高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第七节 正弦定理和余弦定理课件 文.ppt

第七节正弦定理和余弦定理 总纲目录 教材研读 1 正弦定理和余弦定理 考点突破 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况 3 三角形面积 考点二充分条件 必要条件的判断 考点一四种命题的相互关系及真假判断 考点三充要条件的应用 1 正弦定理和余弦定理 教材研读 2 在 abc中 已知a b和a时 解的情况 上表中 若a为锐角 当a bsina时无解 若a为钝角或直角 当a b时无解 3 三角形面积设 abc的角a b c所对的边分别为a b c 其面积为s 1 s ah h为bc边上的高 2 s absinc acsinb bcsina 1 在 abc中 a 3 b 5 sina 则sinb a b c d 1 b 答案b根据 有 得sinb 故选b 2 在 abc中 若a 2 c 4 b 60 则b等于 a 2b 12c 2d 28 答案a由b2 a2 c2 2accosb 得b2 4 16 8 12 所以b 2 a 3 在 abc中 化简bcosc ccosb的结果为 a ab bc cd b 答案abcosc ccosb b c a a 4 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 若a b 3 c 2 则a a b c d 答案c易知cosa 又a 0 a 故选c c 5 在非钝角 abc中 2bsina a 则b 答案 解析由正弦定理得bsina asinb 所以2bsina 2asinb a 即sinb 又b非钝角 所以b 6 在 abc中 a 3 b 2 cosc 则 abc的面积为 答案4 解析 cosc sinc s abc absinc 3 2 4 典例1 1 2017课标全国 11 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sinb sina sinc cosc 0 a 2 c 则c a b c d 2 2017课标全国 15 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知c 60 b c 3 则a 3 2017课标全国 16 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若2bcosb acosc ccosa 则b 考点一利用正 余弦定理解三角形 考点突破 答案 1 b 2 75 3 60 解析 1 因为sinb sina sinc cosc 0 所以sin a c sina sinc sina cosc 0 所以sinacosc cosasinc sinasinc sinacosc 0 整理得sinc sina cosa 0 因为sinc 0 所以sina cosa 0 所以tana 1 因为a 0 所以a 由正弦定理得sinc 又0 c 所以c 故选b 2 由正弦定理得 sinb 又 c b b 45 a 75 3 解法一 由正弦定理得2sinbcosb sinacosc sinc cosa 即sin2b sin a c 即sin2b sin 180 b 可得b 60 解法二 由余弦定理得2b a c 即b b 所以a2 c2 b2 ac 所以cosb 又0 b 180 所以b 60 方法技巧应用正弦 余弦定理的解题技巧 1 求边 利用公式a b c 或其他相应变形公式求解 2 求角 先求出正弦值 再求角 即利用公式sina sinb sinc 或其他相应变形公式求解 3 已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解 4 灵活利用式子的特点转化 如出现a2 b2 c2 ab形式用余弦定理 等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理 1 1 2016课标全国 4 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知a c 2 cosa 则b a b c 2d 3 答案d由余弦定理 得4 b2 2 2bcosa 5 整理得3b2 8b 3 0 解得b 3或b 舍去 故选d d 1 2 2016课标全国 15 5分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 若cosa cosc a 1 则b 答案 解析由cosc 0 c 得sinc 由cosa 0 a 得sina 所以sinb sin a c sin a c sinacosc sinccosa 根据正弦定理得b 典例2在 abc中 若a2 b2 c2 ab 且2cosasinb sinc 试判断 abc的形状 考点二判断三角形的形状 解析解法一 利用边的关系来判断 由正弦定理得 由2cosasinb sinc 有cosa 又由余弦定理得cosa 所以 即c2 b2 c2 a2 所以a2 b2 所以a b 又因为a2 b2 c2 ab 所以2b2 c2 b2 所以b2 c2 所以b c 所以a b c 所以 abc为等边三角形 解法二 利用角的关系来判断 因为a b c 180 所以sinc sin a b 又因为2cosasinb sinc 所以2cosasinb sinacosb cosasinb 所以sin a b 0 又因为a与b均为 abc的内角 所以a b 因为a2 b2 c2 ab 由余弦定理 得cosc 又0 c 180 所以c 60 所以 abc为等边三角形 易错警示判定三角形形状的两种常用途径 提醒 角化边 后要注意用因式分解 配方等方法得出边的相应关系 边化角 后要注意用三角恒等变换公式 三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系 2 1设 abc的内角a b c所对的边分别为a b c 若acosa bcosb 则 abc的形状为 a 直角三角形b 锐角三角形c 等边三角形d 等腰直角三角形 答案d由条件及正弦定理 得sinacosa sinbcosb sin2a sin2b 又a b均为 abc的内角 所以2a 2b或2a 2b 即a b或a b 所以 abc为等腰三角形或直角三角形 d 典例3 2017课标全国 17 12分 abc的内角a b c的对边分别为a b c 已知sin a c 8sin2 1 求cosb 2 若a c 6 abc的面积为2 求b 考点三与三角形面积有关的问题 方法技巧 1 对于面积公式s absinc acsinb bcsina 一般是已知哪一个角就使用哪一个公式 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 同类练在 abc中 内角a b c的对边长分别为a b c 且 2b c cosa acosc 1 求角a的大小 2 若a 3 b 2c 求 abc的面积 解析 1 由 2b c cosa acosc 得2sinbcosa sinacosc sinccosa 得2sinbcosa sin a c 所以2sinbcosa sinb 因为0 b 所以sinb 0 所以cosa 因为0 a 所以a 2 因为a 3 b 2c 由 1 知a 所以cosa 解得c 变式练 2018河北石