高中数学 第二章 几个重要的不等式章整合提升课件 北师大版选修45.ppt

第一章不等关系与基本不等式 本章整合提升 考情分析 由于柯西不等式是用综合法证明不等式的重要依据 因此 柯西不等式的考查常出现在用综合法证明含有幂 根式的和 积 商的不等式中 高考中一般在选考题中考查 专题一利用柯西不等式证明不等式 高考冲浪 1 2017 江苏卷 已知a b c d为实数 且a2 b2 4 c2 d2 16 求证 ac bd 8 证明 由柯西不等式 得 ac bd 2 a2 b2 c2 d2 因为a2 b2 4 c2 d2 16 所以 ac bd 2 64 所以ac bd 8 2 2014 福建卷 已知定义在r上的函数f x x 1 x 2 的最小值为a 1 求a的值 2 若p q r是正实数 且满足p q r a 求证 p2 q2 r2 3 1 解 因为 x 1 x 2 x 1 x 2 3 当且仅当 1 x 2时等号成立 所以函数f x 的最小值等于3 即a 3 2 证明 由 1 知p q r 3 因为p q r是正实数 所以 p2 q2 r2 12 12 12 p 1 q 1 r 1 2 p q r 2 9 所以p2 q2 r2 3 考情分析 柯西不等式是除平均值不等式之外求解含多个变量式子的最值的一种重要方法 是某些求最值问题的唯一工具 应用的关键是根据题设条件 对目标函数进行配凑 以保证出现常数结果 高考中一般在选考题中考查 专题二利用柯西不等式求函数的最值 2 湖南卷 已知a b c r a 2b 3c 6 则a2 4b2 9c2的最小值为 解析 由柯西不等式 得 a2 4b2 9c2 12 12 12 a 1 2b 1 3c 1 2 36 故a2 4b2 9c2 12 从而a2 4b2 9c2的最小值为12 答案 12 考情分析 排序不等式是用综合法证明与字母顺序有关的不等式的重要依据 因而成为证明不等式的一种重要工具 高考中对排序不等式不做要求 专题三利用排序不等式证明不等式 解析 不妨设a b c 0 则a2 b2 a3 b3 a2 a b2 b a2 b b2 a ab a b 答案 2 设a b c为某一个三角形的三条边 a b c 求证 1 c a b c b c a b a b c a 2 a2 b c a b2 c a b c2 a b c 3abc 证明 1 用比较法证明如下 c a b c b c a b ac bc c2 bc ab b2 b2 c2 ac ab b c b c a b c b c a b c 因为b c b c a 0 所以c a b c b c a b 0 即c a b c b c a b 同理可证b c a b a b c a 综上 c a b c b c a b a b c a 2 由题设及 1 知a b c a b c a b c a b c a b c 由逆序和 乱序和 得a2 b c a b2 c a b c2 a b c ab b c a bc c a b ca a b c 3abc ab b a bc c b ca a c a2 b c a b2 c a b c2 a b c ac b c a ba c a b cb a b c 3abc ac c a ab a b cb b c 将 和 相加再除以2 得a2 b c a b2 c a b c2 a b c 3abc 考情分析 数学归纳法一般用于解决与正整数n n n 有关的等式 不等式以及大小比较 探索性等问题 常与数列交汇命题 高考中一般在解答题中的某一问中考查 专题四数学归纳法的应用 2 在数列 an bn 中 a1 2 b1 4 且an bn an 1