高中数学 第一章 集合 1.2 集合之间的关系与运算 1.2.2.2 补集与集合的综合运算课件 新人教B版必修1.ppt

第2课时补集与集合的综合运算 一 二 一 全集 问题思考 1 全集一定包含任何元素吗 提示 不一定 只要含有所有所要研究的对象即可做全集 换一句话说 所研究对象对应的集合一定为该全集的子集 2 填空 在研究集合与集合之间的关系时 如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集 那么称这个给定的集合为全集 通常用u表示 一 二 二 补集 问题思考 1 已知u a b c d e f a b f 如果从全集u中去掉集合a中的元素 剩下的元素构成的集合是什么 提示 剩余元素构成的集合为 a c d e 2 上述问题中所求得的集合应该怎样命名 提示 集合 a c d e 可称为子集a在全集u的补集 符号表示为 ua a c d e 一 二 3 填写下表 一 二 4 做一做 若u x x 0 a x x 3 则 ua 答案 x 0 x 3 5 做一做 如图所示的阴影部分表示的集合是 a a ub b b ua c u a b d u a b 答案 b 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里打 错误的打 1 对任意集合a b u为全集 均有 u a b ua ub 2 对任意集合a b u为全集 均有 u a b ua ub 3 a ra r 4 若a 则 r 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思想方法 集合的补集运算 例1 已知全集u r 集合a x 3 x 3 集合b x x 1 求 1 ua ub 2 u a b 分析 1 根据补集的定义 借助于数轴写出 2 先求a b 再根据补集的定义写出 解 1 a x 3 x 3 b x x 1 在数轴上分别表示出集合a b 如图所示 ua x x 3或x 3 ub x x 1 2 a b x 3 x 1 如图阴影部分所示 u a b x x 1或x 3 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 如果所给集合是有限集 则先把集合中的元素一一列举出来 再结合补集的定义来求解 另外针对此类问题 在解答过程中也常常借助于venn图来求解 这样处理起来 相对来说比较直观 形象且解答时不易出错 2 如果所给集合是无限集 则常借助于数轴 先把已知集合及全集分别表示在数轴上 再根据补集的定义求解 这样处理比较形象直观 解答过程中注意端点值能否取得 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1求解下列各题 1 设全集u r 集合a x 0 x 3 则 ua 2 设全集u 三角形 集合a 直角三角形 则 ua 解析 1 由于全集u r 画出数轴 如图所示 由补集的定义可得 ua x x 0 或x 3 2 u 三角形 a 直角三角形 ua 锐角三角形 或钝角三角形 答案 1 x x 0 或x 3 2 锐角三角形 或钝角三角形 探究一 探究二 探究三 思想方法 交集 并集 补集的综合运算例2 已知全集u x x 4 集合a x 2 x 3 b x 3 x 3 求 ua a b u a b ua b 分析 可借助数轴分析求解 解 把全集u和集合a b在数轴上表示 如图所示 由图可知 ua x x 2 或3 x 4 a b x 2 x 3 u a b x x 2 或3 x 4 ua b x 3 x 2 或x 3 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 对于无限集 常借助于数轴 先把已知集合及全集分别表示在数轴上 再根据交 并 补的定义求解 这样处理比较形象直观 解答过程中注意端点的 取 与 舍 2 对于有限集 应先把集合中的元素一一列举出来 再结合交 并 补集的定义来求解 另外针对此类问题 在解答过程中也常常借助于venn图来求解 这样处理起来 相对来说比较直观 形象 且解答时不易出错 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练2集合a x 1 x 2 b x x1 b x x 1 c x 1 x 2 d x 1 x 2 答案 d 探究一 探究二 探究三 思想方法 补集运算中的含参数问题 例3 1 设全集u 2 3 a2 2a 3 a a 1 2 ua 5 则a等于 2 已知集合a x x a b x 1 x 2 且a rb r 则实数a的取值范围是 解析 1 由 ua 5 知a2 2a 3 5 解得a 4或a 2 当a 4时 u 2 3 5 a 3 2 满足 ua 5 当a 2时 u 2 3 5 a 3 2 满足 ua 5 所以a的值为 4或2 2 rb x x 1 或x 2 由于a rb r 如图所示 所以a 2 答案 1 4或2 2 a 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 反思感悟1 由集合补集求有关参数问题的思路流程 2 含参数问题一般要用到分类讨论思想 等价转化思想及数形结合思想来解决 探究一 探究二 探究三 思想方法 已知集合a x 2a 2 x a b x 1 x 2 且a rb 求实数a的取值范围 解 易知 rb x x 1 或x 2 a rb 分a 和a 两种情况讨论 若a 此时有2a 2 a a 2 a 1 综上可知 实数a的取值范围为 a a 1 或a 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 补集思想的综合应用 典例 已知集合a x 0 x 2 b x a x a 3 1 若 ra b r 求a的取值范围 2 若a b a 求a的取值范围 分析 本题考查集合交集 并集的运算及补集思想的应用 求解时可先将不相等问题转化为相等问题 求出a的集合后取其补集 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 a x 0 x 2 ra x x2 设 ra b r 如图可知 a 0 且a 3 2 即a 0 且a 1 满足 ra b r的实数a的取值范围是 a0 2 若a b a 则a b 又a 当a b a时 a的取值范围为集合 a 1 a 0 的补集 即 a a0 探究一 探究二 探究三 思想方法 方法点睛有些数学问题 若直接从正面解决 或解题思路不明朗 或需要考虑的因素太多 可用补集思想考虑其对立面 即从结论的反面去思考 探索已知和未知之间的关系 从而化繁为简 化难为易 开拓解题思路 这就是补集思想的应用 1 运用补集思想求参数范围的方法 否定已知条件考虑反面问题 求解反面问题对应的参数范围 将反面问题对应的参数范围取补集 2 补集思想适用的情况 从正面考虑情况较多 问题较复杂的时候 往往考虑运用补集思想 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练已知集合a x x3 b x k 1 x 1 k 若a b 求k的取值范围 分析 a b 时对应的k的取值范围不好直接求解 可考虑问题的反面 先求a b 时对应的k的取值范围 再取其 补集 即可得a b 时k的取值范围 解 由已知可得b x k x k 1 解得 6 k 2 令p k 6 k 2 则 rp k k2 所以当a b 时 k的取值范围是k2 1 设u r a x x4 则 ua等于 a x x4 b x 2 x 4 c x 2 x 4 d x x 2 或x 4 答案 c2 设集合i 0 1 2 3 4 为全集 集合a 0 1 2 3 b 2 3 4 则 ia ib等于 a 0 b 0 1 c 0 1 4 d 0 1 2 3 4 答案 c 3 有下列命题 若a b u 则a b u 若a b 则a b 若a b u 则 ua ub 若a b 则a b 若a b 则 ua ub u 若a b u 则a b u 其中不正确的有 a 0个b 2个c 4个d 6个解析 若集合a b中有一个为u的真子集 那么a b u 所以a b u 若集合a b中有一个不为空集 那么a b 所以a b 因为 ua ub u a b 而a b u 所以 ua ub u a b 当集合a b中只要有一个为空集或两个集合中没有共同的元素 就有a b 所以不一定有a b 因为 ua ub u a b 而a b 所以 ua ub u a b u 当a b u时 有可能a b u 所以不一定有a b u 所以不正确的为 共2个 答案 b