广东省珠海二中高二数学上学期期中试题 理（含解析）.doc

2015-2016学年广东省珠海二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1数列，的一个通项公式是( )abcd2下列不等式中成立的是( )a若ab，则ac2bc2b若ab，则a2b2c若ab0，则a2abb2d若ab0，则3在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若acosa=bcosb，则abc的形状为( )a等腰三角形b直角三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形4数列1，前130项的和等于( )a15b15c15d155已知（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )aa1或a24ba=7或a=24c7a24d24a76若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是( )a4b6c8d97在abc中，a=60，a=，b=3，则abc解的情况( )a无解b有一解c有两解d不能确定8已知数列an满足a1=1，anan+1=2n，则=( )a2bcd9设常数ar，集合a=x|（x1）（xa）0，b=x|xa1，若ab=r，则a的取值范围为( )a（，2）b（，2c（2，+）d二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分13已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足，则abc的面积_14已知x，y，a，b为均实数，且满足x2+y2=4，a2+b2=9，则ax+by的最大值m与最小值n的乘积mn=_15数列an=n2+3n（nn*）为单调递减数列，则的取值范围是_16不等式|x1|+|xa|3恒成立，则a的取值范围为_三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在abc中，d是边ac的中点，且ab=ad=1，bd=（1）求cosa的值；（2）求sinc的值18已知数列an是递增数列，且满足a3a5=16，a2+a6=10（）若an是等差数列，求数列an的通项公式及前n项和sn；（）若an是等比数列，若bn=，求数列bn的前7项的积t719某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需方木料0.1m3，五合板2m2；生产每个书橱需方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产，可使获利最大？20已知abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，sin（2c）=，且a2+b2c2（1）求角c的大小；（2）求21已知f（x）=（a2）x2+2（a2）x4，（）当xr时，恒有f（x）0，求a的取值范围；（）当x2015-2016学年广东省珠海二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1数列，的一个通项公式是( )abcd【考点】数列的概念及简单表示法【专题】计算题【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可【解答】解；数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，故选b【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律2下列不等式中成立的是( )a若ab，则ac2bc2b若ab，则a2b2c若ab0，则a2abb2d若ab0，则【考点】不等式的基本性质【专题】不等式的解法及应用【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论【解答】解：对于a，若ab，c=0，则ac2=bc2，故a不成立；对于b，若ab，比如a=2，b=2，则a2=b2，故b不成立；对于c，若ab0，比如a=3，b=2，则a2ab，故c不成立；对于d，若ab0，则ab0，ab0，即有0，即，则，故d成立故选：d【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键3在abc中，角a、b、c所对的边分别为a、b、c，若acosa=bcosb，则abc的形状为( )a等腰三角形b直角三角形c等腰三角形或直角三角形d等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断【专题】解三角形【分析】利用正弦定理由acosa=bcosb可得sinacosa=sinbcosb，再利用二倍角的正弦即可判断abc的形状【解答】解：在abc中，acosa=bcosb，由正弦定理得：sinacosa=sinbcosb，即sin2a=sin2b，2a=2b或2a=2b，a=b或a+b=，abc的形状为等腰三角形或直角三角形故选：c【点评】标题考查三角形的形状判断，考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题4数列1，前130项的和等于( )a15b15c15d15【考点】数列的求和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意可知，此数列由一个1，两个，3个组成，欲求前130项的和，需求自然数列前n项和不大于130时的最大n值，即可得出结论【解答】解：因为1+2+3+n=n（n+1），由n（n+1）130，得n的最大值为15，即最后一个是数列的第120项，共有10项，所以，前130项的和等于15+=15故选b【点评】本题考查数列的应用解题时要认真观察，发现规律，利用等差数列知识解答易错点是找不到规律，导致出错5已知（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )aa1或a24ba=7或a=24c7a24d24a7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【专题】计算题；转化思想【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可【解答】解：因为（3，1）和（4，6）在直线3x2y+a=0的两侧，所以有（3321+a）0，解得7a24故选c【点评】本题考查线性规划知识的应用一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点6若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是( )a4b6c8d9【考点】基本不等式在最值问题中的应用【专题】计算题【分析】由已知中正实数a，b满足a+b=1，根据基本不等式“1的活用”，我们将分子式中的“1”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案【解答】解：正实数a，b满足a+b=1，+=5+（）9故+的最小值是9故选d【点评】本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，其中对于已知两数之和为定值，求两分式之和的最值时，“1的活用”是最常用的办法7在abc中，a=60，a=，b=3，则abc解的情况( )a无解b有一解c有两解d不能确定【考点】正弦定理【专题】计算题；解三角形【分析】由a，b及sina的值，利用正弦定理即可求出sinb的值，求解即可【解答】解：由正弦定理得：即，解得sinb=，因为，sinb，故角b无解即此三角形解的情况是无解故选a【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题8已知数列an满足a1=1，anan+1=2n，则=( )a2bcd【考点】数列递推式【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】由已知条件得a1=1，a2=2，且数列an的奇数列、偶数列分别成等比数列，由此能求出答案【解答】解：数列an满足a1=1，anan+1=2n，nn*，n=1时，a2=2，anan+1=2n，n2时，anan1=2n1，数列an的奇数列、偶数列分别成等比数列，则=故选：a【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题9设常数ar，集合a=x|（x1）（xa）0，b=x|xa1，若ab=r，则a的取值范围为( )a（，2）b（，2c（2，+）d故选b【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键10已知数列an的其前n项和sn=n26n，则数列|an|前10项和为( )a58b56c50d45【考点】数列的求和【专题】分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】利用递推关系可得：an令an0，解得n4；可得|an|=即可得出数列|an|前10项和=a1a2a3+a4+a5+a10【解答】解：sn=n26n，当n=1时，a1=s1=5；当n2时，an=snsn1=n26n=2n7，当n=1时上式也成立，an=2n7令an0，解得n4；|an|=数列|an|前10项和=a1a2a3+a4+a5+a10=s102s3=（102610）2（3263）=58故选：a【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题11已知abc，a+b+c=0，当0x1时，代数式ax2+bx+c的值是( )a正数b负数c0d介于1与0之间【考点】函数的值【专题】函数的性质及应用【分析】由a0，c0，得f（x）=ax2+bx+c，f（0）=c0，f（1）=0，由此能求出在（0，1）上代数式ax2+bx+c的值为负数【解答】解：abc，a+b+c=0，a0，c0设f（x）=ax2+bx+c，f（0）=c0，f（1）=0，由a0，得：f（x）在上要么单调，要么先减后增总之f（x）maxf（0），f（1），在（0，1）上代数式ax2+bx+c的值为负数故选：b【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题12关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一个大于4，另一个小于4，则m的取值范围为( )ab（，1）c（，+）d（，0）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【专题】函数的性质及应用【分析】令f（x）=mx2+2（m+3）x+2m+14，则由题意可得 ，或 ，分别求得、的解集，再取并集，即得所求【解答】解：令f（x）=mx2+2（m+3）x+2m+14，则由题意可得 ，或 解求得m，解求得m0，故选：d【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分13已知abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且满足，则abc的面积2【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；整体思想；向量法；解三角形【分析】由已知可得，利用平方关系求出sina，代入三角形面积公式得答案【解答】解：在abc中，由cosa=，得，且sina=，=故答案为：2【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形面积的求法，是中档题14已知x，y，a，b为均实数，且满足x2+y2=4，a2+b2=9，则ax+by的最大值m与最小值n的乘积mn=36【考点】二维形式的柯西不等式【专题】计算题；转化思想；数学模型法；不等式【分析】先根据柯西不等式可知（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2，求得（ax+by）2的最大值，进而求得ax+by的最大值和最小值，则答案可求【解答】解：a2+b2=9，x2+y2=4，由柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）（ax+by）2，得36（ax+by）2，当且仅当ay=bx时取等号，ax+by的最大值为6，最小值为6，即m=6，n=6，mn=36故答案为：36【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值问题中的应用解题的关键是利用了柯西不等式，达到解决问题的目的，属于基础题15数列an=n2+3n（nn*）为单调递减数列，则的取值范围是（，1）【考点】数列的函数特性【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】数列an=n2+3n（nn*）为单调递减数列，可得anan+1，化简解出即可得出【解答】解：数列an=n2+3n（nn*）为单调递减数列，anan+1，n2+3n（n+1）2+3（n+1），化为（2n+1），1，的取值范围是（，1）故答案为：（，1）【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16不等式|x1|+|xa|3恒成立，则a的取值范围为a|a4，或a2【考点】绝对值不等式的解法【专题】计算题；不等式的解法及应用【分析】由绝对值的意义可得|x1|+|xa|的最小为|a1|，故由题意可得|a1|3，解绝对值不等式求得a的范围【解答】解：由绝对值的意义可得|x1|+|xa|表示数轴上的x对应点到1对应点和a对应点的距离之和，它的最小为|a1|，故由题意可得|a1|3，即有a13，或a13，解得a4，或a2，故a的范围是a|a4，或a2，故答案为：a|a4，或a2【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在abc中，d是边ac的中点，且ab=ad=1，bd=（1）求cosa的值；（2）求sinc的值【考点】余弦定理；正弦定理【专题】三角函数的求值【分析】（1）由余弦定理列出关系式，将ab，ad，bd的长代入求出cosa的值即可；（2）由cosa的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sina的值，根据d为ac中点，得到ac=2ad，求出ac的长，利用余弦定理表示出cosa，将ab，ac代入求出bc的长，再由ab，bc，sina的值，利用正弦定理即可求出sinc的值【解答】解：（1）在abd中，ab=ad=1，bd=，cosa=；（2）由（1）知，cosa=，且0a，sina=，d是边ac的中点，ac=2ad=2，在abc中，cosa=，解得：bc=，由正弦定理=得，sinc=【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键18已知数列an是递增数列，且满足a3a5=16，a2+a6=10（）若an是等差数列，求数列an的通项公式及前n项和sn；（）若an是等比数列，若bn=，求数列bn的前7项的积t7【考点】数列的求和【专题】计算题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列【分析】（） 由题设知：a2+a6=10=a3+a5，a3a5=16，由a3，a5是方程x210x+16=0的两根，且a3a5，解得a3，a5，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出（ii）利用等比数列的性质即可得出【解答】解：（） 由题设知：a2+a6=10=a3+a5，a3a5=16，a3，a5是方程x210x+16=0的两根，且a3a5，解得a3=2，a5=8，公差为，an=3n7；（） 由题设知：a3a5=16=a2a6，0a2a4a6，【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售已知生产每张书桌需方木料0.1m3，五合板2m2；生产每个书橱需方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产，可使获利最大？【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用【专题】应用题【分析】此是一线性规划的问题，据题意建立起约束条件与目标函数，作出可行域，利用图形求解【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z=80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t，此直线经过点a（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为zmax=80100+400120=56000（元）【点评】考查线性规划的问题，将应用题转化为线性约束条件，再作出其图形，从图形上找出目标函数取最大值的点算出最大值20已知abc中，a，b，c分别为角a，b，c的对边，sin（2c）=，且a2+b2c2（1）求角c的大小；（2）求【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】（1）由余弦定理表示出cosc，根据已知不等式得到cosc的值小于0，c为钝角，求出2c的范围，再由sin（2c）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出c的度数；（2）由cosc的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出的具体范围【解答】解：（1）a2+b2c2，由余弦定理得：cosc=0，c为钝角，2c，sin（2c）=，2c=，则c