的已知条件时命题得证 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出某个与结论等价 或充分 的中间结论 然后通过综合法证明这个中间结论 从而使原命题得证 2 1若a b c是不全相等的正数 求证 lg lg lg lga lgb lgc 证明lg lg lg lga lgb lgc 即lg lgabc 也就是 abc 因为a b c是不全相等的正数 所以显然有 abc成立 所以lg lg lg lga lgb lgc 2 2已知函数f x tanx x 若x1 x2 且x1 x2 求证 f x1 f x2 f 证明要证 f x1 f x2 f 即证明 tanx1 tanx2 tan 只需证明 tan 只需证明 由于x1 x2 故x1 x2 0 所以cosx1cosx2 0 sin x1 x2 0 1 cos x1 x2 0 故只需证明1 cos x1 x2 2cosx1cosx2 即证1 cosx1cosx2 sinx1sinx2 2cosx1cosx2 即证cos x1 x2 f 典例3已知数列 an 的前n项和为sn 且满足an sn 2 1 求数列 an 的通项公式 2 求证 数列 an 中不存在三项按原来顺序成等差数列 考点三反证法 规律总结用反证法证明数学命题需把握的三点 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 2 必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须依据这一条件进行推证 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实矛盾等 但是推导出的矛盾必须是明显的 3 1已知a 0 证明 关于x的方程ax b有且只有一个根 证明由于a 0 因此方程至少有一个根x 假设x1 x2是它的两个不同的根 即ax1 b ax2 b 由 得a x1 x2 0 因为x1 x2 所以x1 x2 0 所以a 0 这与已知矛盾 故假设错误 所以当a 0时 方程a b有且只有一个根 3 2已知四棱锥s abcd中 底面是边长为1的正方形 又sb sd sa 1 1 求证 sa 平面abcd 2 在棱sc上是否存在异于s c的点f 使得bf 平面sad 若存在 确定f点的位置 若不存在 请说明理由 解析 1 证明 由已知得sa2 ad2 sd2 sa ad 同理 sa ab 又ab ad a ab 平面a